集合族の和集合

集合族の要素である少なくとも1つの集合に含まれる要素からなる集合を集合族の和集合と定義します。集合族の和集合は、その集合族の要素である任意の集合を部分集合として含む集合の中でも最小のものです。
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集合族の和集合

添字集合\(\Lambda \)によって添字付けられた集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の和集合を、\begin{equation*}
\bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}と表記します。特に、添字集合が有限集合\(\Lambda =\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} \)である場合には、\begin{equation*}
\bigcup\limits_{\lambda =1}^{n}A_{\lambda }=A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup
A_{n}
\end{equation*}と表記し、添字集合がすべての自然数からなる集合\(\mathbb{N}\)である場合には、\begin{equation*}
\bigcup\limits_{\lambda =1}^{\infty }A_{\lambda }=A_{1}\cup A_{2}\cup
A_{3}\cup \cdots
\end{equation*}と表記します。いずれにせよ、添字集合\(\Lambda \)が任意の集合であるとき、集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の和集合をどのように定義すればよいでしょうか。

最もシンプルかつ具体的なケースは添字集合が\(\Lambda =\left\{ 1,2\right\} \)の場合であり、このとき、\begin{equation}
\bigcup\limits_{\lambda \in \left\{ 1,2\right\} }A_{\lambda }=A_{1}\cup A_{2}
\tag{1}
\end{equation}となります。つまり、集合族の和集合が、2つの集合の和集合と一致するケースです。全体集合の要素\(x\in U\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
x\in \bigcup\limits_{\lambda \in \left\{ 1,2\right\} }A_{\lambda }
&\Leftrightarrow &x\in \left( A_{1}\cup A_{2}\right) \quad \because \left(
1\right) \\
&\Leftrightarrow &x\in A_{1}\vee x\in A_{2}\quad \because \cup \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \lambda \in \left\{ 1,2\right\} :x\in A_{\lambda
}\quad \because \exists \text{の定義}
\end{eqnarray*}という同値変形が可能であるため、\begin{equation}
\bigcup\limits_{\lambda \in \left\{ 1,2\right\} }A_{\lambda }=\left\{ x\in
U\ |\ \exists \lambda \in \left\{ 1,2\right\} :x\in A_{\lambda }\right\}
\tag{2}
\end{equation}となります。つまり、集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \left\{ 1,2\right\} }\)の和集合とは、\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \left\{ 1,2\right\} }\)の要素である集合\(A_{\lambda }\ \left( \lambda \in \left\{ 1,2\right\} \right) \)の中の少なくとも1つに属する要素からなる集合です。

以上の具体例を参考に、一般の添字集合\(\Lambda \)によって添字付けられた集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の和集合を定義します。具体的には、\(\left( 2\right) \)において添字集合を\(\left\{ 1,2\right\} \)から\(\Lambda \)に置き換えると、\begin{equation*}
\bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\left\{ x\in U\ |\ \exists
\lambda \in \Lambda :x\in A_{\lambda }\right\}
\end{equation*}を得ますが、これを\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の和集合の定義とします。つまり、集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の和集合とは、\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素である集合\(A_{\lambda }\ \left( \lambda \in \Lambda \right) \)の中の少なくとも1つに属する要素からなる集合です。上の定義より、任意の\(x\in U\)について、\begin{equation*}
x\in \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\Leftrightarrow
\exists \lambda \in \Lambda :x\in A_{\lambda }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(x\)が集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda } \)の和集合の要素であることと、\(x\)が集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素である集合\(A_{\lambda }\ \left( \lambda \in \Lambda \right) \)の中の少なくとも1つに属することは必要十分です。

