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命題論理

命題論理における選言導入

目次

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選言導入

論理式\(A,B\)をそれぞれ任意に選ぶと、論理和および含意の定義より以下の真理値表が得られます。

$$\begin{array}{ccccc}\hline
A & B & A\vee B & A\rightarrow A\vee B & B\rightarrow A\vee B \\
\hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

表:選言除去

上の真理値表より、任意の解釈において\(A\rightarrow A\vee B\)や\(B\rightarrow A\vee B\)値が\(1\)であることが確認できるため、以下の推論規則\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ A\ &\models &\ A\vee B \\
\left( b\right) \ B\ &\models &\ A\vee B
\end{eqnarray*}を得ます。つまり、\(A\)が真であるような任意の解釈において\(A\vee B\)は必ず真になり、同様に、\(B\)が真であるような任意の解釈において\(A\vee B\)は必ず真になります。この推論規則を選言導入(disjunction introduction)や\(\vee \)導入(\(\vee \)introduction)などと呼びます。

命題(選言導入)
任意の論理式\(A,B\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ A\ &\models &\ A\vee B \\
\left( b\right) \ B\ &\models &\ A\vee B
\end{eqnarray*}が成り立つ。

例(選言導入)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{今日は雨が降っている。} \\
&&\text{ゆえに、今日は雨が降っているか、もしくは寒い。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P,Q\)を、\begin{eqnarray*}P &:&\text{今日は雨が降っている} \\
Q &:&\text{今日は寒い}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\ \therefore \ P\vee Q
\end{equation*}と定式化されます。選言導入よりこれは妥当な推論です。つまり、\begin{equation}
P\ \models \ P\vee Q \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。これは\(P\)が真であるような状況において\(P\vee Q\)が必ず真になることを意味します。では、上の推論の結論に相当する「今日は雨が降っているか寒い」が偽である場合には何が起きているでしょうか。つまり、\(P\vee Q\)が偽である場合について考えるということです。推論規則\(\left( 1\right) \)が成り立つことを踏まえると、推論の結論である\(P\vee Q\)が偽である場合、推論の前提である\(P\)もまた偽になります。つまり、「今日は雨が降っているか寒い」が偽である場合には「今日は雨が降っていない」ということになります。
例(選言導入)
論理式\(A,B,C\)に関する以下の推論\begin{equation*}\left( A\vee B\right) \rightarrow C\ \therefore \ A\rightarrow C
\end{equation*}について考えます。含意導入より、上の推論の妥当性を示す代わりに、以下の推論\begin{equation*}
\left( A\vee B\right) \rightarrow C,\ A\ \therefore \ C
\end{equation*}の妥当性を示しても問題ありません。\(\left(A\vee B\right) \rightarrow C\)と\(A\)が真であるものとします。\(A\)が真であるとき、選言導入より\(A\vee B\)は真です。\(A\vee B\)と\(\left( A\vee B\right) \rightarrow C\)が真であるとき、含意除去より\(C\)は真であるため、先の推論が妥当であることが示されました。つまり、\begin{equation*}\left( A\vee B\right) \rightarrow C\ \models \ A\rightarrow C
\end{equation*}が成り立ちます。

 

選言導入の一般化

選言導入は以下のような形で一般化可能です。

命題(選言導入)
任意の論理式\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)に対して、\begin{equation*}A_{1}\ \models \ \bigvee_{i=1}^{n}A_{i}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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つまり、\(A_{1}\)が真であるような任意の解釈において\(\bigvee_{i=1}^{n}A_{i}\)は必ず真になります。これは選言導入の一般化です。ここでは推論の前提として\(A_{1}\)を採用しましたが、\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)の中のどの論理式を前提として採用した場合でも同様の議論が成り立ちます。

例(選言導入)
論理式\(A,B,C,D\)に関する以下の推論\begin{equation*}\left( A\vee B\vee C\right) \rightarrow D\ \therefore \ A\rightarrow D
\end{equation*}について考えます。含意導入より、上の推論の妥当性を示す代わりに、以下の推論\begin{equation*}
\left( A\vee B\vee C\right) \rightarrow D,\ A\ \therefore \ D
\end{equation*}の妥当性を示しても問題ありません。\(\left(A\vee B\vee C\right) \rightarrow D\)と\(A\)が真であるものとします。\(A\)が真であるとき、選言導入より\(A\vee B\vee C\)は真です。\(A\vee B\vee C\)と\(\left( A\vee B\vee C\right)\rightarrow D\)が真であるとき、含意除去より\(D\)は真であるため、先の推論が妥当であることが示されました。つまり、\begin{equation*}\left( A\vee B\vee C\right) \rightarrow D\ \models \ A\rightarrow D
\end{equation*}が成り立ちます。

 

演習問題

問題(選言導入)
繰り返しになりますが、選言導入とは、任意の論理式\(A,B\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ A\ &\models &\ A\vee B \\
\left( b\right) \ B\ &\models &\ A\vee B
\end{eqnarray*}が成り立つという推論規則です。本文中では連言導入が成り立つことを真理値を用いて示しましたが、同じことを同値変形で示してください。

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問題(選言導入)
任意の論理式\(A,B,C\)について、\begin{equation*}A,\ \left( A\vee B\right) \rightarrow C\ \models \ C
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

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次回は二重否定除去と呼ばれる推論規則について学びます。

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