排他的論理和の値

排他的論理和\(\veebar \)は入力された論理式\(A,B\)に対して、それらのどちらか一方の値だけが\(1\)である場合にのみ\(1\)を値としてとる論理式\(A\veebar B\)を出力する論理演算です。

排他的論理和の値

論理式の定義より、論理式\(A,B\)に論理演算子\(\veebar \)を作用させることで得られる\(A\veebar B\)もまた論理式です。\(\veebar \)は排他的論理和(exclusive disjunction)と呼ばれる論理演算子であり、論理式\(A\veebar B\)を\(A\)と\(B\)の排他的論理和(exclusive disjunction of \(A\) and \(B\))や\(A\)か\(B\)のどちらか一方(either \(A\) or \(B\ \), \(A\) or \(B\), but not both)などと呼びます。

論理式の定義について復習する

\(A\veebar B\)の値は\(A\)と\(B\)の値に依存しますが、その対応規則を以下の真理値表に定めます。つまり、排他的論理和\(\veebar \)は入力された論理式\(A,B\)に対して、それらのどちらか一方の値だけが\(1\)である場合にのみ\(1\)を値としてとる論理式\(A\veebar B\)を出力する論理演算です。

\begin{array}{ccc}
\hline
A & B & A\veebar B \\ \hline
1 & 1 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}

表:排他的論理和の値

論理式の定義より、命題変数\(P\)や命題定数\(T,F\)もまた論理式ですから、これらもまた\(\veebar \)を作用させる対象となり得ます。\(P,T,F\)とそれらの排他的論理和の真理値の対応規則は以下の真理値表の通りです。

$$\begin{array}{cccccc}
\hline
P & T & F & P\veebar T & P\veebar F & T\veebar F \\ \hline
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

表:排他的論理和の値
例(排他的論理和)
「鈴木と加藤はともに嘘をついているか、2 人とも嘘をついていないかのどちらか一方だ。」という言明を定式化します。そこで、命題変数\(P,Q\)を、\begin{eqnarray*}
P &:&\text{鈴木は嘘をついている} \\
Q &:&\text{加藤は嘘をついている}
\end{eqnarray*}とおくと、「鈴木と加藤はともに嘘をついている」は\(P\wedge Q\)として、「鈴木と加藤はともに嘘をついていない」は\(\lnot P\wedge \lnot Q\)としてそれぞれ定式化されるため、言明全体は、\begin{equation*}
\left( P\wedge Q\right) \veebar \left( \lnot P\wedge \lnot Q\right)
\end{equation*}と定式化されます。
例(排他的論理和)
命題変数\(P,Q\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}
P &:&\text{夫が働く} \\
Q &:&\text{妻が働く}
\end{eqnarray*}とおくとき、\begin{eqnarray*}
P\wedge \lnot Q &:&\text{夫が働き妻が働かない} \\
\lnot P\wedge Q &:&\text{夫が働かず妻が働く}
\end{eqnarray*}となり、さらに、\begin{equation*}
\left( P\wedge \lnot Q\right) \veebar \left( \lnot P\wedge Q\right) :\text{夫が働き妻が働かないか、夫が働かず妻が働くかのどちらか一方}
\end{equation*}となります。

次回は含意の解釈について学びます。

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