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PROPOSITIONAL LOGIC

命題論理における恒等律

目次

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恒真式と恒偽式の関係

恒真式\(\top \)と恒偽式\(\bot \)をそれぞれ任意に選んだとき、以下の真理値表が得られます。

$$\begin{array}{cccc}
\hline
\top & \bot & \lnot \top & \lnot \bot \\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

表:恒真式と恒偽式の関係

つまり、任意の解釈のもとで、恒真式\(\top \)と恒偽式の否定\(\lnot \bot \)の値は一致し、恒偽式\(\bot \)と恒真式の否定\(\lnot \top \)の値は一致するため、\begin{align*}& \left( a\right) \ \lnot \top \Leftrightarrow \bot \\
& \left( b\right) \ \lnot \bot \Leftrightarrow \top
\end{align*}という関係が成り立ちます。

命題(恒真式と恒偽式の関係)
任意の恒真式\(\top \)と恒偽式\(\bot \)の間には、\begin{align*}& \left( a\right) \ \lnot \top \Leftrightarrow \bot \\
& \left( b\right) \ \lnot \bot \Leftrightarrow \top
\end{align*}という関係が成り立つ。

例(恒真式と恒偽式の関係)
命題定数\(T\)は典型的な恒真式であり、命題定数\(F\)は典型的な恒偽式です。したがって、両者の間には、\begin{align*}& \left( a\right) \ \lnot T\Leftrightarrow F \\
& \left( b\right) \ \lnot F\Leftrightarrow T
\end{align*}という関係が成り立ちます。

例(恒真式と恒偽式の関係)
論理式\(A\)に関する論理式\(A\wedge \lnot A\)は恒偽式です。この恒偽式の否定は、ド・モルガンの法則より、\begin{equation*}\lnot A\vee \lnot \left( \lnot A\right)
\end{equation*}となりますが、先の命題よりこれは恒真式です。

例(恒真式と恒偽式の関係)
命題変数\(P\)に関する論理式\(\left( P\vee \lnot P\right) \vee P\)は恒真式です。この恒真式の否定を同値変形すると、\begin{eqnarray*}\lnot \left( \left( P\vee \lnot P\right) \vee P\right) &\Leftrightarrow
&\lnot \left( P\vee \lnot P\right) \wedge \lnot P\quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\left( \lnot P\wedge \lnot \lnot P\right) \wedge \lnot
P\quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\left( \lnot \lnot P\wedge \lnot P\right) \wedge \lnot
P\quad \because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \lnot P\wedge \left( \lnot P\wedge \lnot P\right)
\quad \because \text{結合律} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \lnot P\wedge \lnot P\quad \because \text{ベキ等律}
\end{eqnarray*}となります。したがって、先の命題より\(\lnot \lnot P\wedge \lnot P\)は恒偽式です。

 

零元としての恒真式・恒偽式

論理式\(A\)と恒真式\(\top \)および恒偽式\(\bot \)をそれぞれ任意に選んだとき、以下の真理値表が得られます。

$$\begin{array}{ccccc}
\hline
A & \top & \bot & A\vee \top & A\wedge \bot \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

表:恒真式・恒偽式の性質

つまり、任意の解釈のもとで、\(A\vee \top \)と\(\top \)の値は一致し、\(A\wedge \bot \)と\(\bot \)の値は一致するため、\begin{align*}& \left( a\right) \ A\vee \top \Leftrightarrow \top \\
& \left( b\right) \ A\wedge \bot \Leftrightarrow \bot
\end{align*}という関係が成り立ちます。\(\left( a\right) \)論理式と恒真式の論理和をとると恒真式になる一方で、\(\left( b\right) \)論理式と恒偽式の論理積をとると恒偽式になるということです。

命題(零元としての恒真式・恒偽式)
任意の論理式\(A\)、恒真式\(\bot \)および恒偽式\(\bot \)の間には、\begin{align*}& \left( a\right) \ A\vee \top \Leftrightarrow \top \\
& \left( b\right) \ A\wedge \bot \Leftrightarrow \bot
\end{align*}という関係が成り立つ。

例(零元としての恒真式・恒偽式)
命題定数\(T,F\)は典型的な恒真式と恒偽式です。したがって、任意の論理式\(A\)に対して、\begin{align*}& \left( a\right) \ A\vee T\Leftrightarrow T \\
& \left( b\right) \ B\wedge F\Leftrightarrow F
\end{align*}という関係が成り立ちます。

例(零元としての恒真式・恒偽式)
論理式\(A,B\)に関する論理式\begin{equation*}\left( A\wedge B\right) \wedge \lnot B
\end{equation*}が恒偽式であることを示します。実際、\begin{eqnarray*}
\left( A\wedge B\right) \wedge \lnot B &\Leftrightarrow &A\wedge \left(
B\wedge \lnot B\right) \quad \because \text{結合律} \\
&\Leftrightarrow &A\wedge \bot \quad \because \text{矛盾律}
\\
&\Leftrightarrow &\bot
\end{eqnarray*}となるため、証明が完了しました。

