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集合族の和集合

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有限集合族の和集合

復習になりますが、2つの集合\(A,B\)の和集合\(A\cup B\)とは、\(A\)と\(B\)の少なくとも一方に属する要素からなる集合\begin{equation*}A\cup B=\left\{ x\in U\ |\ x\in A\vee x\in B\right\}
\end{equation*}として定義されます。ただし、\(U\)は全体集合です。以上の考えを一般化することにより、3個以上の集合の和集合、すなわち、3個以上の集合を要素として持つ集合族の和集合を考えることができます。

具体的には、有限\(n\)個の集合\(A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\)を要素として持つ有限集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)が与えられたとき、その和集合を、\begin{equation*}\bigcup_{i=1}^{n}A_{i},\quad A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{n}
\end{equation*}などと表記しますが、これは、集合族\(\left\{A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)の要素である少なくとも1つの集合に属する要素からなる集合\begin{equation*}\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}=\left\{ x\in U\ |\ \exists i\in \left\{ 1,2,\cdots
,n\right\} :x\in A_{i}\right\}
\end{equation*}として定義されます。定義より、任意の\(x\in U\)に対して、\begin{equation*}x\in \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\Leftrightarrow \exists i\in \left\{ 1,2,\cdots
,n\right\} :x\in A_{i}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、要素\(x\)が集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)の和集合の要素であることと、\(x\)が集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)に属する集合\(A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\)の中の少なくとも1つの集合の要素であることは必要十分です。

例(有限集合族の和集合)
集合\(A_{1},A_{2},A_{3}\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}A_{1} &=&\left\{ 0,2,5\right\} \\
A_{2} &=&\left\{ 1,2,5\right\} \\
A_{3} &=&\left\{ 2,5,7\right\}
\end{eqnarray*}と定義されているとき、集合族\(\left\{ A_{1},A_{2},A_{3}\right\} \)の和集合は、\begin{eqnarray*}\bigcup_{i=1}^{3}A_{i} &=&A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3} \\
&=&\left\{ 0,1,2,5,7\right\}
\end{eqnarray*}となります。

例(有限集合族の和集合)
ある高校の全校生徒からなる集合を\(A\)で表し、その中でも\(i\ \left(=1,2,3\right) \)年生からなる集合を\(A_{i}\)で表します。集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{3}\)の和集合は、\begin{eqnarray*}\bigcup\limits_{i=1}^{3}A_{i} &=&\left\{ x\in A\ |\ \exists i\in \left\{
1,2,3\right\} :x\in A_{i}\right\} \\
&=&\left\{ x\in A\ |\ x\text{は}1\text{年生または}2\text{年生または}3\text{年生}\right\} \\
&=&A
\end{eqnarray*}となります。

例(有限集合族の和集合)
自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、それぞれの番号\(i\in\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} \)に対して以下の集合\begin{equation*}A_{i}=\left\{ 1,2,\cdots ,i\right\}
\end{equation*}を定義し、さらにこれを要素として持つ有限集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)について考えます。例えば、\begin{eqnarray*}A_{1} &=&\left\{ 1\right\} \\
A_{2} &=&\left\{ 1,2\right\} \\
&&\vdots \\
A_{n} &=&\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\}
\end{eqnarray*}などとなります。これらの間には、\begin{equation*}
A_{1}\subset A_{2}\subset \cdots \subset A_{n}
\end{equation*}という関係が成り立つため、この集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)の和集合は、\begin{eqnarray*}\bigcup_{i=1}^{n}A_{i} &=&A_{n} \\
&=&\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\}
\end{eqnarray*}となります。

 

可算集合族の和集合

可算集合族とは無限個の集合を要素として持つとともに、それらの集合を\(1,2,3,\cdots \)と数えていくことが可能であるような集合族です。可算集合族の要素であるそれぞれの集合には\(A_{1},A_{2},A_{3},\cdots \)と順番に番号を振ることができるため、可算集合族を、\begin{equation*}\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }^{{}},\quad \left\{ A_{n}\right\} _{i=1}^{\infty },\quad \left\{
A_{1},A_{2},A_{3},\cdots \right\}
\end{equation*}などと表記できます。

