可算事象族の末尾事象の定義
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)は確率空間の公理を満たすものとして定義されているため、その要素である事象空間\(\mathcal{F}\)は\(\sigma \)-代数としての性質\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \mathcal{F}\not=\phi \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:A^{c}\in \mathcal{F} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall A_{1},A_{2},\cdots \in \mathcal{F}:\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{eqnarray*}を満たします。
可算個の事象からなる事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}\)が与えられているものとします。自然数\(m\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、先の事象族\(\left\{ A_{n}\right\}_{n\in \mathbb{N} }\)の要素である\(m\)番目以降のすべての事象\begin{equation*}A_{m},A_{m+1},\cdots
\end{equation*}に注目します。事象空間\(\mathcal{F}\)は\(\sigma \)-代数であり、\(\mathcal{F}\)は自身の部分集合であるため、先の事象\(A_{m},A_{m+1},\cdots \)を要素として持つとともに\(\mathcal{F}\)の部分集合であるような\(\sigma \)-代数が存在することが保証されます。そこで、そのような\(\sigma \)-代数をすべて集めてできる集合族を、\begin{equation*}\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}で表記します。定義より、任意の\(\lambda \in \Lambda \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \mathfrak{B}_{\lambda }\not=\phi \\
&&\left( b\right) \ \forall B\in \mathfrak{A}_{\lambda }:B^{c}\in \mathfrak{B}_{\lambda } \\
&&\left( c\right) \ \forall B_{1},B_{2},\cdots \in \mathfrak{B}_{\lambda
}:\bigcup\limits_{n\in \mathbb{N} }B_{n}\in \mathfrak{B}_{\lambda } \\
&&\left( d\right) \ A_{m},A_{m+1},\cdots \in \mathfrak{B}_{\lambda }\subset
\mathcal{F}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。\(\left(a\right) \)から\(\left( c\right) \)は\(\mathfrak{B}_{\lambda }\)が\(\sigma \)-代数であることを意味し、\(\left( d\right) \)は\(\mathfrak{B}_{\lambda }\)が事象\(A_{m},A_{m+1},\cdots \)を要素として持つ\(\mathcal{F}\)の部分集合であることを意味します。その上で、この集合族\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の共通部分\begin{equation*}\sigma \left( A_{m},A_{m+1},\cdots \right) =\bigcap\limits_{\lambda \in
\Lambda }\mathfrak{B}_{\lambda }
\end{equation*}をとり、これを事象\(A_{m},A_{m+1},\cdots \)から生成される最小の\(\sigma \)-代数（smallest \(\sigma \)-algebra induced by \(A_{m},A_{m+1},\cdots \)）と呼びます。
その名の通り、この集合族\(\sigma \left( A_{m},A_{m+1},\cdots \right) \)は事象\(A_{m},A_{m+1},\cdots \)を要素として持つ最小の\(\sigma \)-代数です。
\Lambda }\mathfrak{B}_{\lambda }
\end{equation*}と定義する。\(\sigma \left(A_{m},A_{m+1},\cdots \right) \)は\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素であるとともに、\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の任意の要素の部分集合である。すなわち、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \exists \lambda &\in &\Lambda :\sigma \left(
A_{m},A_{m+1},\cdots \right) =\mathfrak{B}_{\lambda } \\
\left( b\right) \ \forall \lambda &\in &\Lambda :\sigma \left(
A_{m},A_{m+1},\cdots \right) \subset \mathfrak{B}_{\lambda }
\end{eqnarray*}が成り立つ。
事象\(A_{m},A_{m+1},\cdots \in \mathcal{F}\)から生成される最小の\(\sigma \)-代数を、\begin{equation*}\sigma \left( A_{m},A_{m+1},\cdots \right) =\bigcap\limits_{\lambda \in
\Lambda }\mathfrak{B}_{\lambda }
\end{equation*}と定義しました。上の命題より、\begin{equation*}
\exists \lambda \in \Lambda :\sigma \left( A_{m},A_{m+1},\cdots \right) =\mathfrak{B}_{\lambda }
\end{equation*}が成り立ちます。また、\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の定義より、\begin{equation*}\forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{B}_{\lambda }\subset \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\begin{equation*}
\sigma \left( A_{m},A_{m+1},\cdots \right) \subset \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。つまり、\(\sigma \left( A_{m},A_{m+1},\cdots \right) \)の要素はいずれも可測な事象です。
可算事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が与えられれば、それぞれの自然数\(m\in \mathbb{N} \)に対して、事象\(A_{m},A_{m+1},\cdots \)から生成される最小の\(\sigma \)-代数を先の要領で生成できるため、それらの列\begin{gather*}\sigma \left( A_{1},A_{2},\cdots \right) \\
