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数え上げに関する和の法則

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和の法則

標本空間\(\Omega \)に属するすべての標本点同じ程度の確かさで起こるものと仮定する場合、先験的確率の考えのもとでは、それぞれの事象\(A\subset \Omega \)が起こる確率は、\begin{equation*}\frac{\left\vert A\right\vert }{\left\vert \Omega \right\vert }
\end{equation*}と定義されます。つまり、標本空間\(\Omega \)に属する標本点の個数\(\left\vert \Omega \right\vert \)と事象\(A\)に属する標本点の個数\(\left\vert A\right\vert \)をそれぞれ数え上げた上で、それらの比をとることにより事象\(A\)が起こる確率が得られるということです。だた、標本点の個数を特定する際に、標本点を1つずつ具体的に列挙していては数え落としをしたり同じものを二重に数えてしまう恐れがあるため、標本点を系統的に数える技術が必要です。以下では和の法則(addition principle)と呼ばれる数え上げの法則について解説します。標本空間や事象はいずれも集合として定義されるため、そこに含まれる標本点の個数を和の法則を用いて系統的に数え上げることにより、事象の先験的確率を正確に求めることができます。

ある1つの選択肢を選ぶ状況を想定します。ただし、与えられたすべての選択肢は2つのグループに分類可能であり、一方のグループには\(s_{1}\)個の選択肢が含まれ、他方のグループには\(s_{2}\)個の選択肢が含まれるものとします。加えて、2つのグループに共通して含まれる選択肢は存在しないものとします。この場合、全部で\(s_{1}+s_{2}\)個の選択肢が存在することになるため、その中から1つを選ぶ場合の選び方の数は、\begin{equation*}s_{1}+s_{2}
\end{equation*}となります。以上が和の法則です。

つまり、何かを1つ選択する場合の選び方の数を求める際には、すべての選択肢を互いに交わらない2つのグループに分類した上で、それぞれのグループに含まれる選択肢の個数を数え、それらの和をとればよいということです。数える対象を複数のグループに分類することにより、すなわち複雑な作業をシンプルな作業に分割することにより、数え落としやダブルカウンティングなどのミスを防止するということです。

すべての選択肢からなる集合を\(A\)で表記するのであれば、その中から1つの選択肢を選ぶ場合の選び方の数は、集合\(A\)の要素の個数\begin{equation}\left\vert A\right\vert \quad \cdots (1)
\end{equation}と一致します。すべての選択肢が2つのグループに分類可能であり、なおかつ2つのグループに共通して含まれる選択肢が存在しないこととは、集合\(A\)が互いに素な2つの集合に分割可能であること、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A=A_{1}\cup A_{2} \\
&&\left( b\right) \ A_{1}\cap A_{2}=\phi
\end{eqnarray*}をともに満たす\(A\)の部分集合\(A_{1},A_{2}\)が存在することを意味します。この場合、集合の要素の個数に関して、\begin{equation}\left\vert A\right\vert =\left\vert A_{1}\right\vert +\left\vert
A_{2}\right\vert \quad \cdots (2)
\end{equation}という関係が成り立つため、\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)より、1つの選択肢を選ぶ場合の選び方の数は、\begin{equation*}\left\vert A_{1}\right\vert +\left\vert A_{2}\right\vert
\end{equation*}となります。和の法則が成立する根拠は以上の通りです。

例(和の法則)
問題としている試行に関する標本空間\(\Omega \)が2つの事象に分割可能であるものとします。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \Omega =A_{1}\cup A_{2} \\
&&\left( b\right) \ A_{1}\cap A_{2}=\phi
\end{eqnarray*}をともに満たす事象\(A_{1},A_{2}\subset \Omega \)が存在するということです。この場合、和の法則より、標本点の個数に関して、\begin{equation*}\left\vert \Omega \right\vert =\left\vert A_{1}\right\vert +\left\vert
A_{2}\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。具体例として、「レストランで料理を一品注文する」という試行について考えます。ただし、このレストランでは\(5\)種類の肉料理と\(3\)種類の魚料理を提供しているものとします。肉料理の集合を\(A_{1}\)で、魚料理の集合を\(A_{2}\)でそれぞれ表記します。このレストランでは肉料理と魚料理だけを提供しているため、標本空間\(\Omega \)との間に、\begin{equation*}\Omega =A_{1}\cup A_{2}
\end{equation*}が成り立ちます。また、肉料理かつ魚料理であるような料理は存在しないため、\begin{equation*}
A_{1}\cap A_{2}=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、和の法則より、\begin{eqnarray*}
\left\vert \Omega \right\vert &=&\left\vert A_{1}\right\vert +\left\vert
A_{2}\right\vert \\
&=&5+3 \\
&=&8
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

