ベイズの定理
問題としている試行に関する確率空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、確率が正であるような2つの事象を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}P\left( A\right) &>&0 \\
P\left( B\right) &>&0
\end{eqnarray*}を満たす事象\(A,B\in \mathcal{F}\)に注目するということです。この場合、条件付き確率に関して、\begin{eqnarray}P\left( A|B\right) &=&\frac{P\left( A\cap B\right) }{P\left( B\right) }
\quad \cdots (1) \\
P\left( B|A\right) &=&\frac{P\left( A\cap B\right) }{P\left( A\right) }
\quad \cdots (2)
\end{eqnarray}がともに成り立ちますが、\(\left( 2\right) \)を用いて\(\left( 1\right) \)から\(P\left( A\cap B\right) \)を消去すると、\begin{equation*}P\left( A|B\right) =\frac{P\left( B|A\right) \cdot P\left( A\right) }{P\left( B\right) }
\end{equation*}を得ます。これをベイズの定理（Bayes’ rule）と呼びます。
P\left( B\right) &>&0
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
P\left( A|B\right) =\frac{P\left( B|A\right) \cdot P\left( A\right) }{P\left( B\right) }
\end{equation*}という関係が成り立つ。
つまり、条件付き確率\(P\left( A|B\right) \)を直接計算することが困難である場合でも、2つの事象\(A,B\)の立場を入れ替えた条件付き確率\(P\left( B|A\right) \)とそれぞれの事象の確率\(P\left( A\right) ,P\left( B\right) \)を求められる場合には、それらの情報を用いて\(P\left(A|B\right) \)が得られることを保証するのが上の命題です。もう少し直感的に表現すると、「事象\(A\)が起きたという前提のもと、その後に事象\(B\)が起こる確率\(P\left( B|A\right) \)」が判明している場合には、ベイズの定理を利用することにより、「事象\(B\)が起きたことが観察された場合、それ以前に、前提として事象\(A\)が起こっていた確率\(P\left( A|B\right) \)」を特定できるということです。
多くの場合、ベイズの定理を構成する確率\(P\left( B\right) \)を求める際には全確率の定理を利用します。つまり、標本空間\(\Omega \)は事象\(A\)と余事象\(A^{c}\)に分割可能であるため、全確率の定理より、\begin{equation*}P\left( B\right) =P\left( B|A\right) \cdot P\left( A\right) +P\left(
B|A^{c}\right) \cdot P\left( A^{c}\right)
\end{equation*}を得ますが、これを用いてベイズの定理を書き換えると、\begin{equation*}
P\left( A|B\right) =\frac{P\left( B|A\right) \cdot P\left( A\right) }{P\left( B|A\right) \cdot P\left( A\right) +P\left( B|A^{c}\right) \cdot
P\left( A^{c}\right) }
\end{equation*}となります。こちらをベイズの定理と呼ぶこともできます。
\end{equation*}という関係が成り立ちますが、これを直接求めるのは困難であるため、ベイズの定理\begin{equation}
P\left( B|A\right) =\frac{P\left( A|B\right) \cdot P\left( B\right) }{P\left( A\right) } \quad \cdots (1)
\end{equation}の利用を検討します。実際、\(P\left( A|B\right) \)は「袋\(1\)からボールが取り出されたという条件のもと、取り出したボールが赤である条件付き確率」であるため、\begin{equation*}P\left( A|B\right) =\frac{5}{10}
\end{equation*}であることが容易に分かります。また、\(P\left( B\right) \)は「袋\(1\)からボールを取り出す確率」であるため、\begin{equation*}P\left( B\right) =\frac{1}{2}
\end{equation*}であることが容易に分かります。問題は\(P\left( A\right) \)の特定ですが、標本空間\(\Omega \)は事象\(B\)と余事象\(B^{c}\)に分割可能であることに注目して全確率の定理を利用します。ただし、\(B^{c}\)は「袋\(2\)からボールを取り出す」という事象に相当します。具体的には、\begin{eqnarray*}P\left( A\right) &=&P\left( A|B\right) \cdot P\left( B\right) +P\left(
