確認テスト III（確率）

以下の問いに答えてください（各15点）。

1. 地点\(1\)から地点\(2\)へ至る2つの道路があり、地点\(2\)から地点\(3\)へ至る2つの道路があります。それぞれの道路が通行止めである確率はいずれも\(p\in \left[ 0,1\right] \)であり、それぞれの道路が通行止めであるかどうかは独立に決定されるものとします。地点\(1\)から地点\(3\)に至る通行止めではない経路が存在する確率を求めてください。
2. 先の4つの道路に加えて、地点\(1\)と地点\(3\)を直接結ぶ5つ目の道路が存在するものとします。この道路が通行止めである確率もまた\(p\in \left[ 0,1\right] \)であり、それぞれの道路が通行止めであるかどうかは独立に決定されるものとします。地点\(1\)から地点\(3\)に至る通行止めではない経路が存在する確率を求めてください。

山でクマに遭遇する確率は\(b\in \left[ 0,1\right] \)であるものとします。\(X\)さんと\(Y\)さんが山でクマを見たと言っています。ただし、この二人は知り合いではなく、口裏を合わせることはないものとします。\(X\)さんが嘘をつかない確率は\(x\in \left[ 0,1\right] \)であり、\(Y\)さんが嘘をつかない確率は\(y\in \left[ 0,1\right] \)であるものとします。二人の証言を前提とした場合に、実際に山にクマが現れた確率を求めてください。

ある製品が2つの企業\(1,2\)によって供給されているものとします。製品をランダムに選んだとき、それがどちらの企業から仕入れたものであるか判別できないものとします。以下の問いに答えてください（各10点）。

1. 企業\(1\)の工場における生産品の\(20\)パーセントが不良品であり、企業\(2\)の工場における生産品の\(5\)パーセントが不良品であるものとします。また、企業\(1\)の供給量は企業\(2\)の供給量の\(2\)倍であるものとします。1つの製品をランダムに選んだとき、それが不良品ではない確率を求めてください。
2. 1つの製品をランダムに選んだところ、それは不良品でした。この不良品を生産したのが企業\(1\)である確率を求めてください。
3. 両企業は投資を行い新たな工場を建設しました。両企業とも、既存の工場と新たな工場を両方とも稼働させます。両企業とも、新工場における生産品の\(25\)パーセントが不良品であるものとします。企業\(1\)は生産物の\(10\)パーセントを新工場で生産し、企業\(2\)は生産物の\(20\)パーセントを新工場で生産します。また、企業\(2\)の供給量は企業\(1\)の供給量の\(2\)倍であるものとします。1つの製品をランダムに選んだとき、それが不良品ではない確率を求めてください。

\(p\)は素数です。標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ 1,2,\cdots ,p\right\}
\end{equation*}であり、事象空間は、\begin{equation*}
\mathcal{F}=2^{\Omega }
\end{equation*}であり、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)は以下の条件\begin{equation*}\forall A\in \mathcal{F}:P\left( A\right) =\frac{\left\vert A\right\vert }{p}
\end{equation*}を満たすものとします。ただし、\(2^{\Omega }\)は\(\Omega \)のベキ集合であり、\(\left\vert A\right\vert \)は集合\(A\)に含まれる要素の個数です。2つの事象\(A,B\in \mathcal{F}\)を任意に選んだとき、\(A\)と\(B\)が独立である場合には、\(A\)または\(B\)の少なくとも一方が\(\phi \)または\(\Omega \)であることを証明してください。