例(和の法則)
問題としている試行において起こり得る事象\(A\subset \Omega \)が互いに素な2つの部分事象に分割可能であるものとします。つまり、事象\(A\)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A=A_{1}\cup A_{2} \\
&&\left( b\right) \ A_{1}\cap A_{2}=\phi
\end{eqnarray*}をともに満たす\(A\)の部分事象\(A_{1},A_{2}\)が存在するということです。この場合、和の法則より、標本点の個数に関して、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =\left\vert A_{1}\right\vert +\left\vert
A_{2}\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。具体例として、「大小1個ずつのサイコロを振る」という試行について考えます。「目の和が\(5\)の倍数」という事象は、\begin{equation*}A=\left\{ \left( 1,4\right) ,\left( 2,3\right) ,\left( 3,2\right) ,\left(
4,1\right) ,\left( 4,6\right) ,\left( 5,5\right) ,\left( 6,4\right) \right\}
\end{equation*}となります。ただし、\(\left( i,j\right) \)は大きいサイコロの目が\(i\)で小さいサイコロの目が\(j\)であるような標本点です。したがって、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =7
\end{equation*}となります。同じことを和の法則から導きます。この事象\(A\)の部分事象\begin{eqnarray*}A_{1} &:&\text{目の和が}5 \\
A_{2} &:&\text{目の和が}10
\end{eqnarray*}に注目します。具体的には、\begin{eqnarray*}
A_{1} &=&\left\{ \left( 1,4\right) ,\left( 2,3\right) ,\left( 3,2\right)
,\left( 4,1\right) \right\} \\
A_{2} &=&\left\{ \left( 4,6\right) ,\left( 5,5\right) ,\left( 6,4\right)
\right\}
\end{eqnarray*}です。2つのサイコロの目の和は\(2\)以上\(12\)以下であり、その中に\(5\)の倍数は\(5\)と\(10\)だけしか存在せず、したがって、\begin{equation*}A=A_{1}\cup A_{2}
\end{equation*}が成り立ちます。加えて、\(5\)と\(10\)は異なる数であるため、\begin{equation*}A_{1}\cap A_{2}=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。以上より、和の法則が適用可能であり、\begin{eqnarray*}
\left\vert A\right\vert &=&\left\vert A_{1}\right\vert +\left\vert
A_{2}\right\vert \quad \because \text{和の法則} \\
&=&4+3 \\
&=&7
\end{eqnarray*}となりますが、これは先の結果と整合的です。

 

和の法則の一般化

すべての選択肢が\(3\)個以上のグループに分類可能である場合にも和の法則は成立します。ある1つの選択肢を選ぶ状況を状況を想定します。ただし、与えられたすべての選択肢は\(n\)個のグループに分類可能であり、\(i\) \(\left( =1,\cdots ,n\right) \)番目のグループには\(s_{i}\)個の選択肢が含まれているものとします。加えて、複数のグループに共通して含まれる選択肢は存在しないものとします。この場合、全部で\(s_{1}+\cdots +s_{n}\)個の選択肢が存在することになるため、その中から1つを選ぶ場合の選び方の数は、\begin{equation*}s_{1}+\cdots +s_{n}
\end{equation*}となります。以上が一般化された和の法則です。

すべての選択肢からなる集合を\(A\)で表記するのであれば、その中から1つの選択肢を選ぶ場合の選び方の数は、集合\(A\)の要素の個数\begin{equation}\left\vert A\right\vert \quad \cdots (1)
\end{equation}と一致します。すべての選択肢が\(n\)個のグループに分類可能であり、なおかつ複数のグループに共通して含まれる選択肢が存在しないこととは、集合\(A\)が互いに素な\(n\)個の集合に分割可能であること、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A=\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_{i} \\
&&\left( b\right) \ \forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\left(
i\not=j\Rightarrow A_{i}\cap A_{j}=\phi \right)
\end{eqnarray*}をともに満たす\(A\)の部分事象族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)が存在することを意味します。この場合、集合の要素の個数に関して、\begin{equation}\left\vert A\right\vert =\sum_{i=1}^{n}\left\vert A_{i}\right\vert \quad \cdots (2)
\end{equation}という関係が成り立つため、\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)より、1つの選択肢を選ぶ場合の選び方の数は、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =\sum_{i=1}^{n}\left\vert A_{i}\right\vert
\end{equation*}となります。一般化された和の法則が成立する根拠は以上の通りです。

