構成的ジレンマ

論理式 A,B,C,D について、「AならばB」「CならばD」「AまたはC」という前提から「BまたはD」という結論を導く推論規則を構成的ジレンマと呼びます。
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構成的ジレンマ

論理式\(A,B,C,D\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( \left( A\rightarrow B\right) \wedge \left( C\rightarrow D\right)
\wedge \left( A\vee C\right) \right) \rightarrow \left( B\vee D\right) \\
&\Leftrightarrow &\lnot \left( \left( A\rightarrow B\right) \wedge \left(
C\rightarrow D\right) \wedge \left( A\vee C\right) \right) \vee \left( B\vee
D\right) \quad \because \ \rightarrow \text{の言い換え} \\
&\Leftrightarrow &\left( \lnot \left( A\rightarrow B\right) \vee \lnot
\left( C\rightarrow D\right) \vee \lnot \left( A\vee C\right) \right) \vee
\left( B\vee D\right) \ \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\left( \lnot \left( \lnot A\vee B\right) \vee \lnot \left(
\lnot C\vee D\right) \vee \lnot \left( A\vee C\right) \right) \vee \left(
B\vee D\right) \quad \because \ \rightarrow \text{の言い換え} \\
&\Leftrightarrow &\left( \left( A\wedge \lnot B\right) \vee \left( C\wedge
\lnot D\right) \vee \lnot \left( A\vee C\right) \right) \vee \left( B\vee
D\right) \quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\left( \left( A\wedge \lnot B\right) \vee B\right) \vee
\left( \left( C\wedge \lnot D\right) \vee D\right) \vee \lnot \left( A\vee
C\right) \quad \because \text{結合律、交換律} \\
&\Leftrightarrow &\left( \left( A\vee B\right) \wedge \left( \lnot B\vee
B\right) \right) \vee \left( \left( C\vee D\right) \wedge \left( \lnot D\vee
D\right) \right) \vee \lnot \left( A\vee C\right) \quad \because \text{分配律} \\
&\Leftrightarrow &\left( \left( A\vee B\right) \wedge \top \right) \vee
\left( \left( C\vee D\right) \wedge \top \right) \vee \lnot \left( A\vee
C\right) \quad \because \text{排中律} \\
&\Leftrightarrow &\left( A\vee B\right) \vee \left( C\vee D\right) \vee
\lnot \left( A\vee C\right) \quad \because \text{恒真式}\top \text{の性質} \\
&\Leftrightarrow &\left( A\vee C\right) \vee \lnot \left( A\vee C\right)
\vee \left( B\vee D\right) \quad \because \text{結合律、交換律} \\
&\Leftrightarrow &\top \vee \left( B\vee D\right) \quad \because \text{排中律} \\
&\Leftrightarrow &\top \quad \because \text{恒真式}\top
\text{の性質}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left( A\rightarrow B\right) \wedge \left( C\rightarrow D\right) \wedge
\left( A\vee C\right) \Rightarrow B\vee D
\end{equation*}が成り立ちます。ここから以下の推論規則を得ます。

命題(構成的ジレンマ)

任意の論理式\(A,B,C,D\)に対して以下が成り立つ。\begin{equation*}
\left( A\rightarrow B\right) \wedge \left( C\rightarrow D\right) \wedge
\left( A\vee C\right) \ \models \ B\vee D
\end{equation*}

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つまり、\(A\rightarrow B\)と\(C\rightarrow D\)と\(A\vee C\)がいずれも真であるような任意の解釈において\(B\vee D\)は必ず真になります。これは構成的ジレンマ(constructive dilemma)と呼ばれる推論規則です。

