\(A\wedge B\)が真である場合には\(A\)は必ず真になり、\(A\wedge B\)が真である場合には\(B\)は必ず真になります。これは連言除去と呼ばれる推論規則です。

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連言除去

以下の命題が成り立ちます。

命題(連言除去)
任意の論理式\(A,B\)に対して以下が成り立つ:\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ A\wedge B &\Rightarrow &A \\
\left( b\right) \ A\wedge B &\Rightarrow &B
\end{eqnarray*}
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上の命題より、任意の論理式\(A,B\)に関して、以下の推論規則\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ A\wedge B\ &\models &\ A \\
\left( b\right) \ A\wedge B\ &\models &\ B
\end{eqnarray*}がともに成立します。つまり、\(A\wedge B\)が真である場合には\(A\)は必ず真になり、\(A\wedge B\)が真である場合には\(B\)は必ず真になります。これは連言除去(conjunction elimination)や\(\wedge \)除去(\(\wedge\) elimination)、簡単化(conjunction elimination)などと呼ばれる推論規則です。

例(連言除去)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{今日は雨が降っていて、寒い。} \\
&&\text{ゆえに、今日は雨が降っている。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P,Q\)を、\begin{eqnarray*}
P &:&\text{今日は雨が降っている} \\
Q &:&\text{今日は寒い}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\wedge Q\ \therefore \ P
\end{equation*}と定式化されます。連言除去より、これは妥当な推論です。

次回は選言導入と呼ばれる推論規則について学びます。
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