2つの事象の条件付き独立性
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、2つの事象\(A,B\in \mathcal{F}\)が独立であることを、\begin{equation*}P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義しました。これは、2つの事象\(A,B\)の一方が起きているかどうかが他方の事象が起こる確率に影響を与えないことを意味します。
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、\(P\left( C\right) >0\)を満たす事象\(C\in \mathcal{F}\)を任意に選びます。その上で、それぞれの\(A\in \mathcal{F}\)に対して、\begin{equation*}P\left( A|C\right) =\frac{P\left( A\cap C\right) }{P\left( C\right) }
\end{equation*}を定める関数\(P\left( \cdot |C\right) :\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、これらの組\begin{equation*}\left( \Omega ,\mathcal{F},P\left( \cdot |C\right) \right)
\end{equation*}は確率空間となるため、この新たな確率空間においても事象の独立性を同様に定義できます。つまり、２つの事象\(A,B\in \mathcal{F}\)が独立であることを、\begin{equation*}P\left( A\cap B|C\right) =P\left( A|C\right) \cdot P\left( B|C\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義するということです。以上の条件が満たされる場合、\(A\)と\(B\)は\(C\)のもとで条件付き独立である（conditionally independent given \(C\)）と言います。これは、事象\(C\)が起きていることを前提とする場合、2つの事象\(A,B\)の一方が起きているかどうかが他方の事象が起こる確率に影響を与えないことを意味します。
改めて整理すると、\(P\left( C\right) >0\)を満たす事象\(C\in \mathcal{F}\)が与えられたとき、2つの事象\(A,B\in \mathcal{F}\)が\(C\)のもとで条件付き独立であることとは、\begin{equation*}P\left( A\cap B|C\right) =P\left( A|C\right) \cdot P\left( B|C\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。逆に、上の命題が成り立たない場合には、すなわち、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}
P\left( A\cap B|C\right) \not=P\left( A|C\right) \cdot P\left( B|C\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、2つの事象\(A,B\)は\(C\)のもとで条件付き従属である（conditionally dependent given \(C\)）と言います。
A &=&\left\{ 2,4,6\right\} \\
B &=&\left\{ 4,5,6\right\} \\
C &=&\left\{ 6\right\}
\end{eqnarray*}に注目します。つまり、\(A\)は「偶数の目が出る」という事象、\(B\)は「\(4\)以上の目が出る」という事象、\(C\)は「\(6\)が出る」という事象です。このとき、\begin{eqnarray*}P\left( A\cap B|C\right) &=&P\left( \left\{ 4,6\right\} |\left\{ 6\right\}
\right) \\
&=&\frac{P\left( \left\{ 4,6\right\} \cap \left\{ 6\right\} \right) }{P\left( \left\{ 6\right\} \right) } \\
&=&\frac{P\left( \left\{ 6\right\} \right) }{P\left( \left\{ 6\right\}
\right) } \\
&=&1
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
P\left( A|C\right) &=&P\left( \left\{ 2,4,6\right\} |\left\{ 6\right\}
\right) \\
&=&\frac{P\left( \left\{ 2,4,6\right\} \cap \left\{ 6\right\} \right) }{P\left( \left\{ 6\right\} \right) } \\
&=&\frac{P\left( \left\{ 6\right\} \right) }{P\left( \left\{ 6\right\}
\right) } \\
&=&1
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
P\left( B|C\right) &=&P\left( \left\{ 4,5,6\right\} |\left\{ 6\right\}
\right) \\
&=&\frac{P\left( \left\{ 4,5,6\right\} \cap \left\{ 6\right\} \right) }{P\left( \left\{ 6\right\} \right) } \\
&=&\frac{P\left( \left\{ 6\right\} \right) }{P\left( \left\{ 6\right\}
\right) } \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
P\left( A\cap B|C\right) =P\left( A|C\right) \cdot P\left( B|C\right)
\end{equation*}を得ます。したがって、\(C\)のもとで\(A\)と\(B\)は条件付き独立です。
条件付き独立性の代替的な定義
2つの事象が条件付き独立であることを以下のように表現することもできます。
P\left( B\cap C\right) &>&0
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、以下の3つの命題\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A\text{と}B\text{は}C\text{のもとで条件付き独立} \\
&&\left( b\right) \ P\left( A\cap B|C\right) =P\left( A|C\right) \cdot
P\left( B|C\right) \\
&&\left( c\right) \ P\left( A|B\cap C\right) =P\left( A|C\right) \\
&&\left( d\right) \ P\left( B|A\cap C\right) =P\left( B|C\right)
\end{eqnarray*}はお互いに必要十分である。
A &=&\left\{ 2,4,6\right\} \\
B &=&\left\{ 4,5,6\right\} \\
C &=&\left\{ 6\right\}
\end{eqnarray*}に注目します。先に示したように、\(C\)のもとで\(A\)と\(B\)は条件付き独立です。したがって、先の命題より、\begin{equation*}P\left( A|B\cap C\right) =P\left( A|C\right)
\end{equation*}が成り立つはずです。実際、\begin{eqnarray*}
P\left( A|B\cap C\right) &=&\frac{P\left( A\cap B\cap C\right) }{P\left(
B\cap C\right) } \\
&=&\frac{P\left( \left\{ 6\right\} \right) }{P\left( \left\{ 6\right\}
\right) } \\
&=&1
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
P\left( A|C\right) &=&P\left( \left\{ 2,4,6\right\} |\left\{ 6\right\}
