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部分事象

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部分事象

標本空間\(\Omega \)が与えられたとき、2つの事象\(A,B\subset \Omega \)を任意に選びます。このとき、\begin{equation*}
A\subset B
\end{equation*}が成り立つ場合、すなわち\(A\)が\(B\)の部分集合である場合には\(A\)を\(B\)の部分事象(sub event)と呼びます。部分集合の定義より、\(A\)が\(B\)の部分集合であることは、\begin{equation}
\forall \omega \in \Omega :\left( \omega \in A\Rightarrow \omega \in
B\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味しますが、これは何を意味するのでしょうか。問題としている試行のもとで事象\(A\)が起きた場合、それは\(A\)に属する何らかの標本点\(\omega \)が実現したことを意味します。つまり\(\omega \in A\)です。すると\(\left( 1\right) \)より\(\omega \in B\)が成り立ちますが、これは事象\(B\)が起きていることを意味します。つまり、\(A\)が\(B\)の部分事象であることとは、問題としている試行のもとで事象\(A\)が起こる場合には事象\(B\)も必ず同時に起こることを意味します。

例(部分事象)
「1つのサイコロを1回投げて出た目を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}
\end{equation*}です。例えば、「\(1\)の目が出る」という事象は\(A=\{1\}\)として表現され、「奇数の目が出る」という事象は\(B=\{1,3,5\}\)として表現されますが、両者の間には\(A\subset B\)が成り立つため、「\(1\)の目が出る」場合には同時に「奇数の目が出る」ことも起きています。実際、これは正しい主張です。
例(部分事象)
「1つのサイコロを2回投げて出た目を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \left( i,j\right) \ |\ i,j\in \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\right\}
\end{equation*}です。ただし、標本点\(\left( i,j\right) \)は「1回目に\(i\)が出て2回目に\(j\)が出る」という結果に相当します。例えば、「2回とも偶数の目が出る」という事象を\(A\)で表し、「2回の目の和が偶数である」という事象を\(B\)で表します。このとき、任意の標本点\(\left( i,j\right) \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}
\left( i,j\right) \in A &\Leftrightarrow &i\text{と}j\text{はともに偶数\quad }\because A\text{の定義} \\
&\Rightarrow &i+j\text{は偶数} \\
&\Leftrightarrow &\left( i,j\right) \in B\quad \because B\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち\(A\subset B\)が成り立つため、「2回とも偶数の目が出る」場合には同時に「2の目の和が偶数である」ことも起きています。実際、これは正しい主張です。

 

部分事象ではないことの意味

繰り返しになりますが、事象\(A,B\subset \Omega \)について\(A\)が\(B\)の部分集合であること、すなわち\(A\subset B\)が成り立つことは、\begin{equation*}
\forall \omega \in \Omega :\left( \omega \in A\Rightarrow \omega \in
B\right)
\end{equation*}という命題が成り立つこととして表現されます。逆に\(A\subset B\)が成り立たないことは、上の命題の否定である、\begin{equation*}
\forall \omega \in \Omega :\left( \omega \in A\wedge \omega \not\in B\right)
\end{equation*}が成り立つこととして表現されます。つまり、\(A\)が\(B\)の部分事象でないことは、\(A\)の要素だが\(B\)の要素ではない標本点\(\omega \)が存在すること、すなわち、問題としている試行のもとで事象\(A\)が起こると同時に事象\(B\)が起こらないような状況が生じ得ることを意味します。

例(部分事象ではないことの意味)
「1つのサイコロを1回投げて出た目を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}
\end{equation*}です。例えば、「奇数の目が出る」という事象は\(A=\{1,3,5\}\)として表現され、「\(1\)の目が出る」という事象は\(B=\left\{ 1\right\} \)として表現されますが、両者の間には\(A\subset B\)という関係が成り立たないため\(A\)は\(B\)の部分事象ではありません。つまり、「奇数の目が出る」場合には必ずしも「\(1\)の目が出て」いるとは限りません。実際、\(3\)や\(5\)の目が出る場合が反例になっています。
例(部分事象ではないことの意味)
「1つのサイコロを2回投げて出た目を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \left( i,j\right) \ |\ i,j\in \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\right\}
\end{equation*}です。ただし、標本点\(\left( i,j\right) \)は「1回目に\(i\)が出て2回目に\(j\)が出る」という結果に相当します。例えば、「2回の目の和が偶数である」という事象を\(A\)で表し、「2回とも偶数の目が出る」という事象を\(B\)で表すとき、両者の間に\(A\subset B\)という関係が成り立たないため、「2階の目の和が偶数である」場合には必ずしも「2回とも偶数の目が出て」いるとは限りません。実際、\(i\)と\(j\)がともに奇数であるような場合が反例になっています。

次回は事象が等しいことの意味を定義します。

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