論理式どうしの論理和や論理積の値は、論理式の順序を入れ替えても変わりません。論理積と論理和が満たすこの性質を交換律と呼びます。
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交換律

論理式\(A,B\)を任意に選んだとき、以下の真理値表が得られます。
$$\begin{array}{cccccc}
\hline
A & B & A\wedge B & B\wedge A & A\vee B & B\vee A \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

表:交換律

つまり、任意の解釈のもとで\(A\wedge B\)と\(B\wedge A\)の値は一致し、やはり任意の解釈のもとで\(A\vee B\)と\(B\vee A\)の値は一致するため、\begin{align*}
& \left( a\right) \ A\wedge B\Leftrightarrow B\wedge A \\
& \left( b\right) \ A\vee B\Leftrightarrow B\vee A
\end{align*}がともに成り立ちます。論理式どうしの論理和や論理積の値は、論理式の順序を入れ替えても変わらないということです。論理積と論理和が満たすこの性質を交換律(commutative law)と呼びます。

命題(交換律)
任意の論理式\(A,B\)に対して以下が成り立つ。\begin{align*}
& \left( a\right) \ A\wedge B\Leftrightarrow B\wedge A \\
& \left( b\right) \ A\vee B\Leftrightarrow B\vee A
\end{align*}
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例(交換律)
任意の命題変数\(P,Q,R\)について、\begin{eqnarray*}
P\vee \left( Q\vee R\right) &\Leftrightarrow &P\vee \left( R\vee Q\right)
\quad \because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &\left( R\vee Q\right) \vee P\quad \because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &\left( Q\vee R\right) \vee P\quad \because \text{交換律}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例(交換律)
任意の命題変数\(P,Q,R\)について、\begin{eqnarray*}
P\wedge \left( Q\vee R\right) &\Leftrightarrow &P\wedge \left( R\vee
Q\right) \quad \because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &\left( R\vee Q\right) \wedge P\quad \because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &\left( Q\vee R\right) \wedge P\quad \because \text{交換律}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

他の論理演算に関する交換律

排他的論理和\(\veebar \)に関する交換律は、任意の論理式\(A,B\)に対して、\begin{equation*}
A\veebar B\ \Leftrightarrow \ B\veebar A
\end{equation*}が成り立つものとして定義されますが、以下の真理値表より、これは成り立ちます。
$$\begin{array}{cccc}
\hline
A & B & A\veebar B & B\veebar A \\ \hline
1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

表:交換律

含意\(\rightarrow \)に関する交換律は、任意の論理式\(A,B\)に対して、\begin{equation*}
A\rightarrow B\ \Leftrightarrow \ B\rightarrow A
\end{equation*}が成り立つものとして定義されますが、これは成り立ちません。実際、\(\rightarrow \)の定義より、\(A\)の値が\(0\)で\(B\)の値が\(1\)のとき、\(A\rightarrow B\)の値は\(1\)ですが、\(B\rightarrow A\)の値は\(0\)です。

同等\(\leftrightarrow \)に関する交換律は、任意の\(A,B\)に対して、\begin{equation*}
A\leftrightarrow B\ \Leftrightarrow \ B\leftrightarrow A
\end{equation*}が成り立つものとして定義されますが、以下の真理値表より、これは成り立ちます。
$$\begin{array}{cccc}
\hline
A & B & A\leftrightarrow B & B\leftrightarrow A \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

表:交換律

次回は結合律について学びます。
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