排中律

論理式\(A\)と恒真式\(\top \)をそれぞれ任意に選んだとき、以下の恒真式\begin{equation*}A\vee \lnot A\Leftrightarrow \top
\end{equation*}が成り立ちます。これを排中律（law of excluded middle）と呼びます。

論理式\(A\)を任意に選んだとき、排中律は論理式\(A\vee \lnot A\)の値が任意の解釈において真であると主張しています。論理和の定義より、これは\(A\)と\(\lnot A\)の少なくとも一方が真であることを意味しますが、\(A\)と\(\lnot A\)の真理値は常に逆転しているため、これは\(A\)が真または偽のどちらか一方であることを意味します。排中律とは、同一の論理式がそれぞれの解釈において真または偽のどちらか一方であり、真と偽の中間の状態は起こり得ないという主張です。そのような意味において、この主張は排中律と呼ばれます。

排中律の妥当性：ファジィ理論

リンゴは熟すと色が緑から赤へ変化します。今、目の前に熟し始めたリンゴがあり、表面の大部分は緑ですが一部分は赤です。このとき、命題変数\(P\)を、\begin{equation*}P:\text{このリンゴは赤い}
\end{equation*}とおくと、その否定は、\begin{equation*}
\lnot P:\text{このリンゴは赤くない}
\end{equation*}となります。このリンゴの表面の大部分は緑色であるため、このリンゴは赤であるとは言えません。つまり、\(P\)は偽です。一方、このリンゴの表面には赤い部分があるため、このリンゴが赤くないとも言えません。つまり、\(\lnot P\)も偽です。したがって、排中律が成り立たなくなってしまいます。

このような問題を解決するアプローチの1つは、命題変数の意味を厳密に定めるという方法です。先の問題は、リンゴをある角度から見れば赤であり、別の角度から見れば緑であることに起因しているため、リンゴを見る角度を固定した上で、\begin{equation*}
P:\text{このリンゴをここから見ると赤い}
\end{equation*}とすれば\(P\)と\(\lnot P\)の一方は真で他方は偽になるため、排中律は成り立ちます。

もう一つのアプローチは、真理値を\(0\)と\(1\)の2種類に限定せず、\(0\)から\(1\)までの範囲の値をとるものとみなした上で、否定\(\lnot \)は入力した論理値を\(1\)から引いて得られる値を返し、論理積\(\wedge \)は入力した2つの論理値の最小値を返し、論理和\(\vee \)は入力した2つの論理値の最大値を返すというルールを採用する方法です。これをファジィ理論（fuzzy logic）と呼びます。命題関数\(P\)を先ほどと同様に、\begin{equation*}P:\text{このリンゴは赤い}
\end{equation*}とおくとき、命題理論において\(P\)が取り得る値は\(0\)と\(1\)の2通りだけであるため、「リンゴが赤い」と「リンゴが赤くない」という離散的な2つの状態しか扱うことができません。一方、ファジィ理論では「リンゴの大部分が赤い」ことを、例えば、\(P\)の真理値は\(0.8\)である、などと表現します。また、\begin{equation*}Q:\text{このリンゴは緑である}
\end{equation*}という命題変数\(Q\)を導入し、「リンゴはわずかに緑」であることを、例えば、\(Q\)の真理値が\(0.3\)である、などと表現します。このとき、例えば、否定\begin{equation*}\lnot P\text{：このリンゴは赤ではない}
\end{equation*}の真理値として、\(P\)の真理値\(0.8\)を\(1\)から引いて得られる値\(0.2\)を採用し、論理積\begin{equation*}P\wedge Q:\text{このリンゴは赤かつ緑である}
\end{equation*}の真理値として、\(0.8\)と\(0.3\)の間の最小値である\(0.3\)を採用し、論理和\begin{equation*}P\vee Q:\text{このリンゴは赤または緑である}
\end{equation*}の真理値として、\(0.8\)と\(0.3\)の間の最大値である\(0.8\)を採用するということです。

排中律の妥当性：述語論理

排中律の妥当性に関連して、イギリスの哲学者であるバートランド・ラッセル（Bertrand Russell）は以下の主張\begin{equation*}
P:\text{The present king of France is bald}
\end{equation*}を提示しました。日本語に訳すと、\begin{equation*}
P:\text{現在のフランス国王はハゲである}
\end{equation*}となります。

現在、フランスでは王政が採用されていないため、現在のフランス国王は存在しません。そのため、この文を日常言語のまま読むと、存在しない人物について何かを述べているように見え、真偽の判定に違和感が生じます。

しかし、命題論理では、命題変数\(P\)の内部構造までは分析しません。いったん\(P\)を1つの命題変数として扱うならば、排中律により、\begin{equation*}P\vee \lnot P
\end{equation*}は常に真です。命題論理が述べているのは、\(P\)が真であっても偽であっても、\(P\vee \lnot P\)は必ず真になるという形式的事実です。

したがって、「現在のフランス国王はハゲである」という文を命題論理の範囲で扱う限り、それは真または偽のどちらかである命題変数\(P\)として扱われ、排中律は満たされます。

一方、この文の違和感は、命題論理だけでは「現在のフランス国王が存在するのか」「存在するとすれば一人なのか」「その人物がハゲであるのか」といった内部構造を表現できないことに由来します。この内部構造を分析するためには、命題論理の拡張理論である述語論理を用いる必要があります。述語論理では、先の「現在のフランス国王はハゲである」という文を、内部構造を踏まえた形で定式化することができます。さらに、そのような定式化は排中律とも整合的です。

つまり、先のラッセルによる例は排中律の反例ではありません。むしろ、日常言語の文を命題論理だけで扱う場合の限界を示す例であるとともに、述語論理によって文の内部構造をより正確に分析できることを示す例でもあります。述語論理については後述します。

演習問題