集合族の要素である少なくとも1つの集合に含まれる要素からなる集合を集合族の和集合と定義します。集合族の和集合は、その集合族の要素である任意の集合を部分集合として含む集合の中でも最小のものです。

集合族の和集合

2019年3月13日:公開

集合族の和集合

集合族の和集合について考えます。まずは最もシンプルな例として、2 つの集合を要素とする集合族の和集合について考えます。具体的には、添字集合を\(\Lambda =\{\lambda _{1},\lambda _{2}\}\)とする添字付けられた集合族\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }=\{X_{\lambda _{1}},X_{\lambda _{2}}\}\)が与えられたとき、この集合族の和集合を、この集合族の要素である 2 つの集合\(X_{\lambda _{1}},X_{\lambda _{2}}\)の和集合\(X_{\lambda _{1}}\cup X_{\lambda _{2}}\)と同一視します。このとき、\begin{align*}
X_{\lambda _{1}}\cup X_{\lambda _{2}}& =\left\{ x\in U\ |\ x\in X_{\lambda _{1}}\ \vee \ x\in X_{\lambda _{2}}\right\} \quad \because \cup \text{の定義} \\
& =\left\{ x\in U\ |\ \exists \lambda \in \{\lambda _{1},\lambda _{2}\}:x\in X_{\lambda }\right\} \\
& =\left\{ x\in U\ |\ \exists \lambda \in \Lambda :x\in X_{\lambda }\right\} \quad \because \Lambda =\{\lambda _{1},\lambda _{2}\}
\end{align*}という関係が成り立ちます。ただし、\(U\)は全体集合です。つまり、集合族\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\)の和集合とは、全体集合\(U\)に属する要素の中でも、\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\)に属する添字付けられた集合\(X_{\lambda _{1}},X_{\lambda _{2}}\)の少なくとも一方に属する要素からなる集合です。

一般の添字集合\(\Lambda \)によって添字付けられた集合族\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\)の和集合を\(\bigcup_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\)や\(\bigcup X_{\lambda }\)で表します。先の議論を一般化すると、一般の添字付けられた集合族\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\)の和集合とは、\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\)に属する少なくとも1つの添字付けられた集合\(X_{\lambda }\ (\lambda \in \Lambda )\)に属する要素からなる集合\begin{equation*}
\bigcup_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }=\left\{ x\in U\ |\ \exists \lambda \in \Lambda :x\in X_{\lambda }\right\}
\end{equation*}として定義されます。したがって、任意の\(x\in U\)に対して、\begin{equation*}
x\in \bigcup_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\ \Leftrightarrow \ \exists \lambda \in \Lambda :x\in X_{\lambda }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

 

集合族の和集合の性質

集合\(X,Y\)の和集合\(X\cup Y\)は\(X\)と\(Y\)の両方を部分集合として含む集合の中でも最小の集合です。集合族\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\)の和集合\(\bigcup_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\)も同様に、任意の添字付けられた集合\(X_{\lambda }\)を部分集合として含む集合の中でも最小の集合です。

命題(集合族の和集合の特徴づけ)
任意の集合族\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\)について以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall \lambda ^{\prime }\in \Lambda :\left[ X_{\lambda ^{\prime }}\subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\right] \\
&&\left( b\right) \ (\forall \lambda ^{\prime }\in \Lambda :X_{\lambda ^{\prime }}\subset Y)\ \Rightarrow \ \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\subset Y
\end{eqnarray*}
証明を見る(プレミア会員限定)

命題の意味を確認しましょう。集合族\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\)の要素である集合\(X_{\lambda }\)を任意に選ぶと、\(\left( a\right) \)より、この\(X_{\lambda }\)は集合族の共通部分\(\bigcap_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\)は\(X_{\lambda }\)の部分集合です。さらに、集合族\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\)に属するすべての集合を部分集合として含むような集合\(Y\)を任意に選ぶと、\(\left( b\right) \)より、\(Y\)は必ず集合族の共通部分\(\bigcap_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\)を部分集合として含みます。したがって、上の命題は、和集合\(\bigcup_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\)は集合族\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\)に属するすべての集合を部分集合として持つ集合の中でも最小の集合であることを示唆します。

図:集合族の和集合

この命題を\(\Lambda =\left\{ 1,2,3\right\} \)の場合について図示したものが上図です。集合族のすべての要素\(X_{1},X_{2},X_{3}\)を部分集合として持つ任意の集合\(Y\)は、同時に集合族の和集合\(\bigcup_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\)も部分集合として持ちます。

次回は集合族演算の法則について学びます。
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