確認テスト I（命題論理）

命題変数\(P,Q,R\)に関する以下の論理式が恒真式、恒偽式、事実式のどれであるか判定してください（各10点）。

1. \(\left( P\wedge Q\right) \vee R\vee \left( \lnot Q\wedge \lnot R\right) \vee \left( \lnot P\wedge \lnot R\right) \)
2. \(\left( P\vee \left( Q\rightarrow R\right) \right) \rightarrow \left( P\vee Q\vee R\right) \)

\(A,B,C\)の3人はそれぞれ正直者か嘘つきのどちらか一方です。正直者は嘘をつかず、嘘つきの発言はすべて嘘であるものとします。3人はお互いに誰が正直者であり、誰が嘘つきであるかを知っているものとします。3人がそれぞれ以下のように発言しました。\begin{eqnarray*} A &:&C\text{が正直者ならば、私は嘘つきです} \\
B &:&A,C\text{はともに正直者であるか、}A,C\text{はともに嘘つきであるか、どちらか一方です} \\
C &:&\text{私はチョコレートが好きです}
\end{eqnarray*}以上を踏まえたとき、\(C\)さんは本当にチョコレートが好きでしょうか。判定してください。

以下の2つの整数\begin{eqnarray*}
m &=&1234605 \\
n &=&2469210
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。\(m,n\)の少なくとも一方が、いかなる自然数の2乗として表現できないことを証明してください。

整数\(z\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、\(z\left( z+1\right) \)が偶数であることを証明してください。

整数\(p,q\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、\(pq\)が偶数であるか、または\(p^{2}-q^{2}\)が\(8\)の倍数であるか、少なくとも一方が成り立つことを証明してください。

実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*} x^{3}+x^{2}-2x<0\Rightarrow x<1
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。