論理式 A から恒偽式が導かれる場合には ¬A は必ず真になります。これは否定導入と呼ばれる推論規則です。否定導入は背理法と呼ばれる証明方法の根拠になります。
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否定導入

論理式\(A\)と恒偽式\(\bot \)をそれぞれ任意に任意に選んだとき、\begin{align*}
\left( A\rightarrow \bot \right) \rightarrow \lnot A& \Leftrightarrow \lnot
\left( \lnot A\vee \bot \right) \vee \lnot A\quad \because \ \rightarrow
\text{の言い換え} \\
& \Leftrightarrow \lnot \left( \lnot A\right) \vee \lnot A\quad \because
\text{恒偽式}\bot \text{の性質} \\
& \Leftrightarrow A\vee \lnot A\quad \because \text{交換律、二重否定} \\
& \Leftrightarrow \top \quad \because \text{排中律}
\end{align*}すなわち、\begin{equation*}
\left( A\rightarrow \bot \right) \Rightarrow \lnot A
\end{equation*}が成り立ちます。ここから以下の推論規則を得ます。

命題(否定導入)
任意の論理式\(A\)と恒偽式\(\bot \)に対して以下が成り立つ。\begin{equation*}
\left( A\rightarrow \bot \right) \ \models \ \lnot A
\end{equation*}
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つまり、\(A\rightarrow \bot \)が真であるような任意の解釈のもとで\(\lnot A\)は必ず真になります。これは否定導入(negation introduction)と呼ばれる推論規則です。

例(否定導入)
命題定数\(F\)は典型的な恒偽式です。したがって、否定導入より、任意の命題変数\(P\)について、\begin{equation*}
\left( P\rightarrow F\right) \ \models \ \lnot P
\end{equation*}という推論規則が成り立ちます。
例(否定導入)
命題変数\(P,Q\)と命題定数\(F\)に関する以下の推論\begin{equation*}
P,\ \lnot Q,\ P\rightarrow Q\ \therefore \ \lnot P
\end{equation*}について考えます。\(P\)と\(\lnot Q\)と\(P\rightarrow Q\)が真であるものとします。\(P\)と\(P\rightarrow Q\)が真であるとき、含意除去より\(Q\)は真です。\(Q\)と\(\lnot Q\)が真であるとき、否定除去より\(\bot \)が導かれます。\(P\)と\(\bot \)が導かれたため、含意導入より\(P\rightarrow \bot \)が成り立つため、否定導入より\(\lnot P\)を得ます。以上で先の推論が妥当であることが示されました。つまり、\begin{equation*}
P,\ \lnot Q,\ P\rightarrow Q\ \models \ \lnot P
\end{equation*}が成り立ちます。

 

背理法

論理式\(A_{1},\cdots ,A_{n},B\)をそれぞれ任意に選んだ上で、以下の推論\begin{equation}
A_{1},\cdots ,\ A_{n}\ \therefore \ B \tag{1}
\end{equation}が妥当であることを示すことが目標であるものとします。このとき、代わりに以下の推論\begin{equation}
A_{1},\cdots ,\ A_{n},\ \lnot B\therefore \ \bot \tag{2}
\end{equation}が妥当であることを示すことに成功したとします。すると、否定導入より、以下の推論\begin{equation*}
A_{1},\cdots ,\ A_{n}\ \therefore \ \lnot B\rightarrow \bot
\end{equation*}もまた妥当です。この推論の結論\(\lnot B\rightarrow \bot \)が真であるとき、否定導入より\(\lnot \lnot B\)すなわち\(B\)が真であるため、当初の推論である\(\left( 1\right) \)もまた妥当です。つまり、推論\(\left( 1\right) \)が妥当であることを示す代わりに、推論\(\left( 2\right) \)が妥当であることを示しても問題ありません。推論\(\left( 1\right) \)の妥当性を示すためには、\(\left( 1\right) \)の結論\(B\)を前提に加えた上で、そこから恒偽式を導けばよいということです。これを背理法(proof by contradiction)と呼びます。背理法については場を改めて詳しく解説します。

例(背理法)
命題変数\(P,Q\)に関する以下の推論\begin{equation*}
P\rightarrow \left( Q\wedge R\right) ,\ \lnot R\ \therefore \ \lnot P
\end{equation*}について考えます。背理法より、上の推論の妥当性を示す代わりに、以下の推論\begin{equation*}
P\rightarrow \left( Q\wedge R\right) ,\ \lnot R,\ \lnot \lnot P\ \therefore
\ \bot
\end{equation*}の妥当性を示しても問題ありません。\(P\rightarrow \left( Q\wedge R\right) \)と\(\lnot R\)と\(\lnot \lnot P\)がいずれも真であるものとします。\(\lnot \lnot P\)が真であるとき、二重否定より\(P\)は真です。\(P\)と\(P\rightarrow \left( Q\wedge R\right) \)が真であるとき、含意除去より\(Q\wedge R\)が真です。\(Q\wedge R\)が真であるとき、連言除去より\(R\)は真です。\(R\)と\(\lnot R\)が真であるとき、否定導入より\(\bot \)が導かれます。したがって、もとの推論が妥当であることが示されました。つまり、\begin{equation*}
P\rightarrow \left( Q\wedge R\right) ,\ \lnot R\ \models \ \lnot P
\end{equation*}が成り立ちます。

次回は後件否定と呼ばれる推論規則について学びます。
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