可算集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }^{{}}\)が与えられたとき、その和集合を、\begin{equation*}\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n},\quad \bigcup_{n=1}^{\infty }A_{n}
\end{equation*}などと表記しますが、これは、集合族\(\left\{A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }^{{}}\)の要素である少なくとも1つの集合に属する要素からなる集合\begin{equation*}\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}=\left\{ x\in U\ |\ \exists n\in \mathbb{N} :x\in A_{n}\right\}
\end{equation*}として定義されます。定義より、任意の\(x\in U\)に対して、\begin{equation*}x\in \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\Leftrightarrow \exists n\in \mathbb{N} :x\in A_{n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、要素\(x\)が集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }^{{}}\)の和集合の要素であることと、\(x\)が集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }^{{}}\)に属する集合\(A_{1},A_{2},\cdots,A_{n},\cdots \)の中の少なくとも1つの集合の要素であることは必要十分です。

例(可算集合族の和集合)
それぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して以下の集合\begin{equation*}A_{n}=\left\{ 1,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}を定義し、さらにこれを要素として持つ可算集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)について考えます。例えば、\begin{eqnarray*}A_{1} &=&\left\{ 1\right\} \\
A_{2} &=&\left\{ 1,2\right\} \\
A_{3} &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。この集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の和集合は、\begin{eqnarray*}\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n} &=&\left\{ x\in U\ |\ \exists n\in \mathbb{N} :x\in A_{n}\right\} \\
&=&\mathbb{N} \end{eqnarray*}となります。

 

集合に添字付けられた集合族の和集合

添字集合\(\Lambda \)のそれぞれの要素\(\lambda \in \Lambda \)に対して集合\(A_{\lambda }\)が1つずつ対応している場合、すべての\(\lambda \)に関する集合\(A_{\lambda }\)を要素として持つ集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を定義することができ、これを\(\Lambda \)によって添字付けられた集合族と呼びます。

集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が与えられたとき、その和集合を、\begin{equation*}\bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}で表記しますが、これは、集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素である少なくとも1つの集合に属する要素からなる集合\begin{equation*}\bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\left\{ x\in U\ |\ \exists
\lambda \in \Lambda :x\in A_{\lambda }\right\}
\end{equation*}として定義されます。定義より、任意の\(x\in U\)に対して、\begin{equation*}x\in \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\Leftrightarrow \exists
\lambda \in \Lambda :x\in A_{\lambda }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、要素\(x\)が集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }\)の和集合の要素であることと、\(x\)が集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)に属する少なくとも1つの集合\(A_{\lambda }\ \left( \lambda \in \Lambda\right) \)の要素であることは必要十分です。

例(集合族の和集合)
集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の添字集合が、\begin{equation*}\Lambda =\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}である場合、この集合族は、\begin{equation*}
\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }=\left\{
A_{1},A_{2}\right\}
\end{equation*}という有限集合族であり、その和集合は、\begin{equation*}
\bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=A_{1}\cup A_{2}
\end{equation*}となります。つまり、集合に添字付けられた集合族の和集合は2つの集合の和集合の一般化です。

例(集合族の和集合)
集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の添字集合が、\begin{equation*}\Lambda =\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}である場合、この集合族は、\begin{equation*}
\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda =1}^{n}=\left\{ A_{1},A_{2},\cdots
,A_{n}\right\}
\end{equation*}という有限集合族であり、その和集合は、\begin{equation*}
\bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\bigcup_{\lambda
=1}^{n}A_{\lambda }
\end{equation*}となります。つまり、集合に添字付けられた集合族の和集合は有限集合族の和集合の一般化です。

例(集合族の和集合)
集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の添字集合が、\begin{equation*}\Lambda =\mathbb{N} \end{equation*}である場合、この集合族は、\begin{equation*}
\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \mathbb{N} }=\left\{ A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n},\cdots \right\}
\end{equation*}という可算集合族であり、その和集合は、\begin{equation*}
\bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\bigcup_{\lambda \in \mathbb{N} }A_{\lambda }
\end{equation*}となります。つまり、集合に添字付けられた集合族の和集合は可算集合族の和集合の一般化です。

