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PROBABILITY

積事象の確率

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積事象は可測

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、和事象の確率を特定する際には確率関数\(P\)の加法性や劣加法性、加法定理などを利用できることが明らかになりましたが、積事象の確率に関してはどのようなことが言えるのでしょうか。以上の疑問に答える前に、そもそも積事象が可測であることを確認しておく必要があります。

命題(積事象は可測)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において、事象\(A,B\in \mathcal{F}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\cap B\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つ。つまり、\(\mathcal{F}\)は共通部分について閉じている。
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事象空間\(\mathcal{F}\)は有限交叉についても閉じています。つまり、有限個の事象を任意に選んだとき、それらの積事象が可測であることが保証されます。

命題(有限個の事象の積事象は可測)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において、有限事象族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つ。つまり、\(\mathcal{F}\)は有限交叉について閉じている。
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事象空間\(\mathcal{F}\)は可算交叉についても閉じています。つまり、可算個の事象を任意に選んだとき、それらの積事象が可測であることが保証されます。

命題(可算個の事象の積事象は可測)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において、可算事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\bigcap_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つ。つまり、\(\mathcal{F}\)は可算交叉について閉じている。
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以上より、2つの事象の積事象、有限個の事象の積事象、可算個の事象の積事象はいずれも可測であることが明らかになりました。つまり、これらの積事象に対して確率関数が確率を付与することが保証されます。

 

積事象の確率

事象\(A,B\in \mathcal{F}\)を任意に選ぶと、加法定理より、\begin{equation*}P\left( A\cup B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right) -P\left( A\cap
B\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、これを変形することにより、\begin{equation*}
P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right) -P\left( A\cup
B\right)
\end{equation*}を得ます。つまり、排反であるとは限らない2つの事象の積事象の確率は、個々の事象の確率の和から和事象の確率を引くことにより得られます。

命題(積事象の確率)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において、事象\(A,B\in \mathcal{F}\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right) -P\left( A\cup
B\right)
\end{equation*}が成り立つ。

 

ボンフェローニの不等式

繰り返しになりますが、排反であるとは限らない事象\(A,B\in \mathcal{F}\)を任意に選んだとき、それらの積事象の確率は、\begin{equation*}P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right) -P\left( A\cup
B\right)
\end{equation*}として与えられます。ただ、和事象\(P\left( A\cup B\right) \)の確率を特定するのが難しい場合、上の関係式を利用することはできません。そのような場合、積事象の確率\(P\left( A\cap B\right) \)を知る上で何らかの指針は存在するのでしょうか。まず、任意の事象の確率は\(0\)以上\(1\)以下であるため、\begin{equation*}0\leq P\left( A\cap B\right) \leq 1
\end{equation*}は明らかに成り立ちます。加えて、個々の事象\(A,B\)の確率が判明している場合には、積事象の確率が以下の不等式\begin{equation*}P\left( A\cap B\right) \geq P\left( A\right) +P\left( B\right) -1
\end{equation*}を満たすことが保証されます。つまり、排反であるとは限らない2つの事象の積事象の確率は、個々の事象の確率の和から\(1\)を引くことで得られる値以上になることが保証されます。これをボンフェローニの不等式(Bonferroni’s inequality)と呼びます。ただし、個々の事象の確率の値が小さすぎる場合には右辺が負の値になってしまうため、この場合には不等式が役に立ちません。

命題(ボンフェローニの不等式)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において、事象\(A,B\in \mathcal{F}\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}P\left( A\cap B\right) \geq P\left( A\right) +P\left( B\right) -1
\end{equation*}が成り立つ。

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ボンフェローニの不等式は3個以上の事象の積事象に関しても拡張可能です。

命題(ボンフェローニの不等式の拡張)
確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)において、有限事象族\(\left\{A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}P\left( \bigcap\limits_{i=1}^{n}A_{i}\right) =\sum_{i=1}^{n}P(A_{i})-\left(
n-1\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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例(ボンフェローニの不等式)
3個の事象\(A_{1},A_{2},A_{3}\)を任意に選ぶと、上の命題より、\begin{eqnarray*}P\left( A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\right) &=&P\left( A_{1}\right) +P\left(
A_{2}\right) +P\left( A_{3}\right) -\left( 3-1\right) \\
&=&P\left( A_{1}\right) +P\left( A_{2}\right) +P\left( A_{3}\right) -2
\end{eqnarray*}を得ます。

例(ボンフェローニの不等式)
4個の事象\(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\)を任意に選ぶと、上の命題より、\begin{eqnarray*}P\left( A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}\right) &=&P\left( A_{1}\right)
+P\left( A_{2}\right) +P\left( A_{3}\right) +P\left( A_{4}\right) -\left(
4-1\right) \\
&=&P\left( A_{1}\right) +P\left( A_{2}\right) +P\left( A_{3}\right) +P\left(
A_{4}\right) -3
\end{eqnarray*}を得ます。

次回は差事象の確率について解説します。

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積事象

事象 A と事象 B の共通部分として定義される事象を A と B の積事象と呼びます。これは「A と B の双方が起こる」という現象に相当する事象です。また、A と B の積事象が空事象であるとき、A と B はお互いに排反事象であると言います。

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