\(A\vee B\)と\(\lnot A\)が真である場合には\(B\)は必ず真になります。これは選言三段論法と呼ばれる推論規則です。

2018年11月21日:公開

選言三段論法

以下の命題が成り立ちます。

命題(選言三段論法)
任意の論理式\(A,B\)に対して以下が成り立つ。\begin{equation*}
\left( A\vee B\right) \ \wedge \ \lnot A\ \Rightarrow \ B
\end{equation*}
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上の命題より、任意の論理式\(A,B\)に関して以下の推論規則\begin{equation*}
A\vee B,\ \lnot A\ \models \ B
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(A\vee B\)と\(\lnot A\)が真である場合には\(B\)は必ず真になります。これは選言三段論法(disjunctive syllogism)と呼ばれる推論規則です。

例(選言三段論法)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{彼は家と学校のどちらかにいる。} \\
&&\text{彼は家にいない。} \\
&&\text{ゆえに、彼は学校にいる。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P,Q\)を、\begin{eqnarray*}
P &:&\text{彼は家にいる} \\
Q &:&\text{彼は学校にいる}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\vee Q,\ \lnot P\ \therefore \ Q
\end{equation*}と定式化されます。選言三段論法より、これは妥当な推論です。

次回は仮言三段論法と呼ばれる推論規則について学びます。
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