\(A\)が真である場合には\(A\vee B\)は必ず真になり、\(B\)が真である場合には\(A\vee B\)は必ず真になります。これは選言導入と呼ばれる推論規則です。

2018年11月18日:公開

選言導入

以下の命題が成り立ちます。

命題(選言導入)
任意の論理式\(A,B\)に対して以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ A &\Rightarrow &A\vee B \\
\left( b\right) \ B &\Rightarrow &A\vee B
\end{eqnarray*}
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上の命題より、任意の論理式\(A,B\)に関して、以下の推論規則\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ A\ &\models &\ A\vee B \\
\left( b\right) \ B\ &\models &\ A\vee B
\end{eqnarray*}がともに成立します。つまり、\(A\)が真である場合には\(A\vee B\)は必ず真になり、\(B\)が真である場合には\(A\vee B\)は必ず真になります。これは選言導入(disjunction introduction)や\(\vee \)導入(\(\vee \) introduction)と呼ばれる推論規則です。

例(選言導入)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{今日は雨が降っている。} \\
&&\text{ゆえに、今日は雨が降っているか、もしくは寒い。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P,Q\)を、\begin{eqnarray*}
P &:&\text{今日は雨が降っている} \\
Q &:&\text{今日は寒い}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\ \therefore \ P\vee Q
\end{equation*}と定式化されます。選言導入より、これは妥当な推論です。

次回は選言除去と呼ばれる推論規則について学びます。
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