部分事象

ある事象 A が別の事象 B の部分集合であるとき、A は B の部分事象であるといいます。A が B の部分事象であることは、試行のもとで A が起こる場合には B も必ず起こることを意味します。

部分事象

標本空間\(\Omega \)が与えられたとき、2 つの事象\(A,B\subset \Omega \)を任意に選びます。このとき、これらの間に\(A\subset B\)が成り立つ場合、すなわち、\begin{equation}
\forall \omega \in \Omega :\left( \omega \in A\ \Rightarrow \ \omega \in
B\right) \tag{1}
\end{equation}が成り立つ場合には、\(A\)を\(B\)の部分事象(sub event)と呼びます。この試行のもとで事象\(A\)が起きた場合、それは\(A\)に属する何らかの標本点\(\omega \)が実現したことを意味します。すると\(\left( 1\right) \)より、その標本点\(\omega \)は事象\(B\)にも属するため、\(B\)も同時に起きているはずです。つまり、\(A\)が\(B\)の部分事象であることは、試行のもとで\(A\)が起こる場合には\(B\)も必ず起こることを意味します。

部分集合について復習する
例(部分事象)
1 つのサイコロを 1 回投げて出た目を観察するという試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}
\end{equation*}です。例えば、\(A=\{1\}\)という事象は「\(1\)の目が出る」という現象に相当し、\(B=\{1,3,5\}\)は「奇数の目が出る」という現象に相当します。両者の間には\(A\subset B\)が成り立つため、\(A\)が起こる場合には\(B\)も必ず起こります。

 

部分事象ではないことの意味

繰り返しになりますが、事象\(A,B\subset \Omega \)の間に\(A\subset B\)が成り立つことは、\begin{equation*}
\forall \omega \in \Omega :\left( \omega \in A\ \Rightarrow \ \omega \in
B\right)
\end{equation*}という命題が成り立つことを意味します。逆に、\(A\subset B\)が成り立たないことは、上の命題の否定である、\begin{equation*}
\exists \omega \in \Omega :\left( \omega \in A\ \wedge \ \omega \not\in
B\right)
\end{equation*}が成り立つこととして表現可能です。つまり、\(A\)が\(B\)の部分事象でないこととは、\(A\)とは整合的だが\(B\)とは整合的ではない標本点\(\omega \)が存在すること、すなわち、試行のもとで\(A\)が起こるが\(B\)は起こらないという事態が起こり得ることを意味します。

例(部分事象)
1 つのサイコロを 1 回投げて出た目を観察するという試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}
\end{equation*}です。例えば、\(A=\{1\}\)という事象は「\(1\)の目が出る」という現象に相当し、\(B=\{1,3,5\}\)は「奇数の目が出る」という現象に相当します。標本点\(3,5\in \Omega \)は\(B\)に属しますが\(A\)には属さないため、\(A\subset B\)は成り立ちません。実際、出たサイコロの目が\(3\)や\(5\)の場合、その目は奇数ですが\(1\)ではありません。

次回は事象が等しいことの意味を定義します。
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