論理式どうしの論理和や論理積の値は、論理式の順序を入れ替えても変わりません。論理積と論理和が満たすこの性質を交換律と呼びます。

2018年11月17日:公開

交換律

論理式どうしの論理和や論理積の値は、論理式の順序を入れ替えても変わりません。論理積と論理和が満たすこの性質を交換律(commutative law)と呼びます。

命題(交換律)
任意の論理式\(A,B\)に対して以下が成り立つ。\begin{align*}
& \left( a\right) \ A\wedge B\Leftrightarrow B\wedge A \\
& \left( b\right) \ A\vee B\Leftrightarrow B\vee A
\end{align*}
証明を見る(プレミアム会員限定)

論理式\(A,B\)の論理積の扱う場合には、交換律より、それを\(A\wedge B\)と\(B\wedge A\)のどちらで定式化しても構わないことになります。同様に、論理式\(A,B\)の論理和は\(A\wedge B\)と\(B\wedge A\)のどちらで定式化しても構いません。

例(交換律)
命題変数\(P,Q,R\)について、\(\wedge ,\vee \)に関する交換律より、\begin{eqnarray*}
P\wedge \left( Q\vee R\right) &\Leftrightarrow &P\wedge \left( R\vee Q\right) \\
&\Leftrightarrow &\left( R\vee Q\right) \wedge P \\
&\Leftrightarrow &\left( Q\vee R\right) \wedge P
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

次回は結合律について学びます。
次へ進む 演習問題(プレミアム会員限定)