\right) \\
&=&\frac{P\left( \left\{ 2,4,6\right\} \cap \left\{ 6\right\} \right) }{P\left( \left\{ 6\right\} \right) } \\
&=&\frac{P\left( \left\{ 6\right\} \right) }{P\left( \left\{ 6\right\}
\right) } \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
P\left( A|B\cap C\right) =P\left( A|C\right)
\end{equation*}が成立しています。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
条件付き独立な事象は独立であるとは限らない
条件付き独立は独立な事象であるとは限りません。以下の例より明らかです。
A &=&\left\{ 2,4,6\right\} \\
B &=&\left\{ 4,5,6\right\} \\
C &=&\left\{ 6\right\}
\end{eqnarray*}に注目します。先に示したように、\(C\)のもとで\(A\)と\(B\)は条件付き独立です。その一方で、\(A\)と\(B\)は独立ではありません。実際、\begin{eqnarray*}P\left( A\cap B\right) &=&P\left( \left\{ 2,4,6\right\} \cap \left\{
4,5,6\right\} \right) \\
&=&P\left( \left\{ 6\right\} \right) \\
&=&\frac{1}{6}
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
P\left( A\right) &=&P\left( \left\{ 2,4,6\right\} \right) \\
&=&\frac{3}{6} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
P\left( B\right) &=&P\left( \left\{ 4,5,6\right\} \right) \\
&=&\frac{3}{6} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
P\left( A\cap B\right) =\frac{1}{6}\not=\frac{1}{4}=P\left( A\right) \cdot
P\left( B\right)
\end{equation*}を得ます。したがって\(A\)と\(B\)は独立ではありません。
独立な事象は条件付き独立であるとは限らない
独立な事象は条件付き独立であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\Omega =\left\{ \text{表表},\text{表裏},\text{裏表},\text{裏裏}\right\}
\end{equation*}です。以下の3つの事象\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ \text{表表},\text{表裏}\right\} \\
B &=&\left\{ \text{表表},\text{裏表}\right\} \\
C &=&\left\{ \text{表表},\text{裏裏}\right\}
\end{eqnarray*}に注目します。つまり、\(A\)は「\(1\)回目は表」である事象、\(B\)は「\(2\)回目は表」である事象、\(C\)は「\(1\)回目と\(2\)回目は同じ結果」である事象です。このとき、\begin{eqnarray*}P\left( A\cap B\right) &=&\frac{\left\vert A\cap B\right\vert }{\left\vert
\Omega \right\vert } \\
&=&\frac{\left\vert \left\{ \text{表表}\right\} \right\vert }{\left\vert \left\{ \text{表表},\text{表裏},\text{裏表},\text{裏裏}\right\} \right\vert } \\
&=&\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
P\left( A\right) &=&\frac{\left\vert A\right\vert }{\left\vert \Omega
\right\vert } \\
&=&\frac{\left\vert \left\{ \text{表表},\text{表裏}\right\} \right\vert }{\left\vert \left\{ \text{表表},\text{表裏},\text{裏表},\text{裏裏}\right\}
\right\vert } \\
&=&\frac{2}{4} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
P\left( B\right) &=&\frac{\left\vert B\right\vert }{\left\vert \Omega
\right\vert } \\
&=&\frac{\left\vert \left\{ \text{表表},\text{裏表}\right\} \right\vert }{\left\vert \left\{ \text{表表},\text{表裏},\text{裏表},\text{裏裏}\right\}
\right\vert } \\
&=&\frac{2}{4} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
P\left( A\cap B\right) =\frac{1}{4}=P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)
\end{equation*}を得ます。したがって\(A\)と\(B\)は独立です。その一方で、\begin{eqnarray*}P\left( A\cap B|C\right) &=&\frac{P\left( A\cap B\cap C\right) }{P\left(
C\right) } \\
&=&\frac{\left\vert \left\{ \text{表表}\right\} \right\vert }{\left\vert \left\{ \text{表表},\text{裏裏}\right\}
\right\vert } \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
P\left( A|C\right) &=&\frac{P\left( A\cap C\right) }{P\left( C\right) } \\
&=&\frac{\left\vert \left\{ \text{表表}\right\} \right\vert }{\left\vert \left\{ \text{表表},\text{裏裏}\right\}
\right\vert } \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
P\left( B|C\right) &=&\frac{P\left( B\cap C\right) }{P\left( C\right) } \\
&=&\frac{\left\vert \left\{ \text{表表}\right\} \right\vert }{\left\vert \left\{ \text{表表},\text{裏裏}\right\}
\right\vert } \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
P\left( A\cap B|C\right) =\frac{1}{2}\not=\frac{1}{4}=P\left( A|C\right)
\cdot P\left( B|C\right)
\end{equation*}を得ます。したがって\(A\)と\(B\)は\(C\)のもとで条件付き独立ではありません。
演習問題
A &:&\text{小さい方の目が}3 \\
B &:&\text{大きい方の目が}6 \\
C &:&\text{小さい方の目が}3\text{以下かつ大きい方の目が}4\text{以上}
\end{eqnarray*}に注目します。\(A\)と\(B\)は独立ですか、また、\(A\)と\(B\)は\(C\)のもとで条件付き独立ですか。それぞれ検討してください。
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