論理式 A,B が任意に与えられたとき、「AかつB」という前提から「Aである」という結論(もしくは「B」であるという結論)を導く推論規則を連言除去と呼びます。
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連言除去

論理式\(A,B\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
\left( A\wedge B\right) \rightarrow A &\Leftrightarrow &\lnot \left( A\wedge
B\right) \vee A\quad \because \rightarrow \text{の言い換え} \\
&\Leftrightarrow &\left( \lnot A\vee \lnot B\right) \vee A\quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\left( A\vee \lnot A\right) \vee \lnot B\quad \because \text{結合律、交換律} \\
&\Leftrightarrow &\top \vee \lnot B\quad \because \text{排中律} \\
&\Leftrightarrow &\top \quad \because \text{恒真式の性質}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left( A\wedge B\right) \Rightarrow A
\end{equation*}が成り立ちます。また、同様にして、\begin{equation*}
\left( A\wedge B\right) \Rightarrow B
\end{equation*}が導かれます。ここから以下の推論規則を得ます。

命題(連言除去)
任意の論理式\(A,B\)に対して以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ A\wedge B\ &\models &\ A \\
\left( b\right) \ A\wedge B\ &\models &\ B
\end{eqnarray*}
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つまり、\(A\wedge B\)が真であるような任意の解釈において\(A\)は必ず真になり、同様に、\(A\wedge B\)が真であるような任意の解釈において\(B\)は必ず真になります。この推論規則を連言除去(conjunction elimination)や\(\wedge \)除去(\(\wedge \) elimination)、簡単化(conjunction elimination)などと呼びます。

例(連言除去)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{今日は雨が降っていて、寒い。} \\
&&\text{ゆえに、今日は雨が降っている。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P,Q\)を、\begin{eqnarray*}
P &:&\text{今日は雨が降っている} \\
Q &:&\text{今日は寒い}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\wedge Q\ \therefore \ P
\end{equation*}と定式化されます。連言除去より、これは妥当な推論です。
例(連言除去)
命題変数\(P,Q,R,S\)に関する以下の推論\begin{equation*}
P\wedge Q,\ P\rightarrow \left( R\wedge S\right) \ \therefore \ S
\end{equation*}について考えます。\(P\wedge Q\)と\(P\rightarrow \left( R\wedge S\right) \)がともに真であるものとします。\(P\wedge Q\)が真であるとき、連言除去より\(P\)は真です。\(P\)と\(P\rightarrow \left( R\wedge S\right) \)が真であるとき、含意除去より\(R\wedge S\)は真です。したがって連言除去より\(S\)は真であるため、先の推論が妥当であることが示されました。つまり、\begin{equation*}
P\wedge Q,\ P\rightarrow \left( R\wedge S\right) \ \models \ S
\end{equation*}が成り立ちます。

 

連言除去の一般化

論理式\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
\left( \bigwedge_{i=1}^{n}A_{i}\right) \rightarrow A_{1} &\Leftrightarrow
&\lnot \left( \bigwedge_{i=1}^{n}A_{i}\right) \vee A_{1}\quad \because
\rightarrow \text{の言い換え} \\
&\Leftrightarrow &\left( \bigvee_{i=1}^{n}\lnot A_{i}\right) \vee A_{1}\quad
\because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\left( A_{1}\vee A_{1}\right) \vee \left(
\bigvee_{i=2}^{n}\lnot A_{i}\right) \quad \because \text{結合律、交換律} \\
&\Leftrightarrow &\top \vee \left( \bigvee_{i=2}^{n}\lnot A_{i}\right) \quad
\because \text{排中律} \\
&\Leftrightarrow &\top
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\bigwedge_{i=1}^{n}A_{i}\Rightarrow A_{1}
\end{equation*}が成り立ちます。ここから以下の推論規則を得ます。

命題(連言除去)
任意の論理式\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)に対して以下が成り立つ。\begin{equation*}
\bigwedge_{i=1}^{n}A_{i}\Rightarrow A_{1}
\end{equation*}
証明を見る(プレミアム会員限定)

つまり、\(\bigwedge_{i=1}^{n}A_{i}\)が真であるような任意の解釈において\(A_{1}\)は必ず真になります。これは連言除去の一般化です。ここでは推論の結論として\(A_{1}\)を採用しましたが、\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)の中のどの論理式を結論として採用した場合でも同様の議論が成り立ちます。

例(連言除去)
命題変数\(P,Q,R,S\)に関する以下の推論\begin{equation*}
P\wedge Q\wedge R,\ R\rightarrow S\ \therefore \ S
\end{equation*}について考えます。\(P\wedge Q\wedge R\)と\(R\rightarrow S\)がともに真であるものとします。\(P\wedge Q\wedge R\)が真であるとき、連言除去より\(R\)は真です。\(R\)と\(R\rightarrow S\)が真であるとき、含意除去より\(S\)は真です。したがって、先の推論が妥当であることが示されました。つまり、\begin{equation*}
P\wedge Q\wedge R,\ R\rightarrow S\ \models \ S
\end{equation*}が成り立ちます。

次回は連言導入と呼ばれる推論規則について学びます。

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