\(A\rightarrow B,\ C\rightarrow D,\ A\vee C\)がいずれも真である場合には\(B\vee D\)は必ず真になります。これは構成的ジレンマと呼ばれる推論規則です。

構成的ジレンマ

以下の命題が成り立ちます。

命題(構成的ジレンマ)

任意の論理式\(A,B,C\)に対して以下が成り立つ。\begin{equation*}
\left( A\rightarrow B\right) \ \wedge \ \left( C\rightarrow D\right) \ \wedge \ \left( A\vee C\right) \ \Rightarrow \ B\vee D
\end{equation*}

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上の命題より、任意の論理式\(A,B,C,D\)に関して以下の推論規則\begin{equation*}
A\rightarrow B,\ C\rightarrow D,\ A\vee C\ \models \ B\vee D
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(A\rightarrow B,\ C\rightarrow D,\ A\vee C\)がいずれも真である場合には\(B\vee D\)は必ず真になります。これは構成的ジレンマ(constructive dilemma)と呼ばれる推論規則です。

例(構成的ジレンマ)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{もし雨が降れば、私は濡れる。} \\
&&\text{もし吹雪になれば、私は凍える。} \\
&&\text{雨が降るか吹雪になる。} \\
&&\text{ゆえに、私は濡れるか凍える。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P,Q,R\)を、\begin{eqnarray*}
P &:&\text{雨が降る} \\
Q &:&\text{吹雪になる} \\
R &:&\text{私は濡れる} \\
S &:&\text{私は凍える}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\rightarrow R,\ Q\rightarrow S,\ P\vee Q\ \therefore \ R\vee S
\end{equation*}と定式化されます。構成的ジレンマより、これは妥当な推論です。

次回は破壊的ジレンマと呼ばれる推論規則について学びます。
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