論理式 A,B について、「AまたはB」と「Aではない」という前提から「Bである」という結論を導く推論規則を選言三段論法と呼びます。
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選言三段論法

論理式\(A,B\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{align*}
\left( \left( A\vee B\right) \wedge \lnot A\right) \rightarrow B&
\Leftrightarrow \lnot \left( \left( A\vee B\right) \wedge \lnot A\right)
\vee B\quad \because \ \rightarrow \text{の言い換え} \\
& \Leftrightarrow \lnot \left( \left( A\wedge \lnot A\right) \vee \left(
B\wedge \lnot A\right) \right) \vee B\quad \because \text{分配律} \\
& \Leftrightarrow \lnot \left( \bot \vee \left( B\wedge \lnot A\right)
\right) \vee B\quad \because \text{矛盾律} \\
& \Leftrightarrow \lnot \left( B\wedge \lnot A\right) \vee B\quad \because
\text{恒偽式}\bot \text{の性質} \\
& \Leftrightarrow \left( \lnot B\vee \lnot \lnot A\right) \vee B\quad
\because \text{ド・モルガンの法則} \\
& \Leftrightarrow \left( B\vee \lnot B\right) \vee \lnot \lnot A\quad
\because \text{交換律、結合律} \\
& \Leftrightarrow \top \vee \lnot \lnot A\quad \because \text{排中律} \\
& \Leftrightarrow \top \quad \because \text{恒真式}\top
\text{の性質}
\end{align*}すなわち、\begin{equation*}
\left( A\vee B\right) \ \wedge \ \lnot A\ \Rightarrow \ B
\end{equation*}が成り立ちます。ここから以下の推論規則を得ます。

命題(選言三段論法)
任意の論理式\(A,B\)に対して以下が成り立つ。\begin{equation*}
\left( A\vee B\right) \ \wedge \ \lnot A\ \models \ B
\end{equation*}
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つまり、\(A\vee B\)と\(\lnot A\)がともに真であるような任意の解釈において、\(B\)は必ず真になります。これは選言三段論法(disjunctive syllogism)と呼ばれる推論規則です。

例(選言三段論法)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{彼はコーヒーと紅茶の少なくとも一方が好きである。} \\
&&\text{彼はコーヒーが好きではない。} \\
&&\text{ゆえに、彼は紅茶が好きである。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P,Q\)を、\begin{eqnarray*}
P &:&\text{彼はコーヒーが好きである} \\
Q &:&\text{彼は紅茶が好きである}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\vee Q,\ \lnot P\ \therefore \ Q
\end{equation*}と定式化されます。選言三段論法より、これは妥当な推論です。
例(選言三段論法)
命題変数\(P,Q\)に関する以下の推論\begin{equation*}
\lnot \left( P\wedge Q\right) ,\ P\ \therefore \ \lnot Q
\end{equation*}について考えます。\(\lnot \left( P\wedge Q\right) \)と\(P\)がともに真であるものとします。\(\lnot \left( P\wedge Q\right) \)が真であるとき、ド・モルガンの法則より\(\lnot P\vee \lnot Q\)は真です。\(P\)が真であるとき、二重否定導入より\(\lnot \lnot P\)は偽です。したがって、選言三段論法より\(\lnot Q\)は真であるため、先の推論が妥当であることが示されました。つまり、\begin{equation*}
\lnot \left( P\wedge Q\right) ,\ P\ \models \ \lnot Q
\end{equation*}が成り立ちます。

 

選言肯定

繰り返しになりますが、選言三段論法とは、選言\(A\vee B\)とそれを構成する一方の論理式の否定\(\lnot A\)から、もう一方の論理式\(B\)を導く推論規則です。では、選言\(A\vee B\)とそれを構成する一方の論理式\(A\)から、もう一方の論理式の否定\(\lnot B\)を導くことはできるのでしょうか。つまり、以下の推論\begin{equation*}
A\vee B,\ A\ \therefore \ \lnot B
\end{equation*}は妥当でしょうか。これは選言肯定(affirming a disjunct)と呼ばれます。

