空集合は任意の集合の部分集合であることから、標本空間の部分集合でもあり、したがって事象です。空集合を事象とみなしたとき、それを空事象と呼びます。空事象は試行によって決して起こらない現象に相当する事象です。

空事象

空集合\(\phi \)は任意の集合の部分集合であることから、標本空間\(\Omega \)に対しても\(\phi \subset \Omega \)という関係が成り立ちます。つまり、空集合\(\phi \)もまた事象であり、これを空事象(empty event)と呼びます。

空集合について復習する

標本空間\(\Omega \)の中には空事象\(\phi \)と整合的な標本点は存在しないため、空事象は試行によって決して起こらない現象に相当する事象です。

例(空事象)
1 つのサイコロを 1 回投げて出た目を観察するという試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}
\end{equation*}です。例えば、「\(7\)の目が出る」という現象と整合的な標本点は\(\Omega \)の中に存在しないため、この現象は空事象\(\phi \)として表されます。また、「2 つの目が同時に出る」という現象と整合的な標本点もまた\(\Omega \)の中には存在しないため、この現象もまた空事象\(\phi \)として表されます。
例(空事象)
1 つのサイコロを 2 回投げて出た目を観察するという試行の標本空間は、\begin{eqnarray*}
\Omega &=&\{\left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left(
1,4\right) ,\left( 1,5\right) ,\left( 1,6\right) , \\
&&\left( 2,1\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( 2,3\right) ,\left( 2,4\right)
,\left( 2,5\right) ,\left( 2,6\right) , \\
&&\left( 3,1\right) ,\left( 3,2\right) ,\left( 3,3\right) ,\left( 3,4\right)
,\left( 3,5\right) ,\left( 3,6\right) , \\
&&\left( 4,1\right) ,\left( 4,2\right) ,\left( 4,3\right) ,\left( 4,4\right)
,\left( 4,5\right) ,\left( 4,6\right) , \\
&&\left( 5,1\right) ,\left( 5,2\right) ,\left( 5,3\right) ,\left( 5,4\right)
,\left( 5,5\right) ,\left( 5,6\right) , \\
&&\left( 6,1\right) ,\left( 6,2\right) ,\left( 6,3\right) ,\left( 6,4\right)
,\left( 6,5\right) ,\left( 6,6\right) \}
\end{eqnarray*}です。ただし、標本点\(\left( i,j\right) \)は「1 回目に\(i\)が出て 2 回目に\(j\)が出る」という結果に相当します。例えば、「2 回の目の和が\(13\)以上である」という現象と整合的な標本点は\(\Omega \)の中には存在しないため、この現象は空事象\(\phi \)として表されます。また、「2 回のうち少なくとも 1 回は負の目が出る」という現象と整合的な標本点もまた\(\Omega \)の中には存在しないため、この現象もまた空事象\(\phi \)として表されます。

次回は部分事象について解説します。
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