恒真式・恒偽式・事実式

論理式を構成する命題変数の値の組み合わせによらず、その論理式の値が常に\(1\)であるならば、その論理式を恒真式やトートロジーなどと呼びます。また、論理式を構成する命題変数の値の組み合わせによらず、その論理式の値が常に\(0\)であるならば、その論理式を恒偽式や矛盾式などと呼びます。恒真式や恒偽式ではない論理式を事実式と呼びます。

恒真式

ある論理式の値が任意の解釈において常に\(1\)であるならば、つまり、その論理式を構成する命題変数の値の組み合わせによらずその論理式の値が常に\(1\)であるならば、その論理式を恒真式(tautology)やトートロジーなどと呼びます。

恒真式を表す記号を\(\top \)と定めます。命題定数\(T\)は論理式であるため、これもまた恒真式です。

例(恒真式)
命題変数\(P\)に関する論理式\(\left( P\vee \lnot P\right) \vee P\)に関して、以下の真理値表が得られます。

$$\begin{array}{cccc}
\hline
P & \lnot P & P\vee \lnot P & \left( P\vee \lnot P\right) \vee P \\
\hline
1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

表:恒真式

つまり、\(\left( P\vee \lnot P\right) \vee P\)は2通りの解釈が可能ですが、いずれの解釈のもとでも\(\left( P\vee \lnot P\right) \vee P\)の値は常に\(1\)であるため、この論理式は恒真式です。

例(恒真式)
命題変数\(P,Q\)に関する論理式\(P\wedge \left( P\rightarrow Q\right) \rightarrow Q\)に関して、以下の真理値表が得られます。

$$\begin{array}{ccccc}
\hline
P & Q & P\rightarrow Q & P\wedge \left( P\rightarrow Q\right) & P\wedge \left( P\rightarrow Q\right) \rightarrow Q \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

表:恒真式

つまり、\(P\wedge \left( P\rightarrow Q\right) \rightarrow Q\)は4通りの解釈が可能ですが、いずれの解釈のもとでも\(P\wedge \left( P\rightarrow Q\right) \rightarrow Q\)の値は常に\(1\)であるため、この論理式は恒真式です。

 

恒偽式

ある論理式の値が任意の解釈において常に\(0\)であるならば、つまり、その論理式を構成する命題変数の値の組み合わせによらずその論理式の値が常に\(0\)であるならば、その論理式を恒偽式(contradiction)や矛盾式などと呼びます。

恒偽式を表す記号を\(\bot \)と定めます。命題定数\(F\)は論理式であるため、これもまた恒真式です。

例(恒偽式)
命題変数\(P\)に関する論理式\(\left( P\wedge \lnot P\right) \wedge P\)に関して、以下の真理値表が得られます。

$$\begin{array}{cccc}
\hline
P & \lnot P & P\wedge \lnot P & \left( P\vee \lnot P\right) \wedge P
\\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

表:恒偽式

つまり、\(\left( P\wedge \lnot P\right) \wedge P\)は2通りの解釈が可能ですが、いずれの解釈のもとでも\(\left( P\wedge \lnot P\right) \wedge P\)の値は常に\(0\)であるため、この論理式は恒偽式です。

例(恒偽式)
命題変数\(P,Q\)に関する論理式\((P\wedge \left( P\rightarrow Q\right) )\wedge \lnot Q\)に関して、以下の真理値表が得られます。

$$\begin{array}{cccccc}
\hline
P & Q & P\rightarrow Q & P\wedge \left( P\rightarrow Q\right) & \lnot Q & (P\wedge \left( P\rightarrow Q\right) )\wedge \lnot Q \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

表:恒偽式

つまり、\((P\wedge \left( P\rightarrow Q\right) )\wedge \lnot Q\)は4通りの解釈が可能ですが、いずれの解釈のもとでも\((P\wedge \left( P\rightarrow Q\right) )\wedge \lnot Q\)の値は常に\(0\)であるため、この論理式は恒偽式です。

 

事実式

恒真式や恒偽式ではない論理式を事実式(contingency)や整合式などと呼びます。事実式の値は解釈によって\(0\)にも\(1\)にもなります。つまり、ある論理式が事実式であることは、その論理式の値が\(0\)になるような解釈と、値が\(1\)になるような解釈の双方が存在することを意味します。

例(事実式)
命題変数\(P\)に関する論理式\(\left( P\wedge \lnot P\right) \vee P\)に関して、以下の真理値表が得られます。

$$\begin{array}{cccc}
\hline
P & \lnot P & P\wedge \lnot P & \left( P\vee \lnot P\right) \vee P
\\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

表:事実式

つまり、\(\left( P\wedge \lnot P\right) \vee P\)は2通りの解釈が可能ですが、1行目の解釈のもとでの値は\(1\)で、2行目の解釈のもとでの値は\(0\)であるため、この論理式は事実式です。

例(事実式)
命題変数\(P,Q\)に関する論理式\(P\wedge \left( P\rightarrow Q\right) \)に関して、以下の真理値表が得られます。

$$\begin{array}{cccc}
\hline
P & Q & P\rightarrow Q & P\wedge \left( P\rightarrow Q\right) \\
\hline
1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

表:事実式

つまり、\(P\wedge \left( P\rightarrow Q\right) \)は4通りの解釈が可能ですが、1行目の解釈のもとでの値は\(1\)で、2,3,4行目の解釈のもとでの値は\(0\)であるため、この論理式は事実式です。

次回は必要条件と十分条件について学びます。

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