論理式を構成する命題変数の値の組み合わせによらず、その論理式の値が常に\(1\)であるならば、その論理式を恒真式やトートロジーなどと呼びます。また、論理式を構成する命題変数の値の組み合わせによらず、その論理式の値が常に\(0\)であるならば、その論理式を恒偽式や矛盾式などと呼びます。恒真式や恒偽式ではない論理式を事実式と呼びます。

2018年11月14日:公開

恒真式

論理式を構成する命題変数の値の組み合わせによらずその論理式の値が常に\(1\)であるならば、その論理式を恒真式(tautology)やトートロジーなどと呼びます。言い換えると、ある論理式が恒真式であるとは、その論理式の値が任意の解釈において\(1\)であるということです。

論理式の解釈について復習する

恒真式を表す記号を\(\top \)と定めます。命題定数\(T\)は論理式ですから、これもまた恒真式です。

例(恒真式)
命題変数\(P,Q\)に関する論理式\(P\wedge \left( P\rightarrow Q\right) \rightarrow Q\)が恒真式であることは、以下の真理値表から明らかです。

\begin{array}{ccccc}
\hline
P & Q & P\rightarrow Q & P\wedge \left( P\rightarrow Q\right) & P\wedge \left( P\rightarrow Q\right) \rightarrow Q \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}

表:恒真式

 

恒偽式

論理式を構成する命題変数の値の組み合わせによらず、その論理式の値が常に\(0\)であるならば、その論理式を恒偽式(contradiction)や矛盾式などと呼びます。言い換えると、ある論理式が恒偽式であるとは、その論理式の値が任意の解釈において\(0\)であるということです。

恒偽式を表す記号を\(\bot \)と定めます。命題定数\(F\)は論理式ですから、これもまた恒真式です。

例(恒偽式)
命題変数\(P,Q\)に関する論理式\((P\wedge \left( P\rightarrow Q\right) )\wedge \lnot Q\)が恒偽式であることは、以下の真理値表から明らかです。

\begin{array}{cccccc}
\hline
P & Q & P\rightarrow Q & P\wedge \left( P\rightarrow Q\right) & \lnot Q & (P\wedge \left( P\rightarrow Q\right) )\wedge \lnot Q \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
\end{array}

表:恒偽式

 

事実式

恒真式や恒偽式ではない論理式を事実式(contingency)や整合式などと呼びます。事実式の値は、それを構成する命題変数の値の組み合わせによって\(0\)にも\(1\)にもなります。言い換えると、ある論理式が事実式であるとは、その論理式の値が\(0\)になるような解釈と、値が\(1\)になるような解釈の双方が存在するということです。

例(事実式)
命題変数\(P,Q\)に関する論理式\(P\wedge \left( P\rightarrow Q\right) \)が事実式であることは、以下の真理値表から明らかです。

\begin{array}{cccc}
\hline
P & Q & P\rightarrow Q & P\wedge \left( P\rightarrow Q\right) \\
\hline
1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
\end{array}

表:事実式

次回は必要条件と十分条件について学びます。

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