論理式 A,B が任意に与えられたとき、「Aである」と「Bである」という2つの前提から「AかつB」という結論を導く推論規則を連言導入と呼びます。
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連言導入

論理式\(A,B\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
\left( A\wedge B\right) \rightarrow \left( A\wedge B\right)
&\Leftrightarrow &\lnot \left( A\wedge B\right) \vee \left( A\wedge B\right)
\quad \because \rightarrow \text{の言い換え} \\
&\Leftrightarrow &\top \quad \because \text{排中律}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left( A\wedge B\right) \Rightarrow \left( A\wedge B\right)
\end{equation*}が成り立ちます。ここから以下の推論規則を得ます。

命題(連言導入)
任意の論理式\(A,B\)に対して以下が成り立つ。\begin{equation*}
A,B\ \models \ A\wedge B
\end{equation*}
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つまり、\(A\)と\(B\)がともに真であるような任意の解釈において\(A\wedge B\)は必ず真になります。この推論規則を連言導入(conjunction introduction)や\(\wedge \)導入(\(\wedge \) introduction)などと呼びます。

例(連言導入)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{今日は日曜日である。} \\
&&\text{今日は私は仕事が休みだ。} \\
&&\text{ゆえに、今日は日曜日であると同時に私は仕事が休みだ。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P,Q\)を、\begin{eqnarray*}
P &:&\text{今日は日曜日である} \\
Q &:&\text{私は仕事が休みだ}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P,\ Q\ \therefore \ P\wedge Q
\end{equation*}と定式化されます。連言導入より、これは妥当な推論です。
例(連言導入)
命題変数\(P,Q,R,S\)に関する以下の推論\begin{equation*}
P\rightarrow Q,\ P\rightarrow R,\ P\ \therefore \ Q\wedge R
\end{equation*}について考えます。\(P\rightarrow Q\)と\(P\rightarrow R\)と\(P\)がいずれも真であるものとします。\(P\)と\(P\rightarrow Q\)が真であるとき、含意除去より\(Q\)は真です。また、\(P\)と\(P\rightarrow R\)が真であるとき、含意除去より\(R\)は真です。\(Q\)と\(R\)が真であるため、連言導入より\(Q\wedge R\)は真であるため、先の推論が妥当であることが示されました。つまり、\begin{equation*}
P\rightarrow Q,\ P\rightarrow R,\ P\ \models \ Q\wedge R
\end{equation*}が成り立ちます。

 

連言導入の一般化

論理式\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
\left( \bigwedge_{i=1}^{n}A_{i}\right) \rightarrow \left(
\bigwedge_{i=1}^{n}A_{i}\right) &\Leftrightarrow &\lnot \left(
\bigwedge_{i=1}^{n}A_{i}\right) \vee \left( \bigwedge_{i=1}^{n}A_{i}\right)
\quad \because \rightarrow \text{の言い換え} \\
&\Leftrightarrow &\top \quad \because \text{排中律}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left( \bigwedge_{i=1}^{n}A_{i}\right) \Rightarrow \left(
\bigwedge_{i=1}^{n}A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。ここから以下の推論規則を得ます。

命題(連言導入)
任意の論理式\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)に対して以下が成り立つ。\begin{equation*}
A_{1},\cdots ,A_{n}\ \models \ \bigwedge_{i=1}^{n}A_{i}
\end{equation*}
証明を見る(プレミアム会員限定)

つまり、\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)がすべて真であるような任意の解釈において\(\bigwedge_{i=1}^{n}A_{i}\)は必ず真になります。これは連言導入の一般化です。

例(連言導入)
命題変数\(P,Q,R,S\)に関する以下の推論\begin{equation*}
P\rightarrow Q,\ P\rightarrow R,\ P\rightarrow S,\ P\ \therefore \ Q\wedge
R\wedge S
\end{equation*}について考えます。\(P\rightarrow Q,\ P\rightarrow R,\ P\rightarrow S,\ P\)がいずれも真であるものとします。\(P\)と\(P\rightarrow Q\)が真であるとき、含意除去より\(Q\)は真です。同様に、\(P\)と\(P\rightarrow R\)から\(R\)が、\(P\)と\(P\rightarrow S\)から\(S\)がそれぞれ含意除去より導かれます。\(Q,R,S\)が真であるため、連言導入より\(Q\wedge R\wedge S\)は真であるため、先の推論が妥当であることが示されました。つまり、\begin{equation*}
P\rightarrow Q,\ P\rightarrow R,\ P\rightarrow S,\ P\ \models \ Q\wedge
R\wedge S
\end{equation*}が成り立ちます。

次回は選言除去と呼ばれる推論規則について学びます。
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