吸収律
集合\(A,B\)を任意に選んだとき、以下の相等関係\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ A\cap \left( A\cup B\right) &=&A \\
\left( b\right) \ A\cup \left( A\cap B\right) &=&A
\end{eqnarray*}が成り立ちます。共通部分と和集合の間に成立する以上の性質を吸収律（absorption law）と呼びます。
集合\(A\)が与えられたとき、それと任意の集合\(B\)との和集合\(A\cup B\)をとります。さらに、この和集合ともとの集合\(A\)の共通部分\(A\cap \left( A\cup B\right) \)をとると先の集合\(A\cup B\)は吸収されて\(A\)に戻ってしまうというのが\(\left( a\right) \)の主張です。
集合\(A\)が与えられたとき、それと任意の集合\(B\)との共通部分\(A\cap B\)をとります。さらに、この和集合ともとの集合\(A\)の和集合\(A\cup \left( A\cap B\right) \)をとると先の集合\(A\cap B\)は吸収されて\(A\)に戻ってしまうというのが\(\left( b\right) \)の主張です。
\left( b\right) \ A\cup \left( A\cap B\right) &=&A
\end{eqnarray*}が成り立つ。
吸収律と集合の相等関係\(=\)の推移律より、任意の集合\(A,B\)に対して、\begin{equation*}A\cap \left( A\cup B\right) =A\cup \left( A\cap B\right)
\end{equation*}という関係もまた成立します。
B &=&\left\{ 2,3,4\right\}
\end{eqnarray*}と定義されているとき、\begin{eqnarray*}
A\cap \left( A\cup B\right) &=&\left\{ 1,2,3\right\} \cap \left( \left\{
1,2,3\right\} \cup \left\{ 2,3,4\right\} \right) \\
&=&\left\{ 1,2,3\right\} \cap \left\{ 1,2,3,4\right\} \\
&=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
&=&A
\end{eqnarray*}となるため、吸収律\begin{equation*}
A\cap \left( A\cup B\right) =A
\end{equation*}が成立しています。同様に、\begin{eqnarray*}
A\cup \left( A\cap B\right) &=&\left\{ 1,2,3\right\} \cup \left( \left\{
1,2,3\right\} \cap \left\{ 2,3,4\right\} \right) \\
&=&\left\{ 1,2,3\right\} \cup \left\{ 2,3\right\} \\
&=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
&=&A
\end{eqnarray*}となるため、もう一方の吸収律\begin{equation*}
A\cup \left( A\cap B\right) =A
\end{equation*}が成立しています。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
&&B\cap C
\end{eqnarray*}はともに集合であるため、吸収律より、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \left( A\cap B\right) \cap \left( \left( A\cap B\right)
\cup \left( B\cap C\right) \right) &=&\left( A\cap B\right) \\
\left( b\right) \ \left( A\cap B\right) \cup \left( \left( A\cap B\right)
\cap \left( B\cap C\right) \right) &=&\left( A\cap B\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。
\end{equation*}は集合であるため、吸収律より、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ A\cap \left( A\cup \left( B\backslash C\right) \right)
&=&A \\
\left( b\right) \ A\cup \left( A\cap \left( B\backslash C\right) \right)
&=&A
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。
\end{equation*}が成り立ちます。実際、\begin{eqnarray*}
\left( A\cap B\right) \cap \left( C\cup B\right) &=&A\cap \left( B\cap
\left( C\cup B\right) \right) \quad \because \text{結合律}
\\
&=&A\cap \left( B\cap \left( B\cup C\right) \right) \quad \because \text{交換律} \\
&=&A\cap B\quad \because \text{吸収律}
\end{eqnarray*}となります。
吸収律の一般化
3つの集合\(A,B,C\)が任意に与えられたとき、\begin{eqnarray*}A\cap \left( A\cup B\cup C\right) &=&A\cap \left( A\cup \left( B\cup
C\right) \right) \quad \because \text{結合律} \\
&=&A\quad \because \text{吸収律}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A\cap \left( A\cup B\cup C\right) =A
\end{equation*}を得ます。共通部分と和集合の立場を逆にした場合にも、\begin{eqnarray*}
A\cup \left( A\cap B\cap C\right) &=&A\cup \left( A\cap \left( B\cap
C\right) \right) \quad \because \text{結合律} \\
&=&A\quad \because \text{吸収律}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A\cup \left( A\cap B\cap C\right) =A
\end{equation*}を得ます。
集合の個数を増やした場合にも同様の議論が成立します。つまり、有限\(n+1\)個の論理式\(A,B_{1},\cdots ,B_{n}\)に関して、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ A\cap \left( A\cup B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}\right)
&\Leftrightarrow &A \\
\left( b\right) \ A\cup \left( A\cap B_{1}\cap \cdots \cap B_{n}\right)
&\Leftrightarrow &A
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ A\cap \left( A\cup \bigcup\limits_{i=1}^{n}B_{i}\right)
&\Leftrightarrow &A \\
\left( b\right) \ A\cup \left( A\cap \bigcap\limits_{i=1}^{n}B_{i}\right)
&\Leftrightarrow &A
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです。
有限\(n+1\)個の集合\(A,B_{1},\cdots ,B_{n}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ A\cap \left( A\cup \bigcup\limits_{i=1}^{n}B_{i}\right)
&\Leftrightarrow &A \\
\left( b\right) \ A\cup \left( A\cap \bigcap\limits_{i=1}^{n}B_{i}\right)
&\Leftrightarrow &A
\end{eqnarray*}が成り立つ。
吸収律の有用性
集合\(A,B\)に関する集合\begin{equation*}A\cap (A\cup B)
\end{equation*}が与えられている状況を想定します。\(B\)がどれほど複雑な集合であったとしても、吸収律より、先の集合は、\begin{equation*}A
\end{equation*}と等しいため、先の集合を\(A\)に置き換えることができます。先の命題は、\begin{equation*}B=\bigcup\limits_{i=1}^{n}B_{i}
\end{equation*}である状況を想定したものですが、実際には、同様の議論は任意の集合\(B\)について成り立ちます。以上の事実を利用することにより、与えられた集合を大幅に簡略化できます。もう一方の吸収律\begin{equation*}A\cup (A\cap B)=A
\end{equation*}についても同様の議論が成り立ちます。
演習問題
C\right) \right) =A\cup \left( B\cup C\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
A^{c}\cap B\right) =B
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
A\cap B &=&A\cap C
\end{eqnarray*}がともに成り立つものとします。このとき、\begin{equation*}
B=C
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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