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命題論理

命題論理における連言除去

目次

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連言除去

論理式\(A,B\)をそれぞれ任意に選ぶと、論理積および含意の定義より以下の真理値表が得られます。

$$\begin{array}{cccc}
\hline
A & B & A\wedge B & \left( A\wedge B\right) \rightarrow A \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

表:連言除去

上の真理値表より、任意の解釈において\(\left( A\wedge B\right) \rightarrow A\)の値が\(1\)であることが確認できるため、以下の推論規則\begin{equation*}A\wedge B\ \models \ A
\end{equation*}を得ます。つまり、論理積\(A\wedge B\)が真であるような任意の解釈において\(A\)は真になります。同様に、\begin{equation*}A\wedge B\ \models \ B
\end{equation*}が成り立つことも示されます。つまり、\(A\wedge B\)が真であるような任意の解釈において\(B\)は真になります。以上の推論規則を連言除去(conjunction elimination)や\(\wedge \)除去(\(\wedge \) elimination)、簡単化(conjunction elimination)などと呼びます。

命題(連言除去)
任意の論理式\(A,B\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ A\wedge B\ &\models &\ A \\
\left( b\right) \ A\wedge B\ &\models &\ B
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。

証明

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例(連言除去)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{今日は雨が降っていて、寒い。} \\
&&\text{ゆえに、今日は雨が降っている。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P,Q\)を、\begin{eqnarray*}P &:&\text{今日は雨が降っている} \\
Q &:&\text{今日は寒い}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\wedge Q\ \therefore \ P
\end{equation*}と定式化されます。連言除去よりこれは妥当な推論です。つまり、\begin{equation}
P\wedge Q\ \models \ P \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。これは\(P\wedge Q\)が真であるような状況において\(P\)が必ず真になることを意味します。つまり、「雨が降っていて寒い日」は「雨が降っている日」とみなされるということです。では、「雨が降っていない日」、すなわち\(P\)が偽である場合には何が起きているでしょうか。推論規則\(\left( 1\right) \)が成り立つことを踏まえると、この場合、推論の前提である\(P\wedge Q\)が偽になります。論理積の定義より、これは\(P\)と\(Q\)の少なくとも一方が偽であること、つまりその日が「雨が降っていない日」か「寒くない日」の少なくとも一方であるということです。今は「雨が降っていない日」について考えています。したがって、推論規則\(\left( 1\right) \)が成り立つ場合でも、「雨が降っていない日」が「寒い日」と「寒くない日」のどちらであるかは判別不可能です。どちらの場合も起こり得るということです。

 

連言除去の一般化

連言除去は以下のように一般化可能です。

命題(連言除去)
論理式\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)が任意に与えられたとき、その中の1つの論理式\(A_{k}\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}\bigwedge_{i=1}^{n}A_{i}\ \models A_{k}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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上の命題より、与えられた論理式\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)の論理積が真であるような任意の解釈において\(A_{k}\)は真になります。

例(連言除去)
論理式\(A,B,C,D\)に関する以下の推論\begin{equation*}A\wedge B\wedge C,\ C\rightarrow D\ \therefore \ D
\end{equation*}について考えます。\(A\wedge B\wedge C\)と\(C\rightarrow D\)がともに真であるものとします。\(A\wedge B\wedge C\)が真であるとき、連言除去より\(C\)は真です。\(C\)と\(C\rightarrow D\)が真であるとき、含意除去より\(D\)は真です。したがって、先の推論が妥当であることが示されました。つまり、\begin{equation*}A\wedge B\wedge C,\ C\rightarrow D\ \models \ D
\end{equation*}が成り立ちます。

 

演習問題

問題(連言除去)
論理式\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( A\wedge B\right) \Rightarrow A
\end{equation*}が成り立つことを本文中では真理値表を用いて証明しましたが、同じことを同値変形で示してください。

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問題(連言除去)
論理式\(A,B,C,D\)に関する以下の推論\begin{equation*}A\wedge B,\ A\rightarrow \left( C\wedge D\right) \ \therefore \ D
\end{equation*}が妥当であることを示してください。

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問題(連言除去)
以下の推論\begin{eqnarray*}
&&\text{その数は}2\text{と}3\text{で割り切れる} \\
&&\text{ゆえに、その数は}3\text{で割り切れる}
\end{eqnarray*}が妥当であることを示してください。また、この推論が妥当であることを踏まえたとき、「その数が\(3\)で割り切れない」ことは何を意味するか、理由とともに答えてください。
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次回は連言導入と呼ばれる推論規則について学びます。

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