吸収律
論理積と論理和の間には以下の関係が成り立ちます。これを吸収律（absorption law）と呼びます。
命題（吸収律）
任意の論理式\(A,B,C\)に対して以下が成り立つ。\begin{align*}
& \left( a\right) \ A\wedge (A\vee B)\Leftrightarrow A \\
& \left( b\right) \ A\vee (A\wedge B)\Leftrightarrow A
\end{align*}
& \left( a\right) \ A\wedge (A\vee B)\Leftrightarrow A \\
& \left( b\right) \ A\vee (A\wedge B)\Leftrightarrow A
\end{align*}
論理式\(A\)が与えられたとき、それと任意の論理式\(B\)との論理和\(A\vee B\)をとります。さらに、この論理和ともとの論理式\(A\)の論理積\(A\wedge (A\vee B)\)をとると、論理式\(A\vee B\)は吸収されて\(A\)に戻ってしまうというのが吸収律の主張です。論理和と論理積を入れ替えた主張も同じく成り立ちます。
上の命題と\(\Leftrightarrow \)の推移律より、任意の論理式\(A\)に対して、$$
A\wedge (A\vee B)\Leftrightarrow A\vee (A\wedge B)
$$という関係もまた成立します。つまり、左側の式において\(\wedge \)を\(\vee \)に置き換え、\(\vee \)を\(\wedge \)に置き換えれば右側の式が得られますが、両者は論理的に同値です。
例（吸収律）
任意の命題変数\(P,Q,R\)について、\begin{equation*}
\left( P\wedge Q\right) \wedge \left( R\vee Q\right) \Leftrightarrow P\wedge Q
\end{equation*}が成り立つことを証明します。実際、\begin{eqnarray*}
\left( P\wedge Q\right) \wedge \left( R\vee Q\right) &\Leftrightarrow &P\wedge \left( Q\wedge \left( R\vee Q\right) \right) \quad \because \text{結合律} \\
&\Leftrightarrow &P\wedge \left( Q\wedge \left( Q\vee R\right) \right) \quad \because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &P\wedge Q\quad \because \text{吸収律}
\end{eqnarray*}が成り立つため証明できました。
\left( P\wedge Q\right) \wedge \left( R\vee Q\right) \Leftrightarrow P\wedge Q
\end{equation*}が成り立つことを証明します。実際、\begin{eqnarray*}
\left( P\wedge Q\right) \wedge \left( R\vee Q\right) &\Leftrightarrow &P\wedge \left( Q\wedge \left( R\vee Q\right) \right) \quad \because \text{結合律} \\
&\Leftrightarrow &P\wedge \left( Q\wedge \left( Q\vee R\right) \right) \quad \because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &P\wedge Q\quad \because \text{吸収律}
\end{eqnarray*}が成り立つため証明できました。
次回はド・モルガンの法則について学びます。
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