例(零元としての恒真式・恒偽式)
論理式\(A,B\)に関する論理式\begin{equation*}\left( A\vee B\right) \vee \left( A\vee \lnot B\right)
\end{equation*}が恒真式であることを示します。実際、\begin{eqnarray*}
\left( A\vee B\right) \vee \left( A\vee \lnot B\right) &\Leftrightarrow
&\left( A\vee A\right) \vee \left( B\vee \lnot B\right) \quad \because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &A\vee \left( B\vee \lnot B\right) \quad \because \text{ベキ等律} \\
&\Leftrightarrow &A\vee \top \quad \because \text{排中律}
\\
&\Leftrightarrow &\top
\end{eqnarray*}となるため、証明が完了しました。

 

単位元としての恒真式・恒偽式

論理式\(A\)と恒真式\(\top \)および恒偽式\(\bot \)をそれぞれ任意に選んだとき、以下の真理値表が得られます。

$$\begin{array}{ccccc}
\hline
A & \top & \bot & A\wedge \top & A\vee \bot \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

表:恒真式・恒偽式の性質

つまり、任意の解釈のもとで、\(A\wedge \top \)と\(A\)の値は一致し、\(A\wedge \top \)と\(A\)の値は一致するため、\begin{align*}& \left( a\right) \ A\wedge \top \Leftrightarrow A \\
& \left( b\right) \ A\vee \bot \Leftrightarrow A
\end{align*}という関係が成り立ちます。\(\left( a\right) \)論理式と恒真式の論理積をとるともとの論理式に戻り、\(\left( b\right) \)論理式と恒偽式の論理和をとるともとの論理式に戻るということです。

命題(単位元としての恒真式・恒偽式)
任意の論理式\(A\)、恒真式\(\bot \)および恒偽式\(\bot \)の間には、\begin{align*}& \left( a\right) \ A\wedge \top \Leftrightarrow A \\
& \left( b\right) \ A\vee \bot \Leftrightarrow A
\end{align*}という関係が成り立つ。

例(単位元としての恒真式・恒偽式)
命題定数\(T,F\)は典型的な恒真式と恒偽式です。したがって、任意の論理式\(A\)に対して、\begin{align*}& \left( a\right) \ A\wedge T\Leftrightarrow A \\
& \left( b\right) \ A\vee F\Leftrightarrow A
\end{align*}という関係が成り立ちます。

例(単位元としての恒真式・恒偽式)
論理式\(A,B\)に関する論理式\begin{equation*}\left( A\wedge B\right) \vee \left( A\wedge \lnot B\right)
\end{equation*}が\(A\)と論理的に同値であることを示します。実際、\begin{eqnarray*}\left( A\wedge B\right) \vee \left( A\wedge \lnot B\right) &\Leftrightarrow
&A\wedge \left( B\vee \lnot B\right) \quad \because \text{分配律} \\
&\Leftrightarrow &A\wedge \top \quad \because \text{排中律}
\\
&\Leftrightarrow &A
\end{eqnarray*}となるため、証明が完了しました。

例(単位元としての恒真式・恒偽式)
論理式\(A,B\)に関する論理式\begin{equation*}\left( A\vee B\right) \wedge \left( A\vee \lnot B\right)
\end{equation*}が\(A\)と論理的に同値であることを示します。実際、\begin{eqnarray*}\left( A\vee B\right) \wedge \left( A\vee \lnot B\right) &\Leftrightarrow
&A\vee \left( B\wedge \lnot B\right) \quad \because \text{分配律} \\
&\Leftrightarrow &A\vee \bot \quad \because \text{矛盾律}
\\
&\Leftrightarrow &A
\end{eqnarray*}となるため、証明が完了しました。

 

演習問題

問題(恒等律)
論理式\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( A\wedge \left( \lnot A\vee B\right) \right) \vee B\Leftrightarrow B
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(恒等律)
論理式\(A,B\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\left( A\vee B\right) \wedge \left( A\vee \lnot B\right) \Leftrightarrow A
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

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問題(恒等律)
論理式\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\vee \left( \lnot A\wedge \lnot B\right) \vee \left( A\wedge B\right)
\Leftrightarrow A\vee \lnot B
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(恒等律)
論理式\(A,B\)を任意に選んだとき\begin{equation*}\lnot \left( A\vee B\right) \vee \left( \lnot A\wedge B\right)
\Leftrightarrow \lnot A
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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次回は二重否定の法則について学びます。

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命題論理