恒真式と恒偽式の関係
恒真式\(\top \)と恒偽式\(\bot \)をそれぞれ任意に選んだとき、以下の真理値表が得られます。
$$\begin{array}{cccc}
\hline
\top & \bot & \lnot \top & \lnot \bot \\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$
つまり、任意の解釈のもとで、恒真式\(\top \)と恒偽式の否定\(\lnot \bot \)の値は一致し、恒偽式\(\bot \)と恒真式の否定\(\lnot \top \)の値は一致するため、\begin{align*}& \left( a\right) \ \lnot \top \Leftrightarrow \bot \\
& \left( b\right) \ \lnot \bot \Leftrightarrow \top
\end{align*}という関係が成り立ちます。
& \left( b\right) \ \lnot \bot \Leftrightarrow \top
\end{align*}という関係が成り立つ。
& \left( b\right) \ \lnot F\Leftrightarrow T
\end{align*}という関係が成り立ちます。
\end{equation*}となりますが、先の命題よりこれは恒真式です。
&\lnot \left( P\vee \lnot P\right) \wedge \lnot P\quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\left( \lnot P\wedge \lnot \lnot P\right) \wedge \lnot
P\quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\left( \lnot \lnot P\wedge \lnot P\right) \wedge \lnot
P\quad \because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \lnot P\wedge \left( \lnot P\wedge \lnot P\right)
\quad \because \text{結合律} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \lnot P\wedge \lnot P\quad \because \text{ベキ等律}
\end{eqnarray*}となります。したがって、先の命題より\(\lnot \lnot P\wedge \lnot P\)は恒偽式です。
零元としての恒真式・恒偽式
論理式\(A\)と恒真式\(\top \)および恒偽式\(\bot \)をそれぞれ任意に選んだとき、以下の真理値表が得られます。
$$\begin{array}{ccccc}
\hline
A & \top & \bot & A\vee \top & A\wedge \bot \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
\end{array}$$
つまり、任意の解釈のもとで、\(A\vee \top \)と\(\top \)の値は一致し、\(A\wedge \bot \)と\(\bot \)の値は一致するため、\begin{align*}& \left( a\right) \ A\vee \top \Leftrightarrow \top \\
& \left( b\right) \ A\wedge \bot \Leftrightarrow \bot
\end{align*}という関係が成り立ちます。\(\left( a\right) \)論理式と恒真式の論理和をとると恒真式になる一方で、\(\left( b\right) \)論理式と恒偽式の論理積をとると恒偽式になるということです。
& \left( b\right) \ A\wedge \bot \Leftrightarrow \bot
\end{align*}という関係が成り立つ。
& \left( b\right) \ B\wedge F\Leftrightarrow F
\end{align*}という関係が成り立ちます。
\end{equation*}が恒偽式であることを示します。実際、\begin{eqnarray*}
\left( A\wedge B\right) \wedge \lnot B &\Leftrightarrow &A\wedge \left(
B\wedge \lnot B\right) \quad \because \text{結合律} \\
&\Leftrightarrow &A\wedge \bot \quad \because \text{矛盾律}
\\
&\Leftrightarrow &\bot
\end{eqnarray*}となるため、証明が完了しました。
\end{equation*}が恒真式であることを示します。実際、\begin{eqnarray*}
\left( A\vee B\right) \vee \left( A\vee \lnot B\right) &\Leftrightarrow
&\left( A\vee A\right) \vee \left( B\vee \lnot B\right) \quad \because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &A\vee \left( B\vee \lnot B\right) \quad \because \text{ベキ等律} \\
&\Leftrightarrow &A\vee \top \quad \because \text{排中律}
\\
&\Leftrightarrow &\top
\end{eqnarray*}となるため、証明が完了しました。
単位元としての恒真式・恒偽式
論理式\(A\)と恒真式\(\top \)および恒偽式\(\bot \)をそれぞれ任意に選んだとき、以下の真理値表が得られます。
$$\begin{array}{ccccc}
\hline
A & \top & \bot & A\wedge \top & A\vee \bot \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$
つまり、任意の解釈のもとで、\(A\wedge \top \)と\(A\)の値は一致し、\(A\vee \bot \)と\(A\)の値は一致するため、\begin{align*}& \left( a\right) \ A\wedge \top \Leftrightarrow A \\
& \left( b\right) \ A\vee \bot \Leftrightarrow A
\end{align*}という関係が成り立ちます。\(\left( a\right) \)論理式と恒真式の論理積をとるともとの論理式に戻り、\(\left( b\right) \)論理式と恒偽式の論理和をとるともとの論理式に戻るということです。
& \left( b\right) \ A\vee \bot \Leftrightarrow A
\end{align*}という関係が成り立つ。
& \left( b\right) \ A\vee F\Leftrightarrow A
\end{align*}という関係が成り立ちます。
\end{equation*}が\(A\)と論理的に同値であることを示します。実際、\begin{eqnarray*}\left( A\wedge B\right) \vee \left( A\wedge \lnot B\right) &\Leftrightarrow
&A\wedge \left( B\vee \lnot B\right) \quad \because \text{分配律} \\
&\Leftrightarrow &A\wedge \top \quad \because \text{排中律}
\\
&\Leftrightarrow &A
\end{eqnarray*}となるため、証明が完了しました。
\end{equation*}が\(A\)と論理的に同値であることを示します。実際、\begin{eqnarray*}\left( A\vee B\right) \wedge \left( A\vee \lnot B\right) &\Leftrightarrow
&A\vee \left( B\wedge \lnot B\right) \quad \because \text{分配律} \\
&\Leftrightarrow &A\vee \bot \quad \because \text{矛盾律}
\\
&\Leftrightarrow &A
\end{eqnarray*}となるため、証明が完了しました。
演習問題
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\Leftrightarrow A\vee \lnot B
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\Leftrightarrow \lnot A
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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