命題論理における排中律

排中律

論理式\(A\)と恒真式\(\top \)をそれぞれ任意に選んだとき、以下の真理値表が得られます。

$$\begin{array}{cccc}
\hline
A & \lnot A & A\vee \lnot A & \top \\ \hline
1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

つまり、任意の解釈のもとで、論理式\(A\vee \lnot A\)と恒真式\(\top \)の値は一致するため、\begin{equation*}A\vee \lnot A\Leftrightarrow \top
\end{equation*}という関係が成り立ちます。これを排中律（law of excluded middle）と呼びます。

論理式\(A\)が任意に与えられたとき、排中律は\(A\vee \lnot A\)がそれぞれの解釈において真であること、すなわちそれぞれの解釈において\(A\)と\(\lnot A\)の少なくとも一方であることを意味しますが、\(A\)と\(\lnot A\)の真理値は常に逆転しているため、これはそれぞれの解釈において\(A\)が真もしくは偽のどちらか一方であることを意味します。ゆえに排中律とは、同一の論理式がそれぞれの解釈において真か偽のどちらか一方であり、真と偽の中間の状態は起こり得ないという主張です。そのような意味において、この主張は排中律と呼ばれます。

排中律の妥当性：ファジィ理論

リンゴは熟すと色が緑から赤へ変化します。今、目の前に熟し始めたリンゴがあり、表面の大部分は緑ですが一部分は赤です。このとき、命題変数\(P\)を、\begin{equation*}P:\text{このリンゴは赤い}
\end{equation*}とおくと、その否定は、\begin{equation*}
\lnot P:\text{このリンゴは赤くない}
\end{equation*}となります。このリンゴの表面の大部分は緑色であるため、このリンゴは赤であるとは言えません。つまり、\(P\)は偽です。一方、このリンゴの表面には赤い部分があるため、このリンゴが赤くないとも言えません。つまり、\(\lnot P\)も偽です。したがって、排中律が成り立たなくなってしまいます。

このような問題を解決するアプローチの1つは、命題変数の意味を厳密に定めるという方法です。先の問題は、リンゴをある角度から見れば赤であり、別の角度から見れば緑であることに起因しているため、リンゴを見る角度を固定した上で、\begin{equation*}
P:\text{このリンゴをここから見ると赤い}
\end{equation*}とすれば\(P\)と\(\lnot P\)の一方は真で他方は偽になるため、排中律は成り立ちます。

もう一つのアプローチは、真理値を\(0\)と\(1\)の2種類に限定せず、\(0\)から\(1\)までの範囲の値をとるものとみなした上で、否定\(\lnot \)は入力した論理値を\(1\)から引いて得られる値を返し、論理積\(\wedge \)は入力した2つの論理値の最小値を返し、論理和\(\vee \)は入力した2つの論理値の最大値を返すというルールを採用する方法です。これをファジィ理論（fuzzy logic）と呼びます。命題関数\(P\)を先ほどと同様に、\begin{equation*}P:\text{このリンゴは赤い}
\end{equation*}とおくとき、命題理論において\(P\)が取り得る値は\(0\)と\(1\)の2通りだけであるため、「リンゴが赤い」と「リンゴが赤くない」という離散的な2つの状態しか扱うことができません。一方、ファジィ理論では「リンゴの大部分が赤い」ことを、例えば、\(P\)の真理値は\(0.8\)である、などと表現します。また、\begin{equation*}Q:\text{このリンゴは緑である}
\end{equation*}という命題変数\(Q\)を導入し、「リンゴはわずかに緑」であることを、例えば、\(Q\)の真理値が\(0.3\)である、などと表現します。このとき、例えば、否定\begin{equation*}\lnot P\text{：このリンゴは赤ではない}
\end{equation*}の真理値として、\(P\)の真理値\(0.8\)を\(1\)から引いて得られる値\(0.2\)を採用し、論理積\begin{equation*}P\wedge Q:\text{このリンゴは赤かつ緑である}
\end{equation*}の真理値として、\(0.8\)と\(0.3\)の間の最小値である\(0.3\)を採用し、論理和\begin{equation*}P\vee Q:\text{このリンゴは赤または緑である}
\end{equation*}の真理値として、\(0.8\)と\(0.3\)の間の最大値である\(0.8\)を採用するということです。

排中律の妥当性：述語論理

排中律の妥当性に関連して、イギリスの哲学者であるバートランド・ラッセル（Bertrand Russell）は以下の主張\begin{equation*}
P:\text{The present king of France is bald}
\end{equation*}を提示しました。日本語に訳すと、\begin{equation*}
P:\text{現在のフランス国王はハゲである}
\end{equation*}となります。

現在、フランスでは王政を採用していなため国王がいません。したがって、この主張\(P\)は真であるとは思えず、ゆえに偽となります。一方、その否定である、\begin{equation*}\lnot P:\text{現在のフランス国王はハゲではない}
\end{equation*}について考えてみると、これも先と同じ理由により偽であるように思われます。\(P\)と\(\lnot P\)がともに偽になるため、排中律が成り立たなくなってしまいます。

このような問題を解決するアプローチの1つは述語論理を使うというものです。述語論理については場を改めて解説しますので、それを学んでから以下の解説を読み返してください。すべての人間を値として取り得る変数\(x\in X\)に関する命題関数を、\begin{eqnarray*}P\left( x\right) &:&x\text{はフランス国王である} \\
Q\left( x\right) &:&x\text{はハゲである}
\end{eqnarray*}とそれぞれ定義します。このとき、「現在のフランス国王はハゲである」という主張は、\begin{equation*}
\forall x\in X:\left( P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}という全称命題として定式化できます。これを論理式\(A\)と呼びましょう。現在、フランス国王は存在しないため、任意の人間\(x\)について\(P\left( x\right) \)は偽です。したがって、上の全称命題、すなわち論理式\(A\)は真です。一方、論理式\(A\)の否定\(\lnot A\)に相当する「現在のフランス国王はハゲではない」という主張は、上の全称命題の否定に相当する、\begin{equation*}\exists x\in X:\left( P\left( x\right) \wedge \lnot Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}という存在命題として定式化できます。現在、フランス国王は存在しないため、\(P\left( x\right) \)が真になるような人間\(x\)は存在しません。したがって、上の存在命題、すなわち論理式\(\lnot A\)は偽です。論理式\(A\)が真でその否定\(\lnot A\)が偽であるため、この結果は排中律と整合的です。

演習問題