命題論理における論理積

命題変数\(P,Q\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}P &:&\text{彼は出かける} \\
Q &:&\text{彼は家に帰る}
\end{eqnarray*}とおくとき、\begin{eqnarray*}
P\wedge Q &:&\text{彼は出かけて、なおかつ家に帰る} \\
P\wedge \lnot Q &:&\text{彼は出かけて、なおかつ家に帰らない} \\
\lnot P\wedge Q &:&\text{彼は出かけず、なおかつ家に帰る} \\
\lnot P\wedge \lnot Q &:&\text{彼は出かけず、なおかつ家に帰らない}
\end{eqnarray*}などとなります。

命題変数\(P,Q\)が与えられたとき、その論理積\(P\wedge Q\)は論理式であるため、さらにそれと命題変数\(R\)の論理積\(\left( P\wedge Q\right) \wedge R\)もまた論理式です。それらの真理値について以下の関係

$$\begin{array}{ccccc}
\hline
P & Q & R & P\wedge Q & \left( P\wedge Q\right) \wedge R \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

が成り立ちます。

命題変数\(P,Q\)が与えられたとき、否定\(\lnot \)や論理積\(\wedge \)の定義より、\(P\wedge Q\)や\(\lnot P\wedge Q\)や\(P\wedge \lnot Q\)はいずれも論理式であり、それらの真理値について以下の関係

$$\begin{array}{ccccccc}
\hline
P & Q & \lnot P & \lnot Q & P\wedge Q & \lnot P\wedge Q & P\wedge \lnot Q \\ \hline
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

が成り立ちます。

以下の言明をそれぞれ論理式として定式化してください。

1. 彼は出かけたまま帰ってこない。
2. 加藤と鈴木がともに在宅中というわけではない。
3. 加藤と鈴木はともに在宅中ではない。
4. 妻が幸せなのはショッピングするときだけだ。

命題変数\(P,Q,R\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}P &:&\text{鈴木は試験に受かった} \\
Q &:&\text{加藤は試験に受けった} \\
R &:&\text{高橋は試験に受かった}
\end{eqnarray*}とおきます。このとき、以下の主張をそれぞれ論理式として定式化してください。

1. 3人の中で鈴木だけが試験に受かった
2. 3人の中で鈴木だけが試験に落ちた
3. 3人の中で少なくとも1人が試験に受かった
4. 3人の中で試験に受かったのは高々2人である

以下の真理値表を完成させてください。

$$\begin{array}{ccccccc}
\hline
P & Q & T & F & P\wedge Q & \left( P\wedge Q\right) \wedge T & \left( P\wedge Q\right) \wedge F \\ \hline
1 & 1 & 1 & 0 & & & \\ \hline
1 & 0 & 1 & 0 & & & \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & & & \\ \hline
0 & 0 & 1 & 0 & & & \\ \hline
\end{array}$$

「\(2\)は偶数で\(4\)は奇数である」という主張を論理式として定式化した上で、その真偽を判定してください。

「\(2\)は偶数で\(4\)は奇数ではない」という主張を論理式として定式化した上で、その真偽を判定してください。