\sigma \left( A_{2},A_{3},\cdots \right) \\
\vdots
\end{gather*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ \sigma \left( A_{m},A_{m+1},\cdots \right) \right\} _{m\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が得られます。その上で、これらの共通部分\begin{equation*}
\mathcal{T}\left( \left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\right) =\bigcap\limits_{m\in \mathbb{N} }\sigma \left( A_{m},A_{m+1},\cdots \right)
\end{equation*}をとり、これを事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の末尾事象族（family oftail events）や末尾\(\sigma \)-代数（tail \(\sigma \)-algebra）や末尾\(\sigma \)-加法族（tail additive field）などと呼びます。先の議論より、\begin{equation*}
\forall m\in \mathbb{N} :\sigma \left( A_{m},A_{m+1},\cdots \right) \subset \mathcal{F}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{m\in \mathbb{N} }\sigma \left( A_{m},A_{m+1},\cdots \right) \subset \mathcal{F}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\mathcal{T}\left( \left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\right) \subset \mathcal{F}
\end{equation*}を得ます。つまり、末尾事象族の要素はいずれも可測な事象です。以降では必要に応じて、事象族\(\left\{A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の末尾事象族をシンプルに、\begin{equation*}\mathcal{T}
\end{equation*}で表記します。
末尾事象族\(\mathcal{T}\left( \left\{A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\right) \)の要素を末尾事象（tail event）と呼びます。集合\(A\subset \Omega \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}A\in \mathcal{T}\left( \left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\right) &\Leftrightarrow &A\in \bigcap\limits_{m\in \mathbb{N} }\sigma \left( A_{m},A_{m+1},\cdots \right) \quad \because \text{末尾事象族の定義} \\
&\Leftrightarrow &\forall m\in \mathbb{N} :A\in \sigma \left( A_{m},A_{m+1},\cdots \right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、末尾事象\(A\)と自然数\(m\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(A\)が\(\sigma \left( A_{m},A_{m+1},\cdots \right) \)の要素になることが保証されます。つまり、任意の末尾事象\(A\)は、\begin{gather*}A\in \sigma \left( A_{1},A_{2},\cdots \right) \\
A\in \sigma \left( A_{2},A_{3},\cdots \right) \\
\vdots
\end{gather*}を満たすということです。
以上が末尾事象の定義です。では、ある事象が事象族の末尾事象であることは何を意味するのでしょうか。末尾事象を定義するもととなる事象族が独立である場合、その意味が明確になります。順番に解説します。
独立な可算事象族の末尾事象
事象族が独立である場合、その事象族の任意の末尾事象は、その事象族に属する個々の事象とは独立になります。
A\right)
\end{equation*}が成り立つ。
事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の末尾事象\(A\)を任意に選びます。末尾事象の定義より、\begin{gather*}A\in \sigma \left( A_{1},A_{2},\cdots \right) \\
A\in \sigma \left( A_{2},A_{3},\cdots \right) \\
\vdots
\end{gather*}が成り立ちますが、以上の事実は、末尾事象\(A\)の起こりやすさは事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)に属する無限個の事象と密接な関係があることを意味します。その一方で、事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の要素である個々の事象\(A_{m}\)に注目した場合、上の命題より、この事象\(A_{m}\)は末尾事象\(A\)の起こりやすさに影響を与えません。
事象族が独立である場合、その事象族の任意の末尾事象は、その事象族に属する有限個の事象とは独立になります。
,A_{n_{m}}\right) :P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left(
B\right)
\end{equation*}が成り立つ。
事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の末尾事象\(A\)を任意に選びます。末尾事象の定義より、\begin{gather*}A\in \sigma \left( A_{1},A_{2},\cdots \right) \\
A\in \sigma \left( A_{2},A_{3},\cdots \right) \\
\vdots
\end{gather*}が成り立ちますが、以上の事実は、末尾事象\(A\)の起こりやすさは事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)に属する無限個の事象と密接な関係があることを意味します。その一方で、事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の要素である有限個の事象\(A_{n_{1}},A_{n_{2}},\cdots ,A_{n_{m}}\)に注目した場合、上の命題より、これらの事象\(A_{n_{1}},A_{n_{2}},\cdots ,A_{n_{m}}\)は末尾事象\(A\)の起こりやすさに影響を与えません。
末尾事象の具体例：上極限と下極限
以下は末尾事象であるような事象の具体例です。
