命題論理における連言除去

任意の論理式\(A,B\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ A\wedge B\ &\models &\ A \\
\left( b\right) \ A\wedge B\ &\models &\ B
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。

命題変数\(P,Q\)を任意に選びます。命題変数は論理式であるため、連言除去より、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ P\wedge Q\ &\models &\ P \\
\left( b\right) \ P\wedge Q\ &\models &\ Q
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。\(\left( a\right) \)は、\(P\wedge Q\)が真である場合には\(P\)が真であることを意味します。同時に、\(P\)が偽である場合には\(P\wedge Q\)が偽であることを意味します。\(\left( b\right) \)についても同様です。

命題変数\(P,Q,R\)を任意に選んだとき、これらの含意\begin{eqnarray*}P &\rightarrow &Q \\
Q &\rightarrow &R
\end{eqnarray*}はともに論理式であるため、連言除去より、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \left( P\rightarrow Q\right) \wedge \left( Q\rightarrow
R\right) \ &\models &\ P\rightarrow Q \\
\left( b\right) \ \left( P\rightarrow Q\right) \wedge \left( Q\rightarrow
R\right) \ &\models &\ Q\rightarrow R
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。

以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{今日は雨が降っていて、寒い。} \\
&&\text{ゆえに、今日は雨が降っている。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P,Q\)を、\begin{eqnarray*}P &:&\text{今日は雨が降っている} \\
Q &:&\text{今日は寒い}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\wedge Q\ \therefore \ P
\end{equation*}と定式化されます。連言除去よりこれは妥当な推論です。つまり、\begin{equation}
P\wedge Q\ \models \ P \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。これは\(P\wedge Q\)が真であるような状況において\(P\)が必ず真になることを意味します。つまり、「雨が降っていて寒い日」は「雨が降っている日」とみなされるということです。では、「雨が降っていない日」、すなわち\(P\)が偽である場合には何が起きているでしょうか。推論規則\(\left( 1\right) \)が成り立つことを踏まえると、この場合、推論の前提である\(P\wedge Q\)が偽になります。論理積の定義より、これは\(P\)と\(Q\)の少なくとも一方が偽であること、つまりその日が「雨が降っていない日」か「寒くない日」の少なくとも一方であるということです。今は「雨が降っていない日」について考えています。したがって、推論規則\(\left( 1\right) \)が成り立つ場合でも、「雨が降っていない日」が「寒い日」と「寒くない日」のどちらであるかは判別不可能です。どちらの場合も起こり得るということです。

論理式\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)が任意に与えられたとき、その中の1つの論理式\(A_{k}\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}\bigwedge_{i=1}^{n}A_{i}\ \models A_{k}
\end{equation*}が成り立つ。

命題変数\(P_{1},\cdots ,P_{n}\)を任意に選びます。命題変数は論理式であるため、その中の1つの命題変数\(P_{k}\)を任意に選ぶと、連言除去より、\begin{equation*}\bigwedge_{i=1}^{n}P_{i}\ \models P_{k}
\end{equation*}が成り立ちます。

論理式\(A,B,C,D\)に関する以下の推論\begin{equation*}A\wedge B\wedge C,\ C\rightarrow D\ \therefore \ D
\end{equation*}について考えます。\(A\wedge B\wedge C\)と\(C\rightarrow D\)がともに真であるものとします。\(A\wedge B\wedge C\)が真であるとき、連言除去より\(C\)は真です。\(C\)と\(C\rightarrow D\)が真であるとき、含意除去より\(D\)は真です。したがって、先の推論が妥当であることが示されました。つまり、\begin{equation*}A\wedge B\wedge C,\ C\rightarrow D\ \models \ D
\end{equation*}が成り立ちます。

論理式\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( A\wedge B\right) \Rightarrow A
\end{equation*}が成り立つことを本文中では真理値表を用いて証明しましたが、同じことを同値変形で示してください。

論理式\(A,B,C,D\)に関する以下の推論\begin{equation*}A\wedge B,\ A\rightarrow \left( C\wedge D\right) \ \therefore \ D
\end{equation*}が妥当であることを示してください。

以下の推論\begin{eqnarray*}
&&\text{その数は}2\text{と}3\text{で割り切れる} \\
&&\text{ゆえに、その数は}3\text{で割り切れる}
\end{eqnarray*}が妥当であることを示してください。また、この推論が妥当であることを踏まえたとき、「その数が\(3\)で割り切れない」ことは何を意味するか、理由とともに答えてください。