命題論理における構成的ジレンマ

任意の論理式\(A,B,C,D\)に対して、\begin{equation*}A\rightarrow B,\ C\rightarrow D,\ A\vee C\ \models \ B\vee D
\end{equation*}が成り立つ。

以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{もし雨が降れば、私は濡れる。} \\
&&\text{もし吹雪になれば、私は凍える。} \\
&&\text{雨が降るか吹雪になるかの少なくとも一方である。} \\
&&\text{ゆえに、私は濡れるか凍えるかの少なくとも一方である。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P,Q,R,S\)を、\begin{eqnarray*}P &:&\text{雨が降る} \\
Q &:&\text{吹雪になる} \\
R &:&\text{私は濡れる} \\
S &:&\text{私は凍える}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\rightarrow R,\ Q\rightarrow S,\ P\vee Q\ \therefore \ R\vee S
\end{equation*}と定式化されます。構成的ジレンマよりこれは妥当な推論です。つまり、\begin{equation}
P\rightarrow R,\ Q\rightarrow S,\ P\vee Q\ \models \ R\vee S \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。では、「雨と吹雪の両方を体験したにも関わらず濡れていないし凍えてもいない」場合には何が起きているでしょうか。これは\(P\vee Q\)が真で\(R\vee S\)が偽であることを意味します。推論規則\(\left( 1\right) \)が成り立つことを踏まえると、推論の結論である\(R\vee S\)が偽である場合、推論の前提である\(P\rightarrow R\)と\(Q\rightarrow S\)と\(P\vee Q\)の中の少なくとも1つが偽でなければなりません。今は\(P\vee Q\)が真である場合について考えているため\(P\rightarrow R\)と\(Q\rightarrow S\)の少なくとも一方が偽です。つまり、「雨が降れば濡れる」や「吹雪になれば凍える」という主張の少なくとも一方が間違っているということになります。例えば、この人は傘を持っていたか、厚着をしていたのかもしれません。

論理式\(A,B,C,D\)に関する以下の推論\begin{equation*}A\rightarrow \lnot B,\ \lnot C\rightarrow D,\ A\vee \lnot C\ \therefore \
\lnot B\vee D
\end{equation*}について考えます。\(A\rightarrow \lnot B\)と\(\lnot C\rightarrow D\)と\(A\vee \lnot C\)がいずれも真であるとき、構成的ジレンマより\(\lnot B\vee D\)は真であるため、上の推論が妥当であることが示されました。つまり、\begin{equation*}A\rightarrow \lnot B,\ \lnot C\rightarrow D,\ A\vee \lnot C\ \models \ \lnot
B\vee D
\end{equation*}が成り立ちます。

論理式\(A,B,C,D,E,F\)に関する以下の推論\begin{equation*}A\rightarrow B,\ \left( C\rightarrow D\right) \wedge E,\ D\rightarrow F,\
A\vee C\ \therefore \ B\vee F
\end{equation*}について考えます。\(\left( C\rightarrow D\right) \wedge E\)が真であるとき連言除去より\(C\rightarrow D\)は真です。\(C\rightarrow D\)と\(D\rightarrow F\)が真であるとき仮言三段論法より\(C\rightarrow F\)は真です。\(A\rightarrow B\)と\(C\rightarrow F\)と\(A\vee C\)が真であるとき構成的ジレンマより\(B\vee F\)は真です。したがって上の推論が妥当であることが示されました。つまり、\begin{equation*}A\rightarrow B,\ \left( C\rightarrow D\right) \wedge E,\ D\rightarrow F,\
A\vee C\ \models \ B\vee F
\end{equation*}が成り立ちます。

以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{もしこれが金ならば、私は大金持ちだ。} \\
&&\text{もしこれがパイライトならば、私は愚か者だ。} \\
&&\text{これは金かパイライトのどちらか一方である。} \\
&&\text{ゆえに、私は大金持ちか愚か者のどちらか一方である。}
\end{eqnarray*}命題変数\(P,Q,R\)を、\begin{eqnarray*}P &:&\text{これは金である} \\
Q &:&\text{私は大金持ちである} \\
R &:&\text{これはパイライトである} \\
S &:&\text{私は愚か者である}
\end{eqnarray*}とおくと、先の推論は、\begin{equation*}
P\rightarrow Q,\ R\rightarrow S,\ P\veebar R\ \therefore \ Q\veebar S
\end{equation*}と定式化されます。この人が発見したものはパイライトではなく金であり、なおかつこの人は大金持ちな愚か者である場合、\(P\rightarrow Q\)と\(R\rightarrow S\)と\(P\veebar R\)はいずれも真である一方、\(Q\veebar S\)は偽であるため、上の推論は妥当ではありません。

以下の推論\begin{eqnarray*}
&&\text{もし雨が降れば、私は家にいる。} \\
&&\text{もし雨が降らなければ、私は出かける。} \\
&&\text{ゆえに、私は家にいるか出かけるの少なくとも一方である。}
\end{eqnarray*}が妥当であることを示してください。

論理式\(A,B,C,D\)に関する以下の推論\begin{equation*}A\rightarrow \lnot B,\ C\rightarrow \lnot D,\ A\vee C\ \therefore \ \lnot
\left( B\wedge D\right)
\end{equation*}が妥当であることを示してください。

論理式\(A,B,C\)に関する以下の推論\begin{equation*}A\rightarrow C,\ B\rightarrow C,\ A\vee B\ \therefore \ C
\end{equation*}が妥当であることを示してください。

論理式\(A,B,C,D\)に関する以下の推論\begin{equation*}A\rightarrow B,\ C\rightarrow D,\ \lnot B\vee \lnot D\ \therefore \ \lnot
\left( A\wedge C\right)
\end{equation*}が妥当であることを示してください。