集合 A が与えられたとき、それと任意の集合 B の和集合 A∪B をとります。さらに、この集合ともとの集合 A の共通部分 A∩(A∪B)をとると、集合 A∪B は吸収されて A に戻ってしまうというのが吸収律の主張です。和集合と共通部分を入れ替えた主張も同じく成り立ちます。
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吸収律

集合\(A,B\)を任意に選んだとき、全体集合の任意の要素\(x\in U\)について、\begin{align*}
x\in A\cap \left( A\cup B\right) & \Leftrightarrow x\in A\wedge x\in (A\cup
B)\quad \because \cap \text{の定義} \\
& \Leftrightarrow x\in A\vee (x\in A\vee x\in B)\quad \because \cup \text{の定義} \\
& \Leftrightarrow x\in A\quad \because \vee ,\wedge \text{の吸収律}
\end{align*}が成り立つため、\begin{equation*}
\left( a\right) \ A\cap \left( A\cup B\right) =A
\end{equation*}という関係を得ます。集合\(A\)が与えられたとき、それと任意の集合\(B\)の和集合\(A\cup B\)をとります。さらに、この集合ともとの集合\(A\)の共通部分\(A\cap \left( A\cup B\right) \)をとると、和集合\(A\cup B\)は吸収されて\(A\)に戻ってしまうというのが\(\left( a\right) \)の主張です。また、\(\left( a\right) \)において\(\cup \)と\(\cap \)を置き換えると、\begin{equation*}
\left( b\right) \ A\cup \left( A\cap B\right) =A
\end{equation*}を得ますが、これが成り立つことも同様にして示されます。共通部分と和集合の間に成立する以上の性質を吸収律(absorption
law)と呼びます。

命題(吸収律)
任意の集合\(A,B\)に対して以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ A\cap \left( A\cup B\right) &=&A \\
\left( b\right) \ A\cup \left( A\cap B\right) &=&A
\end{eqnarray*}
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吸収律と\(=\)の推移律より、任意の集合\(A,B\)に対して、\begin{equation*}
A\cap \left( A\cup B\right) =A\cup \left( A\cap B\right)
\end{equation*}という関係もまた成立します。

例(吸収律)
集合\(A,B,C\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\left( A\cap B\right) \cap \left( C\cup B\right) =A\cap B
\end{equation*}が成り立ちます。実際、\begin{eqnarray*}
\left( A\cap B\right) \cap \left( C\cup B\right) &=&A\cap \left( B\cap
\left( C\cup B\right) \right) \quad \because \text{結合律}
\\
&=&A\cap \left( B\cap \left( B\cup C\right) \right) \quad \because \text{交換律} \\
&=&A\cap B\quad \because \text{吸収律}
\end{eqnarray*}となります。
例(吸収律)
集合\(A,B,C\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\left( \left( A\cup B\right) \cup C\right) \cap \left( A\cup \left( B\cup
C\right) \right) =A\cup \left( B\cup C\right)
\end{equation*}が成り立ちます。実際、\begin{eqnarray*}
&&\left( \left( A\cup B\right) \cup C\right) \cap \left( A\cup \left( B\cup
C\right) \right) \\
&=&\left( \left( \left( A\cup B\right) \cup C\right) \cap A\right) \cup
\left( \left( \left( A\cup B\right) \cup C\right) \cap \left( B\cup C\right)
\right) \quad \because \text{分配律} \\
&=&\left( \left( \left( A\cup B\right) \cap A\right) \cup \left( C\cap
A\right) \right) \cup \left( \left( \left( A\cup B\right) \cup C\right) \cap
\left( B\cup C\right) \right) \quad \because \text{分配律}
\\
&=&\left( A\cup \left( C\cap A\right) \right) \cup \left( \left( \left(
A\cup B\right) \cup C\right) \cap \left( B\cup C\right) \right) \quad
\because \text{吸収律} \\
&=&A\cup \left( \left( \left( A\cup B\right) \cup C\right) \cap \left( B\cup
C\right) \right) \quad \because \text{吸収律} \\
&=&A\cup \left( \left( \left( \left( A\cup B\right) \cup C\right) \cap
B\right) \cup \left( \left( \left( A\cup B\right) \cup C\right) \cap
C\right) \right) \quad \because \text{分配律} \\
&=&A\cup \left( \left( \left( \left( A\cup B\right) \cup C\right) \cap
B\right) \cup C\right) \quad \because \text{吸収律} \\
&=&A\cup \left( \left( \left( \left( A\cup B\right) \cap B\right) \cup
\left( C\cap B\right) \right) \cup C\right) \quad \because \text{分配律} \\
&=&A\cup \left( \left( B\cup \left( C\cap B\right) \right) \cup C\right)
\quad \because \text{吸収律} \\
&=&A\cup \left( B\cup C\right) \quad \because \text{吸収律}
\end{eqnarray*}となります。

次回はド・モルガンの法則と呼ばれる集合演算の性質について学びます。

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