例(集合族の和集合)
集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{3}\)の要素であるそれぞれの集合\(A_{n}\)が、\begin{eqnarray*}
A_{1} &=&\left\{ 0,2,5\right\} \\
A_{2} &=&\left\{ 1,2,5\right\} \\
A_{3} &=&\left\{ 2,5,7\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。この集合族の和集合は、\begin{eqnarray*}
\bigcup\limits_{n=1}^{3}A_{n} &=&\left\{ x\in\mathbb{R} \ |\ \exists n\in \left\{ 1,2,3\right\} :x\in A_{n}\right\} \\
&=&A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\quad \because \exists ,\cup \text{の定義} \\
&=&\left\{ 0,1,2,5,7\right\}
\end{eqnarray*}となります。
例(集合族の和集合)
ある高校の全校生徒からなる集合を\(A\)で表し、その中でも\(i\in \left\{ 1,2,3\right\} \)年生からなる集合を\(A_{i}\)で表します。集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \left\{ 1,2,3\right\} }\)の和集合は、\begin{eqnarray*}
\bigcup\limits_{i=1}^{3}A_{i} &=&\left\{ x\in A\ |\ \exists i\in \left\{
1,2,3\right\} :x\in A_{i}\right\} \\
&=&A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\quad \because \exists ,\cup \text{の定義} \\
&=&A
\end{eqnarray*}となります。
例(集合族の和集合)
集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{\infty }\)の要素であるそれぞれの集合\(A_{n}\)が、\begin{equation}
A_{n}=\left\{ 1,\cdots ,n\right\} \tag{1}
\end{equation}で与えられているものとします。この集合族の和集合は、\begin{eqnarray*}
\bigcup\limits_{n=1}^{\infty }A_{n} &=&\left\{ x\in\mathbb{R} \ |\ \exists n\in
\mathbb{N}:x\in A_{n}\right\} \\
&=&\left\{ x\in\mathbb{R} \ |\ \exists n\in
\mathbb{N}:x\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \right\} \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left\{ 1\right\} \cup \left\{ 1,2\right\} \cup \left\{ 1,2,3\right\}
\cup \cdots \quad \because \exists ,\cup \text{の定義} \\
&=&\left\{ 1,2,3,\cdots \right\} \\
&=&\mathbb{N}\end{eqnarray*}となります。
例(集合族の共通部分)
集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \left[ 0,1\right] }\)の要素であるそれぞれの集合\(A_{n}\)が、\begin{equation}
A_{n}=\left[ n-1,n+1\right] \tag{1}
\end{equation}で与えられているものとします。この集合族の和集合は、\begin{eqnarray*}
\bigcup\limits_{n\in \left[ 0,1\right] }A_{n} &=&\left\{ x\in\mathbb{R} \ |\ \exists n\in \left[ 0,1\right] :x\in A_{n}\right\} \\
&=&\left\{ x\in\mathbb{R} \ |\ \exists n\in \left[ 0,1\right] :n-1\leq x\leq n+1\right\} \quad
\because \left( 1\right) \\
&=&\left[ -1,2\right] \end{eqnarray*}となります。
例(集合族の和集合)
集合族\(\mathfrak{A}\)の要素である集合が添字付けられていない場合にも、\(\mathfrak{A}\)の和集合をとることができます。具体的には、集合族\(\mathfrak{A}\)の和集合とは\(\mathfrak{A}\)の要素である集合の中の少なくともに含まれる要素からなる集合であるため、\begin{equation*}
\bigcup_{A\in \mathfrak{A}}A=\left\{ x\ |\ \exists A\in \mathfrak{A}:x\in
A\right\}
\end{equation*}と表現できます。
例(集合族の和集合)
集合\(A\)のベキ集合\(2^{A}\)は集合族であるため、その和集合をとることができます。具体的には、それは、\begin{equation*}
\bigcup_{B\in 2^{A}}B=\left\{ x\ |\ \exists B\in 2^{A}:x\in B\right\}
\end{equation*}となります。\(A\subset A\)すなわち\(A\in 2^{A}\)が成り立つため、\begin{equation*}
\bigcup_{B\in 2^{A}}B=A
\end{equation*}となります。任意の集合のベキ集合の和集合はもとの集合に一致します。

 