A|B^{c}\right) \cdot P\left( B^{c}\right) \quad \because \text{全確率の定理} \\
&=&\frac{5}{10}\cdot \frac{1}{2}+\frac{3}{10}\cdot \frac{1}{2} \\
&=&\frac{2}{5}
\end{eqnarray*}となります。\(P\left( A\right) >0\)かつ\(P\left( B\right) >0\)であることが確認されたためベイズの定理\(\left( 1\right) \)が利用可能であり、\begin{equation*}P\left( B|A\right) =\frac{\frac{5}{10}\cdot \frac{1}{2}}{\frac{2}{5}}=\frac{5}{8}
\end{equation*}であることが明らかになりました。
ベイズの定理の一般化
ベイズの定理を以下のように一般化することができます。
i\not=j\Rightarrow A_{i}\cap A_{j}=\phi \right) \\
&&\left( b\right) \ \bigcup\limits_{i=1}^{n}A_{i}=\Omega \\
&&\left( c\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :P\left(
A_{i}\right) >0
\end{eqnarray*}を満たす有限\(n\)個の事象\(A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathcal{F}\)が存在する場合には、\begin{equation*}P\left( B\right) >0
\end{equation*}を満たす事象\(B\in \mathcal{F}\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}P\left( A_{i}|B\right) =\frac{P\left( B|A_{i}\right) \cdot P\left(
A_{i}\right) }{\sum\limits_{j=1}^{n}\left[ P\left( B|A_{j}\right) \cdot
P\left( A_{j}\right) \right] }\quad \left( i=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
つまり、標本空間\(\Omega \)が排反な有限個の事象\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)に分割可能であるとともに、それぞれの事象\(A_{j}\ \left( j=1,\cdots ,n\right) \)について「事象\(A_{j}\)が起きたという前提のもと、その後に事象\(B\)が起こる確率\(P\left( B|A_{j}\right) \)」が判明している場合には、ベイズの定理を利用することにより、「事象\(B\)が起きたことが観察された場合、それ以前に、前提として事象\(A_{i}\)が起こっていた確率\(P\left(A_{i}|B\right) \)」を特定できるということです。
\end{equation*}という関係が成り立ちますが、これを直接求めるのは困難であるため、ベイズの定理\begin{equation}
P\left( A_{2}|B\right) =\frac{P\left( B|A_{2}\right) \cdot P\left(
A_{2}\right) }{P\left( B\right) } \quad \cdots (1)
\end{equation}の利用を検討します。ただし、標本空間\(\Omega \)は排反な事象\(A_{1},A_{2},A_{3}\)に分割可能であることに注目すると、全確率の定理より、\begin{equation}P\left( B\right) =P\left( B|A_{1}\right) \cdot P\left( A_{1}\right) +P\left(
B|A_{2}\right) \cdot P\left( A_{2}\right) +P\left( B|A_{3}\right) \cdot
P\left( A_{3}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
P\left( A_{2}|B\right) &=&\frac{P\left( B|A_{2}\right) \cdot P\left(
A_{2}\right) }{P\left( B\right) }\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{P\left( B|A_{2}\right) \cdot P\left( A_{2}\right) }{P\left(
B|A_{1}\right) \cdot P\left( A_{1}\right) +P\left( B|A_{2}\right) \cdot
P\left( A_{2}\right) +P\left( B|A_{3}\right) \cdot P\left( A_{3}\right) }\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\frac{\frac{2}{100}\cdot \frac{3}{10}}{\frac{1}{100}\cdot \frac{2}{10}+\frac{2}{100}\cdot \frac{3}{10}+\frac{3}{100}\cdot \frac{5}{10}} \\
&=&\frac{6}{23}
\end{eqnarray*}であることが明らかになりました。
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