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PROPOSITIONAL LOGIC

命題論理における構成的ジレンマ

目次

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構成的ジレンマ

論理式\(A,B,C,D\)をそれぞれ任意に選んだとき、以下の恒真式\begin{equation*}\left( A\rightarrow B\right) \wedge \left( C\rightarrow D\right) \wedge
\left( A\vee C\right) \Rightarrow B\vee D
\end{equation*}が成り立つことが示されるため、以下の推論規則\begin{equation*}
A\rightarrow B,\ C\rightarrow D,\ A\vee C\ \models \ B\vee D
\end{equation*}を得ます。つまり、\(A\rightarrow B\)と\(C\rightarrow D\)と\(A\vee C\)がいずれも真であるような任意の解釈において\(B\vee D\)は必ず真になります。これは構成的ジレンマ(constructive dilemma)と呼ばれる推論規則です。

命題(構成的ジレンマ)

任意の論理式\(A,B,C,D\)に対して、\begin{equation*}A\rightarrow B,\ C\rightarrow D,\ A\vee C\ \models \ B\vee D
\end{equation*}が成り立つ。

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例(構成的ジレンマ)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{もし雨が降れば、私は濡れる。} \\
&&\text{もし吹雪になれば、私は凍える。} \\
&&\text{雨が降るか吹雪になるかの少なくとも一方である。} \\
&&\text{ゆえに、私は濡れるか凍えるかの少なくとも一方である。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P,Q,R,S\)を、\begin{eqnarray*}P &:&\text{雨が降る} \\
Q &:&\text{吹雪になる} \\
R &:&\text{私は濡れる} \\
S &:&\text{私は凍える}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\rightarrow R,\ Q\rightarrow S,\ P\vee Q\ \therefore \ R\vee S
\end{equation*}と定式化されます。構成的ジレンマよりこれは妥当な推論です。つまり、\begin{equation}
P\rightarrow R,\ Q\rightarrow S,\ P\vee Q\ \models \ R\vee S \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。では、「雨と吹雪の両方を体験したにも関わらず濡れていないし凍えてもいない」場合には何が起きているでしょうか。これは\(P\vee Q\)が真で\(R\vee S\)が偽であることを意味します。推論規則\(\left( 1\right) \)が成り立つことを踏まえると、推論の結論である\(R\vee S\)が偽である場合、推論の前提である\(P\rightarrow R\)と\(Q\rightarrow S\)と\(P\vee Q\)の中の少なくとも1つが偽でなければなりません。今は\(P\vee Q\)が真である場合について考えているため\(P\rightarrow R\)と\(Q\rightarrow S\)の少なくとも一方が偽です。つまり、「雨が降れば濡れる」や「吹雪になれば凍える」という主張の少なくとも一方が間違っているということになります。例えば、この人は傘を持っていたか、厚着をしていたのかもしれません。
例(構成的ジレンマ)
論理式\(A,B,C,D\)に関する以下の推論\begin{equation*}A\rightarrow \lnot B,\ \lnot C\rightarrow D,\ A\vee \lnot C\ \therefore \
\lnot B\vee D
\end{equation*}について考えます。\(A\rightarrow \lnot B\)と\(\lnot C\rightarrow D\)と\(A\vee \lnot C\)がいずれも真であるとき、構成的ジレンマより\(\lnot B\vee D\)は真であるため、上の推論が妥当であることが示されました。つまり、\begin{equation*}A\rightarrow \lnot B,\ \lnot C\rightarrow D,\ A\vee \lnot C\ \models \ \lnot
B\vee D
\end{equation*}が成り立ちます。

例(構成的ジレンマ)
論理式\(A,B,C,D,E,F\)に関する以下の推論\begin{equation*}A\rightarrow B,\ \left( C\rightarrow D\right) \wedge E,\ D\rightarrow F,\
A\vee C\ \therefore \ B\vee F
\end{equation*}について考えます。\(\left( C\rightarrow D\right) \wedge E\)が真であるとき連言除去より\(C\rightarrow D\)は真です。\(C\rightarrow D\)と\(D\rightarrow F\)が真であるとき仮言三段論法より\(C\rightarrow F\)は真です。\(A\rightarrow B\)と\(C\rightarrow F\)と\(A\vee C\)が真であるとき構成的ジレンマより\(B\vee F\)は真です。したがって上の推論が妥当であることが示されました。つまり、\begin{equation*}A\rightarrow B,\ \left( C\rightarrow D\right) \wedge E,\ D\rightarrow F,\
A\vee C\ \models \ B\vee F
\end{equation*}が成り立ちます。

 