選言肯定は妥当な推論ではありません。実際、\(A\)と\(B\)がともに真であるような解釈において、選言肯定の前提に相当する\(A\vee B\)と\(A\)はともに真である一方で、結論に相当する\(\lnot B\)は偽になります。つまり、\begin{equation*}
A\vee B,\ A\ \not\models \ \lnot B
\end{equation*}となります。

例(選言肯定)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{彼はコーヒーと紅茶の少なくとも一方が好きである。} \\
&&\text{彼は紅茶が好きである。} \\
&&\text{ゆえに、彼はコーヒーが好きではない。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P,Q\)を、\begin{eqnarray*}
P &:&\text{彼はコーヒーが好きである} \\
Q &:&\text{彼は紅茶が好きである}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\vee Q,\ P\ \therefore \ \lnot Q
\end{equation*}と定式化されます。これは選言肯定であるため、妥当な推論ではありません。実際、彼がコーヒーと紅茶の両方を好きであるとき、\(P\vee Q\)と\(P\)はともに真である一方で、\(\lnot Q\)は偽になります。

選言肯定は妥当でない一方で、選言肯定において論理和\(\vee \)を排他的論理和\(\veebar \)に置き換えることで得られる以下の推論\begin{equation*}
A\veebar B,\ A\ \therefore \ \lnot B
\end{equation*}は妥当です。実際、\begin{eqnarray*}
\left( \left( A\veebar B\right) \wedge A\right) \rightarrow \lnot B
&\Leftrightarrow &\left( \left( \left( A\wedge \lnot B\right) \vee \left(
\lnot A\wedge B\right) \right) \wedge A\right) \rightarrow \lnot B\quad
\because \veebar \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \left( \left( \left( A\wedge \lnot B\right) \vee
\left( \lnot A\wedge B\right) \right) \wedge A\right) \vee \lnot B\quad
\because \rightarrow \text{の言い換え} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \left( \left( A\wedge A\wedge \lnot B\right) \vee
\left( A\wedge \lnot A\wedge B\right) \right) \vee \lnot B\quad \because
\text{分配律、交換律} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \left( \left( A\wedge \lnot B\right) \vee \left(
\bot \wedge B\right) \right) \vee \lnot B\quad \because \text{ベキ等律、矛盾律} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \left( \left( A\wedge \lnot B\right) \vee \bot
\right) \vee \lnot B\quad \because \text{恒偽式の性質} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \left( A\wedge \lnot B\right) \vee \lnot B\quad
\because \text{恒偽式の性質} \\
&\Leftrightarrow &\left( \lnot A\vee \lnot \lnot B\right) \vee \lnot B\quad
\because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\lnot A\vee \top \quad \because \text{結合律、排中律} \\
&\Leftrightarrow &\top \quad \because \text{恒真式}\top
\text{の性質}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left( \left( A\veebar B\right) \wedge A\right) \Rightarrow \lnot B
\end{equation*}が成り立ちます。

命題(選言肯定)
任意の論理式\(A,B\)に対して以下が成り立つ。\begin{equation*}
A\veebar B,\ A\ \models \ \lnot B
\end{equation*}
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例(選言肯定)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{彼は家と学校のどちらかにいる。} \\
&&\text{彼は家にいる} \\
&&\text{ゆえに、彼は学校にいない。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P,Q\)を、\begin{eqnarray*}
P &:&\text{彼は家にいる} \\
Q &:&\text{彼は学校にいる}
\end{eqnarray*}とおくと、彼は家と学校の両方にいることはできないため、先の推論は、\begin{equation*}
P\veebar Q,\ P\ \therefore \ \lnot Q
\end{equation*}と定式化されます。これは排他的論理和に関する選言肯定であるため、妥当な推論です。

次回は仮言三段論法と呼ばれる推論規則について学びます。

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