積事象の確率

積事象は可測

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられているものとします。つまり、事象空間\(\mathcal{F}\subset 2^{\Omega }\)は可測空間の公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \mathcal{F}\not=\phi \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:A^{c}\in \mathcal{F} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}:\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{eqnarray*}を満たすとともに、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)は確率論の公理\begin{eqnarray*}&&\left( P_{1}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:P\left( A\right) \geq 0 \\
&&\left( P_{2}\right) \ P\left( \Omega \right) =1 \\
&&\left( P_{3}\right) \ \forall \text{排反な}\left\{
A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}:P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) =\sum_{n\in \mathbb{N} }P\left( A_{n}\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、和事象の確率を特定する際には確率測度\(P\)の加法性や劣加法性、加法定理などを利用できることが明らかになりましたが、積事象の確率に関してはどのようなことが言えるのでしょうか。以上の疑問に答える前に、積事象が可測であることを確認します。

事象空間\(\mathcal{F}\)は有限交叉についても閉じています。つまり、有限個の事象を任意に選んだとき、それらの積事象が可測であることが保証されます。

事象空間\(\mathcal{F}\)は可算交叉についても閉じています。つまり、可算個の事象を任意に選んだとき、それらの積事象が可測であることが保証されます。

以上より、2つの事象の積事象、有限個の事象の積事象、可算個の事象の積事象はいずれも可測であることが明らかになりました。つまり、これらの積事象に対して確率測度\(P\)が確率を付与することが保証されます。

積事象の確率

事象\(A,B\in \mathcal{F}\)を任意に選ぶと、加法定理より、\begin{equation*}P\left( A\cup B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right) -P\left( A\cap
B\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、これを変形することにより、\begin{equation*}
P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right) -P\left( A\cup
B\right)
\end{equation*}を得ます。つまり、排反であるとは限らない2つの事象の積事象の確率は、個々の事象の確率の和から和事象の確率を引くことにより得られます。

積事象に関するボンフェローニの不等式

排反であるとは限らない事象\(A,B\in \mathcal{F}\)を任意に選んだとき、それらの積事象の確率は、\begin{equation*}P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right) -P\left( A\cup
B\right)
\end{equation*}として与えられます。ただ、和事象\(P\left( A\cup B\right) \)の確率を特定するのが難しい場合、上の関係式を利用することはできません。そのような場合、積事象の確率\(P\left( A\cap B\right) \)を知る上で何らかの指針は存在するのでしょうか。まず、任意の事象の確率は\(0\)以上\(1\)以下であるため、\begin{equation*}0\leq P\left( A\cap B\right) \leq 1
\end{equation*}が成り立ちます。加えて、個々の事象\(A,B\)の確率が判明している場合には、積事象の確率が以下の不等式\begin{equation*}P\left( A\cap B\right) \geq P\left( A\right) +P\left( B\right) -1
\end{equation*}を満たすことが保証されます。つまり、排反であるとは限らない2つの事象の積事象の確率は、個々の事象の確率の和から\(1\)を引くことにより得られる値以上になることが保証されます。これをボンフェローニの不等式（Bonferroni’s inequality）と呼びます。ただし、個々の事象の確率の値が小さすぎる場合には右辺が負の値になってしまうため、この場合には不等式が役に立ちません。

ボンフェローニの不等式は3個以上の事象の積事象に関しても拡張可能です。

このままでは分かりづらいため、\(n\)に具体的な数を入れてみます。

演習問題