排他的論理和に関する構成的ジレンマ

繰り返しになりますが、構成的ジレンマとは、任意の論理式\(A,B,C,D\)に対して、\begin{equation*}A\rightarrow B,\ C\rightarrow D,\ A\vee C\ \models \ B\vee D
\end{equation*}が成り立つという推論規則です。構成的ジレンマを構成する論理和\(\vee \)を排他的論理和\(\veebar \)に置き換えると、\begin{equation*}A\rightarrow B,\ C\rightarrow D,\ A\veebar C\ \models \ B\veebar D
\end{equation*}を得ますが、これは成り立ちません。実際、\(A,B,D\)が真で\(C\)が偽であるような解釈のもとでは、前提である\(A\rightarrow B\)と\(C\rightarrow D\)と\(A\veebar C\)がいずれも真である一方、結論である\(B\veebar D\)は偽になります。

例(排他的論理和に関する構成的ジレンマ)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{もしこれが金ならば、私は大金持ちだ。} \\
&&\text{もしこれがパイライトならば、私は愚か者だ。} \\
&&\text{これは金かパイライトのどちらか一方である。} \\
&&\text{ゆえに、私は大金持ちか愚か者のどちらか一方である。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P,Q,R\)を、\begin{eqnarray*}P &:&\text{これは金である} \\
Q &:&\text{私は大金持ちである} \\
R &:&\text{これはパイライトである} \\
S &:&\text{私は愚か者である}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\rightarrow Q,\ R\rightarrow S,\ P\veebar R\ \therefore \ Q\veebar S
\end{equation*}と定式化されます。この人が発見したものはパイライトではなく金であり、なおかつこの人は大金持ちな愚か者である場合、\(P\rightarrow Q\)と\(R\rightarrow S\)と\(P\veebar S\)はいずれも真である一方、\(Q\veebar S\)は偽であるため、上の推論は妥当ではありません。

 

演習問題

問題(構成的ジレンマ)
以下の推論\begin{eqnarray*}
&&\text{もし雨が降れば、私は家にいる。} \\
&&\text{もし雨が降らなければ、私は出かける。} \\
&&\text{ゆえに、私は家にいるか出かけるの少なくとも一方である。}
\end{eqnarray*}が妥当であることを示してください。

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問題(構成的ジレンマ)
論理式\(A,B,C,D\)に関する以下の推論\begin{equation*}A\rightarrow \lnot B,\ C\rightarrow \lnot D,\ A\vee C\ \therefore \ \lnot
\left( B\wedge D\right)
\end{equation*}が妥当であることを示してください。

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問題(構成的ジレンマ)
論理式\(A,B,C\)に関する以下の推論\begin{equation*}A\rightarrow C,\ B\rightarrow C,\ A\vee B\ \therefore \ C
\end{equation*}が妥当であることを示してください。

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問題(構成的ジレンマ)
論理式\(A,B,C,D\)に関する以下の推論\begin{equation*}A\rightarrow B,\ C\rightarrow D,\ \lnot B\vee D\ \therefore \ \lnot \left(
A\wedge C\right)
\end{equation*}が妥当であることを示してください。

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次回は破壊的ジレンマと呼ばれる推論規則について学びます。

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DISCUSSION

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RELATED KNOWLEDGE
推論規則
命題論理における推論規則

既知の事柄を前提とした上で、未知の事柄に関して結論を導き出すことを推論と呼びます。また、前提がすべて真である場合に結論が必ず真であるならば、その推論は妥当であると言います。妥当な推論を推論式と呼びます。

含意導入
命題論理における含意導入

論理式A,B,Cが任意に与えられたとき、前提がA,Bで結論がCであるような推論が妥当である場合、前提がAで結論がB→Cであるような推論もまた妥当になります。これは含意導入と呼ばれる推論規則です。

共通部分
命題論理における連言除去

論理式 A,B が任意に与えられたとき、「AかつB」という前提から「Aである」という結論(もしくは「B」であるという結論)を導く推論規則を連言除去と呼びます。

共通部分
命題論理における連言導入

論理式 A,B が任意に与えられたとき、「Aである」と「Bである」という2つの前提から「AかつB」という結論を導く推論規則を連言導入と呼びます。

推論規則
命題論理における選言除去

論理式 A,B,C を任意に選んだとき、「AならばC」「BならばC」「AまたはB」という3つの前提から「Cである」という結論を導く推論規則を選言除去と呼びます。

和集合
命題論理における選言導入

論理式 A,B を任意に選んだとき、「Aである」(もしくは「Bである」)という前提から「AまたはB」という結論を導く推論規則を選言導入と呼びます。

仮言三段論法
命題論理における仮言三段論法

論理式 A,B,C について、「AならばB」と「BならばC」という前提から「AならばC」という結論を導く推論規則を仮言三段論法と呼びます。

推論規則
命題論理における破壊的ジレンマ

論理式 A,B,C,D について、「AならばB」「CならばD」「BでないかDでないかの少なくとも一方」という前提から「AでないかCでないかの少なくとも一方」という結論を導く推論規則を破壊的ジレンマと呼びます。

命題論理