例(和の法則の一般化)
問題としている試行に関する標本空間\(\Omega \)が\(n\)個の事象に分割可能であるものとします。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \Omega =\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_{i} \\
&&\left( b\right) \ \forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\left(
i\not=j\Rightarrow A_{i}\cap A_{j}=\phi \right)
\end{eqnarray*}をともに満たす事象族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)が存在するということです。この場合、和の法則より、標本点の個数に関して、\begin{equation*}\left\vert \Omega \right\vert =\sum_{i=1}^{n}\left\vert A_{i}\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。具体例として、「レストランで料理を一品注文する」という試行について考えます。ただし、このレストランでは\(5\)種類の肉料理と\(3\)種類の魚料理に加えて、\(2\)種類のベジタリアン向け料理を提供しているものとします。肉料理の集合を\(A_{1}\)で、魚料理の集合を\(A_{2}\)で、ベジタリアン向けの料理を\(A_{3}\)でそれぞれ表記します。このレストランでは肉料理と魚料理およびベジタリアン向け料理を提供しているため、標本空間\(\Omega \)との間に、\begin{equation*}\Omega =A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}
\end{equation*}が成り立ちます。また、肉料理かつ魚料理かつベジタリアン向け料理であるような料理は存在しないため、\(A_{1},A_{2},A_{3}\)の中の任意の2つは互いに素です。したがって、和の法則より、\begin{eqnarray*}\left\vert \Omega \right\vert &=&\left\vert A_{1}\right\vert +\left\vert
A_{2}\right\vert +\left\vert A_{3}\right\vert \\
&=&5+3+2 \\
&=&10
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

例(和の法則の一般化)
問題としている試行において起こり得る事象\(A\subset \Omega \)が\(n\)個の部分事象に分割可能であるものとします。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A=\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_{i} \\
&&\left( b\right) \ \forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\left(
i\not=j\Rightarrow A_{i}\cap A_{j}=\phi \right)
\end{eqnarray*}をともに満たす\(A\)の部分事象族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)が存在するということです。この場合、和の法則より、標本点の個数に関して、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =\sum_{i=1}^{n}\left\vert A_{i}\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。具体例として、「大小1個ずつのサイコロを振る」という試行について考えます。以下の事象\begin{equation*}
A:\text{目の和が}3\text{の倍数}
\end{equation*}に注目します。さらに、この事象\(A\)の部分事象\begin{eqnarray*}A_{1} &:&\text{目の和が}3 \\
A_{2} &:&\text{目の和が}6 \\
A_{3} &:&\text{目の和が}9 \\
A_{4} &:&\text{目の和が}12
\end{eqnarray*}に注目します。具体的には、\begin{eqnarray*}
A_{1} &=&\left\{ \left( 1,2\right) ,\left( 2,1\right) \right\} \\
A_{2} &=&\left\{ \left( 1,5\right) ,\left( 2,4\right) ,\left( 3,3\right)
,\left( 4,2\right) ,\left( 5,1\right) \right\} \\
A_{3} &=&\left\{ \left( 3,6\right) ,\left( 4,5\right) ,\left( 5,4\right)
,\left( 6,3\right) \right\} \\
A_{4} &=&\left\{ \left( 6,6\right) \right\}
\end{eqnarray*}です。ただし、\(\left( i,j\right) \)は大きいサイコロの目が\(i\)で小さいサイコロの目が\(j\)であるような標本点です。2つのサイコロの目の和は\(2\)以上\(12\)以下であり、その中に\(3\)の倍数は\(3,6,9,12\)だけしか存在せず、したがって、\begin{equation*}A=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}
\end{equation*}が成り立ちます。加えて、\(3,6,9,12\)の中の任意の2つの数は異なる数であるため、\(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\)の中の任意の2つは互いに素です。以上より、和の法則が適用可能であり、\begin{eqnarray*}\left\vert A\right\vert &=&\left\vert A_{1}\right\vert +\left\vert
A_{2}\right\vert +\left\vert A_{3}\right\vert +\left\vert A_{4}\right\vert
\quad \because \text{和の法則} \\
&=&2+5+4+1 \\
&=&12
\end{eqnarray*}となります。

 

演習問題

問題(和の法則)
「大小1個ずつのサイコロを振る」という試行において、「目の和が\(10\)以上」という事象に含まれる標本点の個数を求めてください。
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問題(和の法則)
「\(1\)以上\(20\)以下の自然数の中から1つを選ぶ」という試行において、「\(3\)の倍数または偶数が選ばれる」という事象に含まれる標本点の個数を求めてください。
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