論理式 A,B を任意に選んだとき、「Aである」(もしくは「Bである」)という前提から「AまたはB」という結論を導く推論規則を選言導入と呼びます。
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選言導入

論理式\(A,B\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
A\rightarrow \left( A\vee B\right) &\Leftrightarrow &\lnot A\vee \left(
A\vee B\right) \quad \because \rightarrow \text{の言い換え} \\
&\Leftrightarrow &\left( A\vee \lnot A\right) \vee B\quad \because \text{結合律と交換律} \\
&\Leftrightarrow &\top \vee B\quad \because \text{排中律}
\\
&\Leftrightarrow &\top \quad \because \text{恒真式}\top
\text{の性質}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A\Rightarrow A\vee B
\end{equation*}が成り立ちます。また、同様にして、\begin{equation*}
B\Rightarrow A\vee B
\end{equation*}が導かれます。ここから以下の推論規則を得ます。

命題(選言導入)
任意の論理式\(A,B\)に対して以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ A\ &\models &\ A\vee B \\
\left( b\right) \ B\ &\models &\ A\vee B
\end{eqnarray*}
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つまり、\(A\)が真であるような任意の解釈において\(A\vee B\)は必ず真になり、同様に、\(B\)が真であるような任意の解釈において\(A\vee B\)は必ず真になります。この推論規則を選言導入(disjunction introduction)や\(\vee \)導入(\(\vee \) introduction)などと呼びます。

例(選言導入)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{今日は雨が降っている。} \\
&&\text{ゆえに、今日は雨が降っているか、もしくは寒い。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P,Q\)を、\begin{eqnarray*}
P &:&\text{今日は雨が降っている} \\
Q &:&\text{今日は寒い}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\ \therefore \ P\vee Q
\end{equation*}と定式化されます。選言導入より、これは妥当な推論です。
例(選言導入)
命題変数\(P,Q,R\)に関する以下の推論\begin{equation*}
\left( P\vee Q\right) \rightarrow R\ \therefore \ P\rightarrow R
\end{equation*}について考えます。含意導入より、上の推論の妥当性を示す代わりに、以下の推論\begin{equation*}
\left( P\vee Q\right) \rightarrow R,\ P\ \therefore \ R
\end{equation*}の妥当性を示しても問題ありません。\(\left( P\vee Q\right) \rightarrow R\)と\(P\)が真であるものとします。\(P\)が真であるとき、選言導入より\(P\vee Q\)は真です。\(P\vee Q\)と\(\left( P\vee Q\right) \rightarrow R\)が真であるとき、含意除去より\(R\)は真であるため、先の推論が妥当であることが示されました。つまり、\begin{equation*}
\left( P\vee Q\right) \rightarrow R\ \models \ P\rightarrow R
\end{equation*}が成り立ちます。

 

選言導入の一般化

論理式\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
A_{1}\rightarrow \left( \bigvee_{i=1}^{n}A_{i}\right) &\Leftrightarrow
&\lnot A_{1}\vee \left( \bigvee_{i=1}^{n}A_{i}\right) \quad \because
\rightarrow \text{の言い換え} \\
&\Leftrightarrow &\left( A_{1}\vee \lnot A_{1}\right) \vee \left(
\bigvee_{i=2}^{n}A_{i}\right) \quad \because \text{結合律と交換律} \\
&\Leftrightarrow &\top \vee \left( \bigvee_{i=2}^{n}A_{i}\right) \quad
\because \text{排中律} \\
&\Leftrightarrow &\top \quad \because \text{恒真式}\top
\text{の性質}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ここから以下の推論規則を得ます。

命題(選言導入)
任意の論理式\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)に対して以下が成り立つ。\begin{equation*}
A_{1}\ \models \ \bigvee_{i=1}^{n}A_{i}
\end{equation*}
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つまり、\(A_{1}\)が真であるような任意の解釈において\(\bigvee_{i=1}^{n}A_{i}\)は必ず真になります。これは選言導入の一般化です。ここでは推論の前提として\(A_{1}\)を採用しましたが、\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)の中のどの論理式を前提として採用した場合でも同様の議論が成り立ちます。

例(選言導入)
命題変数\(P,Q,R,S\)に関する以下の推論\begin{equation*}
\left( P\vee Q\vee R\right) \rightarrow S\ \therefore \ P\rightarrow S
\end{equation*}について考えます。含意導入より、上の推論の妥当性を示す代わりに、以下の推論\begin{equation*}
\left( P\vee Q\vee R\right) \rightarrow S,\ P\ \therefore \ S
\end{equation*}の妥当性を示しても問題ありません。\(\left( P\vee Q\vee R\right) \rightarrow S\)と\(P\)が真であるものとします。\(P\)が真であるとき、選言導入より\(P\vee Q\vee R\)は真です。\(P\vee Q\vee R\)と\(\left( P\vee Q\vee R\right) \rightarrow S\)が真であるとき、含意除去より\(S\)は真であるため、先の推論が妥当であることが示されました。つまり、\begin{equation*}
\left( P\vee Q\vee R\right) \rightarrow S\ \models \ P\rightarrow S
\end{equation*}が成り立ちます。

次回は二重否定除去と呼ばれる推論規則について学びます。

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