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集合演算における吸収律

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吸収律

集合\(A,B\)を任意に選んだとき、全体集合の要素\(x\in U\)を任意に選ぶと、\begin{align*}x\in A\cap \left( A\cup B\right) & \Leftrightarrow x\in A\wedge x\in (A\cup
B)\quad \because \text{共通部分の定義} \\
& \Leftrightarrow x\in A\wedge (x\in A\vee x\in B)\quad \because \text{和集合の定義} \\
& \Leftrightarrow x\in A\quad \because \text{論理積・論理和の吸収律}
\end{align*}が成り立つため、\begin{equation*}
\left( a\right) \ A\cap \left( A\cup B\right) =A
\end{equation*}という関係を得ます。集合\(A\)が与えられたとき、それと任意の集合\(B\)の和集合\(A\cup B\)をとります。さらに、この集合ともとの集合\(A\)の共通部分\(A\cap \left( A\cup B\right) \)をとると和集合\(A\cup B\)は吸収されて\(A\)に戻ってしまうというのが\(\left(a\right) \)の主張です。また、\(\left( a\right) \)において\(\cup \)と\(\cap \)を置き換えると、\begin{equation*}\left( b\right) \ A\cup \left( A\cap B\right) =A
\end{equation*}を得ますが、これが成り立つことも同様にして示されます。共通部分と和集合の間に成立する以上の性質を吸収律(absorption
law)と呼びます。

命題(吸収律)
任意の集合\(A,B\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ A\cap \left( A\cup B\right) &=&A \\
\left( b\right) \ A\cup \left( A\cap B\right) &=&A
\end{eqnarray*}が成り立つ。

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例(吸収律)
集合\(A,B\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
B &=&\left\{ 2,3,4\right\}
\end{eqnarray*}と定義されているとき、\begin{eqnarray*}
A\cap \left( A\cup B\right) &=&\left\{ 1,2,3\right\} \cap \left( \left\{
1,2,3\right\} \cup \left\{ 2,3,4\right\} \right) \\
&=&\left\{ 1,2,3\right\} \cap \left\{ 1,2,3,4\right\} \\
&=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
&=&A
\end{eqnarray*}となるため、吸収律\begin{equation*}
A\cap \left( A\cup B\right) =A
\end{equation*}が成立しています。同様に、\begin{eqnarray*}
A\cup \left( A\cap B\right) &=&\left\{ 1,2,3\right\} \cup \left( \left\{
1,2,3\right\} \cap \left\{ 2,3,4\right\} \right) \\
&=&\left\{ 1,2,3\right\} \cup \left\{ 2,3\right\} \\
&=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
&=&A
\end{eqnarray*}となるため、もう一方の吸収律\begin{equation*}
A\cup \left( A\cap B\right) =A
\end{equation*}が成立しています。

例(吸収律)
集合\(A,B,C\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( A\cap B\right) \cap \left( C\cup B\right) =A\cap B
\end{equation*}が成り立ちます。実際、\begin{eqnarray*}
\left( A\cap B\right) \cap \left( C\cup B\right) &=&A\cap \left( B\cap
\left( C\cup B\right) \right) \quad \because \text{結合律}
\\
&=&A\cap \left( B\cap \left( B\cup C\right) \right) \quad \because \text{交換律} \\
&=&A\cap B\quad \because \text{吸収律}
\end{eqnarray*}となります。

 

演習問題

問題(吸収律)
集合\(A,B,C\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( \left( A\cup B\right) \cup C\right) \cap \left( A\cup \left( B\cup
C\right) \right) =A\cup \left( B\cup C\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(吸収律)
集合\(A,B,C,D\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( A\cap B\right) \cup \left( A\cap B\cap C^{c}\cap D\right) \cup \left(
A^{c}\cap B\right) =B
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(吸収律)
集合\(A,B,C\)の間には、\begin{eqnarray*}A\cup B &=&A\cup C \\
A\cap B &=&A\cap C
\end{eqnarray*}がともに成り立つものとします。このとき、\begin{equation*}
B=C
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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次回はド・モルガンの法則と呼ばれる集合演算の性質について学びます。

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