}\bigcup\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}
\end{equation*}と定義される事象です。標本点\(\omega \in \Omega \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\omega \in \lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n} &\Leftrightarrow &\omega
\in \bigcap\limits_{n=1}^{+\infty }\bigcup\limits_{k=n}^{+\infty
}A_{k}\quad \because \text{上極限の定義}
\\
&\Leftrightarrow &\forall n\in \mathbb{N} :\omega \in \bigcup\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}\quad \because \text{積事象の定義} \\
&\Leftrightarrow &\forall n\in \mathbb{N} ,\ \exists k\in \mathbb{N} :\left( k\geq n\wedge \omega \in A_{k}\right) \quad \because \text{和事象の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。つまり、事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の上極限\(\lim \sup A_{n}\)が起こることとは、番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\(n\)以上の何らかの番号\(k\)に関する事象\(A_{k}\)が必ず起こることを意味します。任意の番号\(n\)について同様の主張が成り立つため、これは、任意個の番号\(k\)に関する事象\(A_{k}\)が起こることを意味します。事象族の上極限は、その事象族の末尾事象です（演習問題）。
}\bigcap\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}
\end{equation*}と定義される事象です。標本点\(\omega \in \Omega \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\omega \in \lim_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n} &\Leftrightarrow &\omega
\in \bigcup\limits_{n=1}^{+\infty }\bigcap\limits_{k=n}^{+\infty
}A_{k}\quad \because \text{下極限の定義}
\\
&\Leftrightarrow &\exists n\in \mathbb{N} :\omega \in \bigcap\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}\quad \because \text{和事象の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists n\in \mathbb{N} ,\ \forall k\in \mathbb{N} :\left( k\geq n\wedge \omega \in A_{k}\right) \quad \because \text{積事象の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。つまり、事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の下極限\(\lim \inf A_{n}\)が起こることとは、少なくとも1つの番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\(n\)以上のすべての無限個の番号\(k\)に関する事象\(A_{k}\)が起こることを意味します。事象族の下極限は、その事象族の末尾事象です（演習問題）。
コルモゴロフの0-1の法則
独立な事象族の末尾事象の確率は\(0\)または\(1 \)のどちらか一方であることが保証されます。これをコルモゴロフの0-1の法則（Kolmogorov’s Zero-One Law）と呼びます。
コルモゴロフの0-1法則は、独立な事象族の末尾事象の確率が必ず\(0\)または\(1\)のどちらか一方に定まるという主張であり、与えられた末尾事象の確率が\(0\)と\(1\)のどちらであるか判定する基準までは与えてくれていません。
}\bigcup\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}
\end{equation*}と定義される事象です。先に示したように上極限は事象族の末尾事象であるため、事象族が独立である場合、コルモゴロフの0-1法則より、その確率は\(0\)または\(1\)のどちらか一方に定まるはずです。実際、上極限に関するボレル・カンテリの第1補題より、\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が独立であるとは限らない場合にも、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }P\left( A_{n}\right) <\infty
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
P\left( \lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}\right) =0
\end{equation*}となる一方で、上極限に関するボレル・カンテリの第2補題より、\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が独立であるとともに、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }P\left( A_{n}\right) =\infty
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
P\left( \lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}\right) =1
\end{equation*}となります。以上の結果はコルモゴロフの0-1の法則と整合的です。ただし、ボレル・カンテリの補題は末尾事象である上極限の確率が\(1\)になるための条件および\(0\)になるための条件を与えているため、この点においてコルモゴロフの0-1の法則よりも豊かな情報を含んでいます。ただし、ボレル・カンテリの補題は上極限というクラスの末尾事象のみを対象とした主張であるのに対し、コルモゴロフの0-1の法則はあらゆる末尾事象を対象としています。
演習問題
}\bigcup\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}
\end{equation*}と定義される事象です。上極限は\(\left\{ A_{n}\right\}_{n\in \mathbb{N} }\)の末尾事象であることを示してください。
}\bigcap\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}
\end{equation*}と定義される事象です。下極限は\(\left\{ A_{n}\right\}_{n\in \mathbb{N} }\)の末尾事象であることを示してください。
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