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PROPOSITIONAL LOGIC

命題論理における吸収律

目次

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吸収律

論理式\(A,B\)を任意に選んだとき、以下の真理値表が得られます。

$$\begin{array}{cccc}
\hline
A & B & A\vee B & A\wedge (A\vee B) \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

表:吸収律

つまり、任意の解釈のもとで\(A\wedge (A\vee B)\)と\(A\)値は一致するため、\begin{equation*}\left( a\right) \ A\wedge (A\vee B)\Leftrightarrow A
\end{equation*}が成り立ちます。論理式\(A\)が与えられたとき、それと任意の論理式\(B\)との論理和\(A\vee B\)をとります。さらに、この論理和ともとの論理式\(A\)の論理積\(A\wedge (A\vee B) \)をとると、論理式\(A\vee B\)は吸収されて\(A\)に戻ってしまうというのが\(\left( a\right) \)の主張です。また、\(\left( a\right) \)において\(\wedge \)と\(\vee \)を置き換えると、\begin{equation*}\left( b\right) \ A\vee (A\wedge B)\Leftrightarrow A
\end{equation*}を得ますが、これが成り立つことも同様にして示されます。論理積と論理和の間に成立する以上の性質を吸収律(absorption law)と呼びます。

命題(吸収律)
任意の論理式\(A,B\)に対して以下が成り立つ。\begin{align*}& \left( a\right) \ A\wedge (A\vee B)\Leftrightarrow A \\
& \left( b\right) \ A\vee (A\wedge B)\Leftrightarrow A
\end{align*}
証明

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吸収律と\(\Leftrightarrow \)の推移律より、任意の論理式\(A,B\)に対して、\begin{equation*}A\wedge (A\vee B)\Leftrightarrow A\vee (A\wedge B)
\end{equation*}という関係もまた成立します。

例(吸収律)
任意の論理式\(A,B,C\)について、\begin{eqnarray*}\left( A\wedge B\right) \wedge \left( C\vee B\right) &\Leftrightarrow
&A\wedge \left( B\wedge \left( C\vee B\right) \right) \quad \because \text{結合律} \\
&\Leftrightarrow &A\wedge \left( B\wedge \left( B\vee C\right) \right) \quad
\because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &A\wedge B\quad \because \text{吸収律}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

例(吸収律)
論理式\(A,B,C\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left( \left( A\vee B\right) \vee C\right) \wedge \left( A\vee \left( B\vee
C\right) \right) &\Leftrightarrow &\left( \left( \left( A\vee B\right) \vee
C\right) \wedge A\right) \vee \left( \left( \left( A\vee B\right) \vee
C\right) \wedge \left( B\vee C\right) \right) \quad \because \text{分配律} \\
&\Leftrightarrow &\left( \left( A\vee B\right) \wedge A\right) \vee \left(
C\wedge A\right) \vee \left( \left( \left( A\vee B\right) \vee C\right)
\wedge \left( B\vee C\right) \right) \quad \because \text{分配律} \\
&\Leftrightarrow &A\vee \left( C\wedge A\right) \vee \left( \left( \left(
A\vee B\right) \vee C\right) \wedge \left( B\vee C\right) \right) \quad
\because \text{吸収律} \\
&\Leftrightarrow &A\vee \left( \left( \left( A\vee B\right) \vee C\right)
\wedge \left( B\vee C\right) \right) \quad \because \text{吸収律} \\
&\Leftrightarrow &A\vee \left( \left( \left( \left( A\vee B\right) \vee
C\right) \wedge B\right) \vee \left( \left( \left( A\vee B\right) \vee
C\right) \wedge C\right) \right) \quad \because \text{分配律} \\
&\Leftrightarrow &A\vee \left( \left( \left( \left( A\vee B\right) \vee
C\right) \wedge B\right) \vee C\right) \quad \because \text{吸収律} \\
&\Leftrightarrow &A\vee \left( \left( \left( \left( A\vee B\right) \wedge
B\right) \vee \left( C\wedge B\right) \right) \vee C\right) \quad \because
\text{分配律} \\
&\Leftrightarrow &A\vee \left( B\vee C\right) \quad \because \text{吸収律}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

例(吸収律)
ある人が「私はご飯とパンが両方好きです。」と言ったとき、この人はご飯が好きです。なぜなら、\begin{eqnarray*}
P &:&\text{ご飯が好き} \\
Q &:&\text{パンが好き}
\end{eqnarray*}と定義したとき、論理積の定義より、\begin{equation*}
P\wedge Q\Rightarrow P
\end{equation*}という関係が成り立つからです。一方、「私はご飯とパンが好きです。またはパンが好きです。」と言ったとき、この人がご飯好きであるかどうかを判定できません。実際、吸収律より、\begin{equation*}
\left( P\wedge Q\right) \vee Q\Leftrightarrow Q
\end{equation*}という関係が成り立つため、「私はご飯とパンが好きです。またはパンが好きです。」という主張は「私はパンが好きです。」という主張と論理的に同値であり、パン好きであるという情報だけからはご飯好きであるどうかは判定できないからです。実際、ご飯とパンの両方が好きな場合と、ご飯が好きでパンが好きではない場合の両方のケースにおいて「私はご飯とパンが好きです。またはパンが好きです。」という主張は真になります。

 

演習問題

問題(吸収律)
論理式\(A,B,C\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( \lnot A\wedge C\right) \vee B\vee C\Leftrightarrow B\vee C
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(吸収律)
論理式\(A,B,C\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( A\wedge B\right) \vee \left( \left( A\wedge B\right) \wedge C\right)
\vee \left( B\wedge C\right) \Leftrightarrow \left( A\vee C\right) \wedge B
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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次回はド・モルガンの法則について学びます。

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