選言導入
論理式\(A,B\)を任意に選んだとき、以下の推論規則\begin{equation*}A\ \models \ A\vee B
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(A\)が真であるような任意の解釈において\(A\vee B\)は真になります。同様に、\begin{equation*}B\ \models \ A\vee B
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(B\)が真であるような任意の解釈において\(A\vee B\)は真になります。以上の推論規則を選言導入（disjunctionintroduction）や\(\vee \)導入（\(\vee \)introduction）などと呼びます。
\left( b\right) \ B\ &\models &\ A\vee B
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
\left( b\right) \ Q\ &\models &\ P\vee Q
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。\(\left( a\right) \)は、\(P\)が真である場合には\(P\vee Q\)が真であることを意味します。同時に、\(P\vee Q\)が偽である場合には\(P\)が偽であることを意味します。\(\left( b\right) \)についても同様です。
Q &\rightarrow &R
\end{eqnarray*}はともに論理式であるため、選言導入より、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ P &\rightarrow &Q\ \models \ \left( P\rightarrow Q\right)
\vee \left( Q\rightarrow R\right) \\
\left( b\right) \ Q &\rightarrow &R\ \models \ \left( P\rightarrow Q\right)
\vee \left( Q\rightarrow R\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。
&&\text{今日は雨が降っている。} \\
&&\text{ゆえに、今日は雨が降っているか、もしくは寒い。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P,Q\)を、\begin{eqnarray*}P &:&\text{今日は雨が降っている} \\
Q &:&\text{今日は寒い}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\ \therefore \ P\vee Q
\end{equation*}と定式化されます。選言導入よりこれは妥当な推論です。つまり、\begin{equation}
P\ \models \ P\vee Q \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。これは\(P\)が真であるような状況において\(P\vee Q\)が必ず真になることを意味します。では、上の推論の結論に相当する「今日は雨が降っているか寒い」が偽である場合には何が起きているでしょうか。つまり、\(P\vee Q\)が偽である場合について考えるということです。推論規則\(\left( 1\right) \)が成り立つことを踏まえると、推論の結論である\(P\vee Q\)が偽である場合、推論の前提である\(P\)もまた偽になります。つまり、「今日は雨が降っているか寒い」が偽である場合には「今日は雨が降っていない」ということになります。
\end{equation*}について考えます。含意導入より、上の推論の妥当性を示す代わりに、以下の推論\begin{equation*}
\left( A\vee B\right) \rightarrow C,\ A\ \therefore \ C
\end{equation*}の妥当性を示しても問題ありません。\(\left(A\vee B\right) \rightarrow C\)と\(A\)が真であるものとします。\(A\)が真であるとき、選言導入より\(A\vee B\)は真です。\(A\vee B\)と\(\left( A\vee B\right) \rightarrow C\)が真であるとき、含意除去より\(C\)は真であるため、先の推論が妥当であることが示されました。つまり、\begin{equation*}\left( A\vee B\right) \rightarrow C\ \models \ A\rightarrow C
\end{equation*}が成り立ちます。
選言導入の一般化
選言導入は以下のような形で一般化可能です。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}について考えます。含意導入より、上の推論の妥当性を示す代わりに、以下の推論\begin{equation*}
\left( A\vee B\vee C\right) \rightarrow D,\ A\ \therefore \ D
\end{equation*}の妥当性を示しても問題ありません。\(\left(A\vee B\vee C\right) \rightarrow D\)と\(A\)が真であるものとします。\(A\)が真であるとき、選言導入より\(A\vee B\vee C\)は真です。\(A\vee B\vee C\)と\(\left( A\vee B\vee C\right)\rightarrow D\)が真であるとき、含意除去より\(D\)は真であるため、先の推論が妥当であることが示されました。つまり、\begin{equation*}\left( A\vee B\vee C\right) \rightarrow D\ \models \ A\rightarrow D
\end{equation*}が成り立ちます。
選言導入の役割
選言導入のもとでは、\begin{equation*}
A\ \models \ A\vee B
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(A\)が真であるならば\(A\vee B\)も真になります。一見すると、この推論規則は不思議に思えるかもしれません。なぜなら、結論では新たに\(B\)を付け加えているにもかかわらず、その真偽については何も分かっていないからです。
しかも、論理和を作ることによって主張の情報量は減少してしまいます。例えば、\begin{equation*}
\text{今日は雨が降っている}
\end{equation*}という主張は、\begin{equation*}
\text{今日は雨が降っている、または明日は晴れる}
\end{equation*}という主張よりも多くの情報を含んでいます。前者が真であれば、後者は必ず真になります。なぜなら、論理和では少なくとも一方が真であれば全体が真になるからです。一方、後者が真であっても、「今日は雨が降っている」とは限りません。実際、「明日は晴れる」が真であるだけでも後者は真になるからです。このように、選言導入によって得られる論理式は、元の論理式よりも弱い主張になります。では、このように情報を弱める推論規則は、なぜ必要なのでしょうか。
その理由は、複数の場合に分けて議論を行う際の準備として用いられるからです。例えば、\begin{eqnarray*}
A &\rightarrow &C \\
B &\rightarrow &C
\end{eqnarray*}という2つの事実が分かっているとします。このとき、選言除去\begin{equation*}
A\rightarrow C,\ B\rightarrow C,\ A\vee B\ \models \ C
\end{equation*}を適用するためには、\begin{equation*}
A\vee B
\end{equation*}という論理式が必要になります。しかし、手元にあるのは\(A\)だけである場合があります。そのようなとき、選言導入を用いて、\begin{equation*}A\ \models \ A\vee B
\end{equation*}と変形することで、選言除去を適用できる形へ変換できます。つまり、選言導入は単に情報を弱めるための規則ではなく、後続の推論規則を適用するために論理式の形を整える役割を担っています。実際の証明では、選言導入と選言除去を組み合わせて用いる場面が少なくありません。
演習問題
\left( b\right) \ B\ &\models &\ A\vee B
\end{eqnarray*}が成り立つことを本文中では真理値を用いて示しましたが、同じことを同値変形で示してください。
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
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