吸収律
論理式\(A,B\)を任意に選んだとき、以下の真理値表が得られます。
$$\begin{array}{cccc}
\hline
A & B & A\vee B & A\wedge (A\vee B) \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$
つまり、任意の解釈のもとで\(A\wedge (A\vee B)\)と\(A\)値は一致するため、\begin{equation*}
\left( a\right) \ A\wedge (A\vee B)\Leftrightarrow A
\end{equation*}が成り立ちます。論理式\(A\)が与えられたとき、それと任意の論理式\(B\)との論理和\(A\vee B\)をとります。さらに、この論理和ともとの論理式\(A\)の論理積\(A\wedge (A\vee B)\)をとると、論理式\(A\vee B\)は吸収されて\(A\)に戻ってしまうというのが\(\left( a\right) \)の主張です。また、\(\left( a\right) \)において\(\wedge \)と\(\vee \)を置き換えると、\begin{equation*}
\left( b\right) \ A\vee (A\wedge B)\Leftrightarrow A
\end{equation*}を得ますが、これが成り立つことも同様にして示されます。論理積と論理和の間に成立する以上の性質を吸収律（absorption law）と呼びます。
& \left( a\right) \ A\wedge (A\vee B)\Leftrightarrow A \\
& \left( b\right) \ A\vee (A\wedge B)\Leftrightarrow A
\end{align*}
吸収律と\(\Leftrightarrow \)の推移律より、任意の論理式\(A,B\)に対して、\begin{equation*}
A\wedge (A\vee B)\Leftrightarrow A\vee (A\wedge B)
\end{equation*}という関係もまた成立します。
\left( P\wedge Q\right) \wedge \left( R\vee Q\right) &\Leftrightarrow
&P\wedge \left( Q\wedge \left( R\vee Q\right) \right) \quad \because \text{結合律} \\
&\Leftrightarrow &P\wedge \left( Q\wedge \left( Q\vee R\right) \right) \quad
\because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &P\wedge Q\quad \because \text{吸収律}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\left( \left( P\vee Q\right) \vee R\right) \wedge \left( P\vee \left( Q\vee
R\right) \right) &\Leftrightarrow &\left( \left( \left( P\vee Q\right) \vee
R\right) \wedge P\right) \vee \left( \left( \left( P\vee Q\right) \vee
R\right) \wedge \left( Q\vee R\right) \right) \quad \because \text{分配律} \\
&\Leftrightarrow &\left( \left( P\vee Q\right) \wedge P\right) \vee \left(
R\wedge P\right) \vee \left( \left( \left( P\vee Q\right) \vee R\right)
\wedge \left( Q\vee R\right) \right) \quad \because \text{分配律} \\
&\Leftrightarrow &P\vee \left( R\wedge P\right) \vee \left( \left( \left(
P\vee Q\right) \vee R\right) \wedge \left( Q\vee R\right) \right) \quad
\because \text{吸収律} \\
&\Leftrightarrow &P\vee \left( \left( \left( P\vee Q\right) \vee R\right)
\wedge \left( Q\vee R\right) \right) \quad \because \text{吸収律} \\
&\Leftrightarrow &P\vee \left( \left( \left( \left( P\vee Q\right) \vee
R\right) \wedge Q\right) \vee \left( \left( \left( P\vee Q\right) \vee
R\right) \wedge R\right) \right) \quad \because \text{分配律} \\
&\Leftrightarrow &P\vee \left( \left( \left( \left( P\vee Q\right) \vee
R\right) \wedge Q\right) \vee R\right) \quad \because \text{吸収律} \\
&\Leftrightarrow &P\vee \left( \left( \left( \left( P\vee Q\right) \wedge
Q\right) \vee \left( R\wedge Q\right) \right) \vee R\right) \quad \because
\text{吸収律} \\
&\Leftrightarrow &P\vee \left( Q\vee R\right) \quad \because \text{吸収律}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
次回はド・モルガンの法則について学びます。
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