例(構成的ジレンマ)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{もし雨が降れば、私は濡れる。} \\
&&\text{もし吹雪になれば、私は凍える。} \\
&&\text{雨が降るか吹雪になるかの少なくとも一方である。} \\
&&\text{ゆえに、私は濡れるか凍えるかの少なくとも一方である。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P,Q,R\)を、\begin{eqnarray*}
P &:&\text{雨が降る} \\
Q &:&\text{吹雪になる} \\
R &:&\text{私は濡れる} \\
S &:&\text{私は凍える}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\rightarrow R,\ Q\rightarrow S,\ P\vee Q\ \therefore \ R\vee S
\end{equation*}と定式化されます。構成的ジレンマより、これは妥当な推論です。
例(構成的ジレンマ)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{もし雨が降れば、私は家にいる。} \\
&&\text{もし吹雪になれば、私は家にいる。} \\
&&\text{雨が降るか吹雪になるかの少なくとも一方である。} \\
&&\text{ゆえに、私は家にいる。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P,Q,R\)を、\begin{eqnarray*}
P &:&\text{雨が降る} \\
Q &:&\text{吹雪になる} \\
R &:&\text{私は家にいる}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\rightarrow R,\ Q\rightarrow R,\ P\vee Q\ \therefore \ R
\end{equation*}と定式化されます。\(P\rightarrow R\)と\(Q\rightarrow R\)と\(P\vee Q\)がいずれも真であるとき、構成的ジレンマより\(R\vee R\)は真であるため、反射律より\(R\)も真です。すなわち、\begin{equation*}
P\rightarrow R,\ Q\rightarrow R,\ P\vee Q\ \models \ R
\end{equation*}が成り立ちます。先の推論は妥当です。
例(構成的ジレンマ)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{もし雨が降れば、私は家にいる。} \\
&&\text{もし雨が降らなければ、私は出かける。} \\
&&\text{ゆえに、私は家にいるか出かけるかの少なくとも一方である。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P,Q,R\)を、\begin{eqnarray*}
P &:&\text{雨が降る} \\
Q &:&\text{私は家にいる} \\
R &:&\text{私は出かける}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\rightarrow Q,\ \lnot P\rightarrow R\ \therefore \ Q\vee R
\end{equation*}と定式化されます。\(P\rightarrow Q\)と\(\lnot P\rightarrow R\)はともに真であるものとします。排中律より\(P\vee \lnot P\)もまた真です。したがって、構成的ジレンマより\(Q\vee R\)も真です。すなわち、\begin{equation*}
P\rightarrow Q,\ \lnot P\rightarrow R\ \models \ Q\vee R
\end{equation*}が成り立ちます。先の推論は妥当です。

繰り返しになりますが、構成的ジレンマとは、論理式\(A,B,C,D\)を用いて、\begin{equation*}
\left( A\rightarrow B\right) \wedge \left( C\rightarrow D\right) \wedge
\left( A\vee C\right) \ \models \ B\vee D
\end{equation*}と表現される推論規則です。構成的ジレンマを構成する論理和\(\vee \)を排他的論理和\(\veebar \)に置き換えると、\begin{equation*}
\left( A\rightarrow B\right) \wedge \left( C\rightarrow D\right) \wedge
\left( A\veebar C\right) \ \models \ B\veebar D
\end{equation*}を得ますが、これは妥当ではありません。例えば、\(A,B,D\)が真で\(C\)が偽であるような解釈のもとでは、前提である\(A\rightarrow B\)と\(C\rightarrow D\)と\(A\veebar C\)がいずれも真である一方、結論である\(B\veebar D\)は偽です。

例(排他的論理和に関する構成のジレンマ)
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{もしこれが金ならば、私は大金持ちだ。} \\
&&\text{もしこれがパイライトならば、私は愚か者だ。} \\
&&\text{これは金かパイライトのどちらか一方である。} \\
&&\text{ゆえに、私は大金持ちか愚か者のどちらか一方である。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P,Q,R\)を、\begin{eqnarray*}
P &:&\text{これは金である} \\
Q &:&\text{私は大金持ちである} \\
R &:&\text{これはパイライトである} \\
S &:&\text{私は愚か者である}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\rightarrow Q,\ R\rightarrow S,\ P\veebar R\ \therefore \ Q\veebar S
\end{equation*}と定式化されます。この人が発見したものはパイライトではなく金であり、なおかつこの人は大金持ちな愚か者である場合、\(P\rightarrow Q\)と\(R\rightarrow S\)と\(P\veebar S\)はいずれも真である一方、\(Q\veebar S\)は偽であるため、この推論は妥当ではありません。

次回は破壊的ジレンマと呼ばれる推論規則について学びます。

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