論理積\(\wedge \)は入力された論理式\(A,B\)に対して、それらの値がともに\(1\)である場合にのみ\(1\)を値としてとる論理式\(A\wedge B\)を出力する論理演算です。
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論理式の論理積

論理式の定義より、論理式\(A,B\)に論理演算子\(\wedge \)を作用させることで得られる\(A\wedge B\)もまた論理式です。\(\wedge \)は論理積(logical product)と呼ばれる論理演算子であり、論理式\(A\wedge B\)を\(A\)と\(B\)の論理積(logical product of \(A\) and \(B\))や\(A\)かつ\(B\)(\(A\) and \(B\))などと呼びます。

例(論理積)
命題変数\(P,Q\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}
P &:&\text{彼は出かける。} \\
Q &:&\text{彼は家に帰る。}
\end{eqnarray*}とおくとき、\begin{eqnarray*}
P\wedge Q &:&\text{彼は出かけて、なおかつ家に帰る。} \\
P\wedge \lnot Q &:&\text{彼は出かけて、なおかつ家に帰らない。} \\
\lnot P\wedge Q &:&\text{彼は出かけず、なおかつ家に帰る。} \\
\lnot P\wedge \lnot Q &:&\text{彼は出かけず、なおかつ家に帰らない。}
\end{eqnarray*}などとなります。

 

論理積の値

論理積\(A\wedge B\)の値は\(A\)と\(B\)の値に依存しますが、その対応規則を以下の真理値表で定めます。つまり、論理積\(\wedge \)は入力された論理式\(A,B\)に対して、それらの値がともに\(1\)である場合にのみ\(1\)を値としてとる論理式\(A\wedge B\)を出力する論理演算です。

$$\begin{array}{ccc}
\hline
A & B & A\wedge B \\ \hline
1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

表:論理積の値

論理式の定義より、命題変数\(P\)や命題定数\(T,F\)もまた論理式であるため、これらもまた\(\wedge \)を作用させる対象となり得ます。\(P,T,F\)とそれらの論理積の真理値の対応規則は以下の真理値表の通りです。

$$\begin{array}{cccccc}
\hline
P & T & F & P\wedge T & P\wedge F & T\wedge F \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

表:論理積の値
例(論理積の値)
命題変数\(P,Q\)が与えられたとき、その論理積\(P\wedge Q\)もまた論理式であるため、さらにそれと命題変数\(R\)の論理積\(\left( P\wedge Q\right) \wedge R\)もまた論理式です。それらの真理値について、

$$\begin{array}{ccccc}
\hline
P & Q & R & P\wedge Q & \left( P\wedge Q\right) \wedge R \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

表:論理積の値

という関係が成り立ちます。

例(論理積の値)
命題変数\(P,Q\)が与えられたとき、否定\(\lnot \)や論理積\(\wedge \)の定義より、\(P\wedge Q\)や\(\lnot P\wedge Q\)や\(P\wedge \lnot Q\)はいずれも論理式であり、それらの真理値について、

$$\begin{array}{ccccccc}
\hline
P & Q & \lnot P & \lnot Q & P\wedge Q & \lnot P\wedge Q & P\wedge \lnot Q \\ \hline
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

表:論理積の値

という関係が成り立ちます。

次回は論理和の解釈について学びます。

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