例(集合族の和集合)
それぞれの\(n\in \left[ 0,1\right] \)に対して以下の集合\begin{equation}A_{n}=\left[ n-1,n+1\right] \quad \cdots (1)
\end{equation}を定義し、さらにこれを要素として持つ集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \left[ 0,1\right] }\)について考えます。この集合族の和集合は、\begin{eqnarray*}\bigcup\limits_{n\in \left[ 0,1\right] }A_{n} &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \exists n\in \left[ 0,1\right] :x\in A_{n}\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \exists n\in \left[ 0,1\right] :n-1\leq x\leq n+1\right\} \quad
\because \left( 1\right) \\
&=&\left[ -1,2\right] \end{eqnarray*}となります。

 

一般の集合族の和集合

集合族\(\mathfrak{A}\)の要素である集合が添字付けられていない場合にも、\(\mathfrak{A}\)の和集合をとることができ、それを、\begin{equation*}\bigcup \mathfrak{A}
\end{equation*}で表記します。具体的には、集合族\(\mathfrak{A}\)の和集合とは\(\mathfrak{A}\)の要素である少なくとも1つの集合に含まれる要素からなる集合であるため、\begin{eqnarray*}\bigcup \mathfrak{A} &\mathfrak{=}&\bigcup_{A\in \mathfrak{A}}A \\
&=&\left\{ x\in U\ |\ \exists A\in \mathfrak{A}:x\in A\right\}
\end{eqnarray*}となります。定義より、定義より、任意の\(x\in U\)に対して、\begin{equation*}x\in \bigcup \mathfrak{A}\Leftrightarrow \exists A\in \mathfrak{A}:x\in A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、要素\(x\)が集合族\(\mathfrak{A}\)の和集合の要素であることと、\(x\)が集合族\(\mathfrak{A}\)に属する少なくとも1つの集合\(A\in \mathfrak{A}\)の要素であることは必要十分です。

例(集合族の和集合)
集合\(A\)のベキ集合\(2^{A}\)は集合族であるため、その和集合をとることができます。具体的には、\begin{eqnarray*}\bigcup 2^{A} &=&\bigcup_{B\in 2^{A}}B \\
&=&\left\{ x\ |\ \exists B\in 2^{A}:x\in B\right\} \\
&=&A
\end{eqnarray*}となります。つまり、任意の集合\(A\)のベキ集合の和集合はもとの集合\(A\)と一致します。

 

包含関係による集合族の和集合の定義

復習になりますが、包含関係と共通部分の間には以下の関係が成り立ちます。

命題(包含関係による和集合の定義)
任意の集合\(A,B,C\)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\subset A\cup B \\
&&\left( b\right) \ B\subset A\cup B \\
&&\left( c\right) \ (A\subset C)\wedge (B\subset C)\Rightarrow A\cup
B\subset C
\end{eqnarray*}が成り立つ。

集合\(A,B\)を任意に選ぶと、\(\left( a\right) \)と\(\left( b\right) \)より、それらの和集合\(A\cup B\)は\(A\)と\(B\)の両方を部分集合として持ちます。\(A\)と\(B\)の双方を部分集合として持つような集合\(C\)を任意に選ぶと、\(\left(c\right) \)より、これはかならず\(A\cap B\)を部分集合として持ちます。したがって、上の命題は、和集合\(A\cup B\)は\(A\)と\(B\)の双方を部分集合として持つような集合の中でも最小の集合であることを示唆します。この事実は、和集合という集合演算が包含関係から間接的に定義可能な概念であることを示唆します。つまり、\(\subset \)が与えられたとき、集合\(A,B\)について、「\(A\)と\(B\)双方を部分集合として持つような集合の中でも最小の集合」として\(A\cup B\)を定義できるということです。

