論理式 A が与えられたとき、それと任意の論理式 B との論理積 A∧B をとります。その上で両者の論理和 A∨(A∧B) をとると A∧B が吸収されて A と同値な論理式へ戻ります。また、この命題において論理積と論理和の関係を入れ替えたものも成り立ちます。
< 前のページ
次のページ >

吸収律

論理式\(A,B\)を任意に選んだとき、以下の真理値表が得られます。

$$\begin{array}{cccc}
\hline
A & B & A\vee B & A\wedge (A\vee B) \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

表:吸収律

つまり、任意の解釈のもとで\(A\wedge (A\vee B)\)と\(A\)値は一致するため、\begin{equation*}
\left( a\right) \ A\wedge (A\vee B)\Leftrightarrow A
\end{equation*}が成り立ちます。論理式\(A\)が与えられたとき、それと任意の論理式\(B\)との論理和\(A\vee B\)をとります。さらに、この論理和ともとの論理式\(A\)の論理積\(A\wedge (A\vee B)\)をとると、論理式\(A\vee B\)は吸収されて\(A\)に戻ってしまうというのが\(\left( a\right) \)の主張です。また、\(\left( a\right) \)において\(\wedge \)と\(\vee \)を置き換えると、\begin{equation*}
\left( b\right) \ A\vee (A\wedge B)\Leftrightarrow A
\end{equation*}を得ますが、これが成り立つことも同様にして示されます。論理積と論理和の間に成立する以上の性質を吸収律(absorption law)と呼びます。

命題(吸収律)
任意の論理式\(A,B\)に対して以下が成り立つ。\begin{align*}
& \left( a\right) \ A\wedge (A\vee B)\Leftrightarrow A \\
& \left( b\right) \ A\vee (A\wedge B)\Leftrightarrow A
\end{align*}
証明を見る(プレミアム会員限定)

吸収律と\(\Leftrightarrow \)の推移律より、任意の論理式\(A,B\)に対して、\begin{equation*}
A\wedge (A\vee B)\Leftrightarrow A\vee (A\wedge B)
\end{equation*}という関係もまた成立します。

例(吸収律)
命題変数\(P,Q,R\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
\left( P\wedge Q\right) \wedge \left( R\vee Q\right) &\Leftrightarrow
&P\wedge \left( Q\wedge \left( R\vee Q\right) \right) \quad \because \text{結合律} \\
&\Leftrightarrow &P\wedge \left( Q\wedge \left( Q\vee R\right) \right) \quad
\because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &P\wedge Q\quad \because \text{吸収律}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
例(吸収律)
命題変数\(P,Q,R\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
\left( \left( P\vee Q\right) \vee R\right) \wedge \left( P\vee \left( Q\vee
R\right) \right) &\Leftrightarrow &\left( \left( \left( P\vee Q\right) \vee
R\right) \wedge P\right) \vee \left( \left( \left( P\vee Q\right) \vee
R\right) \wedge \left( Q\vee R\right) \right) \quad \because \text{分配律} \\
&\Leftrightarrow &\left( \left( P\vee Q\right) \wedge P\right) \vee \left(
R\wedge P\right) \vee \left( \left( \left( P\vee Q\right) \vee R\right)
\wedge \left( Q\vee R\right) \right) \quad \because \text{分配律} \\
&\Leftrightarrow &P\vee \left( R\wedge P\right) \vee \left( \left( \left(
P\vee Q\right) \vee R\right) \wedge \left( Q\vee R\right) \right) \quad
\because \text{吸収律} \\
&\Leftrightarrow &P\vee \left( \left( \left( P\vee Q\right) \vee R\right)
\wedge \left( Q\vee R\right) \right) \quad \because \text{吸収律} \\
&\Leftrightarrow &P\vee \left( \left( \left( \left( P\vee Q\right) \vee
R\right) \wedge Q\right) \vee \left( \left( \left( P\vee Q\right) \vee
R\right) \wedge R\right) \right) \quad \because \text{分配律} \\
&\Leftrightarrow &P\vee \left( \left( \left( \left( P\vee Q\right) \vee
R\right) \wedge Q\right) \vee R\right) \quad \because \text{吸収律} \\
&\Leftrightarrow &P\vee \left( \left( \left( \left( P\vee Q\right) \wedge
Q\right) \vee \left( R\wedge Q\right) \right) \vee R\right) \quad \because
\text{吸収律} \\
&\Leftrightarrow &P\vee \left( Q\vee R\right) \quad \because \text{吸収律}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

次回はド・モルガンの法則について学びます。

次へ進む 質問・コメント(プレミアム会員限定) 演習問題(プレミアム会員限定)
Share on facebook
Share on twitter
Share on email
< 前のページ
次のページ >

プレミアム会員になると、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。プレミアム会員の方は以下からログインしてください。

会員登録 | パスワードを忘れましたか?

有料のプレミアム会員になると、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。

ワイズのユーザーは年齢・性別・学歴・社会的立場などとは関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。

本サイトは MathJax を実装しているため、コメント文中で LaTex コマンドを利用することで美しい数式を入力できます。その際、インライン数式は\(数式\)で、ディスプレイ数式は$$数式$$という形式でそれぞれ入力してください。 例えば、\(ax^{2}+bx+c=0\)と入力すると\(ax^{2}+bx+c=0\)と表示され、$$ax^{2}+bx+c=0$$と入力すると$$ax^{2}+bx+c=0$$と表示されます。MathJax(LaTex)の文法については次のサイト( https://easy-copy-mathjax.xxxx7.com )などを参照してください。 紙に手書きした数式や図をカメラやスマホで撮影した上で、コメント欄に張り付けることもできます。その場合、コメント入力欄にある「ファイルを選択」ボタンをクリックした上で画像をアップロードしてください。アップロード可能な画像フォーマットは jpg, gif, png の 3 種類、ファイルサイズの上限は 5 MB です。PDF ファイルの添付も可能です。

誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。

プレミアム会員だけが質問やコメントを投稿・閲覧できます。

命題論理
アカウント
ログイン