包含関係による集合族の和集合の定義

包含関係と和集合の間には以下の関係が成り立つことを以前に示しました。

命題(包含関係による和集合の定義)
任意の集合\(A,B,C\)について以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A\subset A\cup B \\
&&\left( b\right) \ B\subset A\cup B \\
&&\left( c\right) \ (A\subset C)\ \wedge \ (B\subset C)\ \Rightarrow \ A\cup
B\subset C
\end{eqnarray*}
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集合\(A,B\)を任意に選ぶと、\(\left( a\right) \)と\(\left( b\right) \)より、それらはともに和集合\(A\cup B\)の部分集合です。さらに、\(A\)と\(B\)の両方を部分集合として持つ集合\(C\)を任意に選ぶと、\(\left( c\right) \)より、\(C\)は必ず\(A\cup B\)を部分集合として持ちます。したがって、上の命題は、和集合\(A\cup B\)は\(A\)と\(B\)の両方を部分集合として持つ集合の中でも最小の集合であることを示唆します。この事実は、和集合\(\cup \)という集合演算が、包含関係\(\subset \)から間接的に定義可能な概念であることを示唆します。つまり、\(\subset \)が与えられたとき、集合\(A,B\)について、「\(A\)と\(B\)の両方を部分集合として持つ集合の中で最小の集合」として\(A\cup B\)を定義できるということです。

集合族の和集合においても同様の命題が成り立ちます。

命題(包含関係による和集合の定義)
任意の集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)について以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall \lambda ^{\prime }\in \Lambda :A_{\lambda
^{\prime }}\subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda } \\
&&\left( b\right) \ \left( \forall \lambda ^{\prime }\in \Lambda :A_{\lambda
^{\prime }}\subset Y\right) \Rightarrow \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }\subset Y
\end{eqnarray*}
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集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda } \)を任意に選ぶと、\(\left( a\right) \)より、その和集合\(\bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\)は集合族の任意の要素\(A_{\lambda }\)を部分集合として持ちます。さらに、集合族の要素であるすべての集合を部分集合として持つような集合\(Y\)を任意に選ぶと、\(\left( b\right) \)より、\(Y\)は必ず集合族の和集合\(\bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\)を部分集合として持ちます。したがって、上の命題は、集合族の和集合は、その集合族の要素であるすべての集合を部分集合として持つ集合の中でも最小の集合であることを示唆します。この事実は、集合族の和集合という集合演算が、包含関係\(\subset \)から間接的に定義可能な概念であることを示唆します。つまり、\(\subset \)が与えられたとき、集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)について、「すべての集合\(A_{\lambda }\ \left( \lambda \in \Lambda \right) \)を部分集合として持つ集合のなかで最小の集合」として和集合\(\bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\)を定義できるということです。

例(包含関係による和集合の定義)
繰り返しになりますが、集合族\(\mathfrak{A}\)の要素である集合が添字付けられていない場合、その和集合は、\begin{equation*}
\bigcup_{A\in \mathfrak{A}}A=\left\{ x\ |\ \exists A\in \mathfrak{A}:x\in
A\right\}
\end{equation*}と表現されます。このような表記を踏まえた上で上の命題の主張を言い換えると、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall A^{\prime }\in \mathfrak{A}:A^{\prime }\subset
\bigcup\limits_{A\in \mathfrak{A}}A \\
&&\left( b\right) \ \left( \forall A^{\prime }\in \mathfrak{A}:A^{\prime
}\subset B\right) \Rightarrow \bigcup\limits_{A\in \mathfrak{A}}A\subset B
\end{eqnarray*}となります。\(\left( a\right) \)は、集合族\(\mathfrak{A}\)の和集合\(\bigcup_{A\in \mathfrak{A}}A\)が\(\mathfrak{A}\)の任意の要素\(A^{\prime }\)を部分集合として持つという主張です。\(\left( b\right) \)は、集合族\(\mathfrak{A}\)の要素であるすべての集合を部分集合として持つような集合\(B\)を任意に選ぶと、それは必ず\(\mathfrak{A}\)の和集合\(\bigcup_{A\in \mathfrak{A}}A\)を部分集合として持つという主張です。

次回は集合族演算の法則について学びます。

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