交換律
論理式\(A,B\)を任意に選んだとき、論理積\(\wedge \)と論理和\(\vee \)に関して以下の恒真式\begin{align*}& \left( a\right) \ A\wedge B\Leftrightarrow B\wedge A \\
& \left( b\right) \ A\vee B\Leftrightarrow B\vee A
\end{align*}が成り立ちます。つまり、論理式どうしの論理和や論理積の値は、論理式の順序を入れ替えても変わらないということです。論理積と論理和が満たすこの性質を交換律（commutative law）と呼びます。
& \left( b\right) \ A\vee B\Leftrightarrow B\vee A
\end{align*}が成り立つ。
& \left( b\right) \ P\vee Q\Leftrightarrow Q\vee P
\end{align*}がともに成り立ちます。
Q &\rightarrow &R
\end{eqnarray*}はともに論理式であるため、交換律より、\begin{align*}
& \left( a\right) \ \left( P\rightarrow Q\right) \wedge \left( Q\rightarrow
R\right) \Leftrightarrow \left( Q\rightarrow R\right) \wedge \left(
P\rightarrow Q\right) \\
& \left( b\right) \ \left( P\rightarrow Q\right) \vee \left( Q\rightarrow
R\right) \Leftrightarrow \left( Q\rightarrow R\right) \vee \left(
P\rightarrow Q\right)
\end{align*}がともに成り立ちます。
&&\lnot R
\end{eqnarray*}はともに論理式であるため、交換律より、\begin{align*}
& \left( a\right) \ \left( P\leftrightarrow Q\right) \wedge \lnot
R\Leftrightarrow \lnot R\wedge \left( P\leftrightarrow Q\right) \\
& \left( b\right) \ \left( P\leftrightarrow Q\right) \vee \lnot
R\Leftrightarrow \lnot R\vee \left( P\leftrightarrow Q\right)
\end{align*}がともに成り立ちます。
交換律の一般化
3つの論理式\(A,B,C\)が任意に与えられたとき、\(\wedge \)に関する交換律を繰り返し適用することにより、\begin{eqnarray*}\left( A\wedge B\right) \wedge C &\Leftrightarrow &\left( B\wedge A\right)
\wedge C\quad \because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &C\wedge \left( B\wedge A\right) \quad \because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &C\wedge \left( A\wedge B\right) \quad \because \text{交換律}
\end{eqnarray*}を得ます。つまり、3つの論理式\(A,B,C\)の論理積をとる場合、括弧が指定するように、\(A\)と\(B\)に優先的に論理積を作用させる形で同値変形を行う限りにおいて、論理式の順序を自由に入れ替えても論理式の値は変わりません。同様に、\begin{eqnarray*}A\wedge \left( B\wedge C\right) &\Leftrightarrow &A\wedge \left( C\wedge
B\right) \quad \because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &\left( C\wedge B\right) \wedge A\quad \because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &\left( B\wedge C\right) \wedge A\quad \because \text{交換律}
\end{eqnarray*}を得ます。つまり、3つの論理式\(A,B,C\)の論理積をとる場合、括弧が指定するように、\(B\)と\(C\)に優先的に論理積を作用させる形で同値変形を行う限りにおいて、論理式の順序を自由に入れ替えても論理式の値は変わりません。ちなみに、後ほど示す結合律と呼ばれる性質を踏まえると、\begin{equation*}\left( A\wedge B\right) \wedge C\Leftrightarrow A\wedge \left( B\wedge
C\right)
\end{equation*}を得るため、以上の8つの論理式がすべて論理的に同値であることもまた保証されます。
論理和についても同様に考えます。また、4つ以上の論理式についても同様に考えます。
有限\(n\)個の論理式\(A_{1},\cdots,A_{n}\)の論理積が与えられた場合、その論理式において括弧が指定する順番で論理積を作用させる限りにおいて、論理式\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)の順番を自由に入れ替えても論理式の値は変わらない。また、有限\(n\)個の論理式\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)の論理和が与えられた場合、その論理式において括弧が指定する順番で論理和を作用させる限りにおいて、論理式\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)の順番を自由に入れ替えても論理式の値は変わらない。
演習問題
\end{equation*}と表現できますが、これは成り立つでしょうか。理由とともに答えてください。
\end{equation*}と表現できますが、これは成り立つでしょうか。理由とともに答えてください。
\end{equation*}と表現できますが、これは成り立つでしょうか。理由とともに答えてください。
\end{equation*}が与えられているものとします。交換律を認める場合、どのような結論を導き出せるでしょうか。議論してください。
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