集合族の和集合においても同様の命題が成り立ちます。

命題(包含関係による和集合の定義)
任意の集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda ^{\prime }\in \Lambda :A_{\lambda
^{\prime }}\subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda } \\
&&\left( b\right) \ \left( \forall \lambda ^{\prime }\in \Lambda :A_{\lambda
^{\prime }}\subset Y\right) \Rightarrow \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }\subset Y
\end{eqnarray*}が成り立つ。

証明

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集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選ぶと、\(\left(a\right) \)より、その和集合\(\bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\)は集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の任意の要素を部分集合として持ちます。さらに、集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }\)の要素であるすべての集合を部分集合として持つような集合\(Y\)を任意に選ぶと、\(\left( b\right) \)より、\(Y\)は必ず集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の和集合\(\bigcup_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda }\)を部分集合として持ちます。したがって、上の命題は、集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の和集合は、その集合族の要素であるすべての集合を部分集合として持つ集合の中でも最小の集合であることを示唆します。この事実は、集合族の和集合という集合演算が包含関係から間接的に定義可能な概念であることを示唆します。つまり、\(\subset \)が与えられたとき、集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)について、「すべての集合\(A_{\lambda }\ \left( \lambda \in \Lambda \right) \)を部分集合として持つ最小の集合」として和集合\(\bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\)を定義できるということです。

例(包含関係による和集合の定義)
集合族\(\mathfrak{A}\)の要素である集合が添字付けられていない場合、その和集合は、\begin{equation*}\bigcup \mathfrak{A}\mathfrak{=}\bigcup_{A\in \mathfrak{A}}A
\end{equation*}と定義されます。以上を踏まえた上で先の命題の主張を言い換えると、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall A^{\prime }\in \mathfrak{A}:A^{\prime }\subset
\bigcup\limits_{A\in \mathfrak{A}}A \\
&&\left( b\right) \ \left( \forall A^{\prime }\in \mathfrak{A}:A^{\prime
}\subset B\right) \Rightarrow \bigcup\limits_{A\in \mathfrak{A}}A\subset B
\end{eqnarray*}となります。\(\left( a\right) \)は、集合族\(\mathfrak{A}\)の和集合が\(\mathfrak{A}\)の任意の要素を部分集合として持つという主張です。\(\left( b\right) \)は、集合族\(\mathfrak{A}\)の要素であるすべての集合を部分集合として持つ集合\(B\)を任意に選ぶと、それは必ず\(\mathfrak{A}\)の和集合を部分集合として持つという主張です。

 

演習問題

問題(集合族の和集合)
集合\(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}A_{1} &=&\left\{ a,b,d,e,g,f\right\} \\
A_{2} &=&\left\{ a,b,c,d\right\} \\
A_{3} &=&\left\{ b,d,a\right\} \\
A_{4} &=&\left\{ a,b,h\right\}
\end{eqnarray*}と定義します。集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{4}\)の和集合を求めてください。
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問題(集合族の和集合)
それぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して以下の集合\begin{equation*}A_{n}=\left\{ -n,0,n\right\}
\end{equation*}を定義します。可算集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の和集合を求めてください。
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問題(集合族の和集合)
それぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して以下の集合\begin{eqnarray*}A_{n} &=&\left[ n,n+1\right] \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ n\leq x\leq n+1\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。可算集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の和集合を求めてください。
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問題(集合族の和集合)
それぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して以下の集合\begin{equation*}A_{n}=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\frac{1}{n}\leq x\leq \frac{1}{n}\right\}
\end{equation*}を定義します。可算集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の和集合を求めてください。
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問題(集合族の和集合)
集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)と添字集合の非空な部分集合\(\Gamma \subset \Lambda \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\bigcup_{\lambda \in \Gamma }A_{\lambda }\subset \bigcup_{\lambda \in
\Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(集合族の和集合)
すべての自然数からなる集合\(\mathbb{N} \)のベキ集合\(2^{\mathbb{N} }\)について、その和集合を求めてください。
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次回は集合族演算の法則について学びます。

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