吸収律

更新: 2020年7月3日
公開: 2018年11月23日
分野: 命題論理

要旨

論理式 A が与えられたとき、それと任意の論理式 B との論理積 A∧B をとります。その上で両者の論理和 A∨(A∧B) をとると A∧B が吸収されて A と同値な論理式へ戻ります。また、この命題において論理積と論理和の関係を入れ替えたものも成り立ちます。

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ド・モルガンの法則

吸収律

論理式$A,B$を任意に選んだとき、以下の真理値表が得られます。

$$\begin{array}{cccc}
\hline
A & B & A\vee B & A\wedge (A\vee B) \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

表：吸収律

つまり、任意の解釈のもとで$A\wedge (A\vee B)$と$A$値は一致するため、\begin{equation*}
\left( a\right) \ A\wedge (A\vee B)\Leftrightarrow A
\end{equation*}が成り立ちます。論理式$A$が与えられたとき、それと任意の論理式$B$との論理和$A\vee B$をとります。さらに、この論理和ともとの論理式$A$の論理積$A\wedge (A\vee B)$をとると、論理式$A\vee B$は吸収されて$A$に戻ってしまうというのが$\left( a\right) $の主張です。また、$\left( a\right) $において$\wedge $と$\vee $を置き換えると、\begin{equation*}
\left( b\right) \ A\vee (A\wedge B)\Leftrightarrow A
\end{equation*}を得ますが、これが成り立つことも同様にして示されます。論理積と論理和の間に成立する以上の性質を吸収律（absorption law）と呼びます。

命題（吸収律）

任意の論理式$A,B$に対して以下が成り立つ。\begin{align*}
& \left( a\right) \ A\wedge (A\vee B)\Leftrightarrow A \\
& \left( b\right) \ A\vee (A\wedge B)\Leftrightarrow A
\end{align*}

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吸収律と$\Leftrightarrow $の推移律より、任意の論理式$A,B$に対して、\begin{equation*}
A\wedge (A\vee B)\Leftrightarrow A\vee (A\wedge B)
\end{equation*}という関係もまた成立します。

例（吸収律）

命題変数$P,Q,R$を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
\left( P\wedge Q\right) \wedge \left( R\vee Q\right) &\Leftrightarrow
&P\wedge \left( Q\wedge \left( R\vee Q\right) \right) \quad \because \text{結合律} \\
&\Leftrightarrow &P\wedge \left( Q\wedge \left( Q\vee R\right) \right) \quad
\because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &P\wedge Q\quad \because \text{吸収律}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

例（吸収律）

命題変数$P,Q,R$を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
\left( \left( P\vee Q\right) \vee R\right) \wedge \left( P\vee \left( Q\vee
R\right) \right) &\Leftrightarrow &\left( \left( \left( P\vee Q\right) \vee
R\right) \wedge P\right) \vee \left( \left( \left( P\vee Q\right) \vee
R\right) \wedge \left( Q\vee R\right) \right) \quad \because \text{分配律} \\
&\Leftrightarrow &\left( \left( P\vee Q\right) \wedge P\right) \vee \left(
R\wedge P\right) \vee \left( \left( \left( P\vee Q\right) \vee R\right)
\wedge \left( Q\vee R\right) \right) \quad \because \text{分配律} \\
&\Leftrightarrow &P\vee \left( R\wedge P\right) \vee \left( \left( \left(
P\vee Q\right) \vee R\right) \wedge \left( Q\vee R\right) \right) \quad
\because \text{吸収律} \\
&\Leftrightarrow &P\vee \left( \left( \left( P\vee Q\right) \vee R\right)
\wedge \left( Q\vee R\right) \right) \quad \because \text{吸収律} \\
&\Leftrightarrow &P\vee \left( \left( \left( \left( P\vee Q\right) \vee
R\right) \wedge Q\right) \vee \left( \left( \left( P\vee Q\right) \vee
R\right) \wedge R\right) \right) \quad \because \text{分配律} \\
&\Leftrightarrow &P\vee \left( \left( \left( \left( P\vee Q\right) \vee
R\right) \wedge Q\right) \vee R\right) \quad \because \text{吸収律} \\
&\Leftrightarrow &P\vee \left( \left( \left( \left( P\vee Q\right) \wedge
Q\right) \vee \left( R\wedge Q\right) \right) \vee R\right) \quad \because
\text{吸収律} \\
&\Leftrightarrow &P\vee \left( Q\vee R\right) \quad \because \text{吸収律}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

次回はド・モルガンの法則について学びます。

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