命題論理における分配律

分配律

これまで見てきた論理演算の性質はいずれも否定、論理積、論理和などの論理演算がそれぞれ単独で満たす性質でしたが、以降では複数の異なる論理演算の間に成り立つ関係について考えます。

論理式\(A,B,C\)を任意に選んだとき、以下の真理値表が得られます。

$$\begin{array}{cccccccc}\hline
A & B & C & B\vee C & A\wedge (B\vee C) & A\wedge B & A\wedge C
& (A\wedge B)\vee (A\wedge C) \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

つまり、任意の解釈のもとで\(A\wedge (B\vee C)\)と\((A\wedge B)\vee(A\wedge C)\)の値は一致するため、\begin{equation*}\left( a\right) \ A\wedge (B\vee C)\Leftrightarrow (A\wedge B)\vee (A\wedge
C)
\end{equation*}が成り立ちます。\(\left(a\right) \)において\(\wedge \)と\(\vee \)を置き換えると、\begin{equation*}\left( b\right) \ A\vee (B\wedge C)\Leftrightarrow (A\vee B)\wedge (A\vee C)
\end{equation*}を得ますが、これが成り立つことも同様にして示されます（演習問題にします）。論理積と論理和の間に成立するこのような性質を分配律（distributive law）と呼びます。

後ろからの分配

分配律に加えて交換律を踏まえると、任意の論理式\(A,B,C\)に対して、\begin{align*}\left( A\vee B\right) \wedge C& \Leftrightarrow C\wedge \left( A\vee
B\right) \quad \because \text{交換律} \\
& \Leftrightarrow \left( C\wedge A\right) \vee \left( C\wedge B\right) \quad
\because \text{分配律} \\
& \Leftrightarrow \left( A\wedge C\right) \vee \left( B\wedge C\right) \quad
\because \text{交換律}
\end{align*}が成り立ちます。つまり、\begin{equation*}
\left( A\vee B\right) \wedge C\Leftrightarrow \left( A\wedge C\right) \vee
\left( B\wedge C\right)
\end{equation*}という形で、後ろからの分配が可能になります。同様に、\begin{equation*}
\left( A\wedge B\right) \vee C\Leftrightarrow \left( A\vee C\right) \wedge
\left( B\vee C\right)
\end{equation*}もまた成り立ちます。

演習問題

次回は吸収律について学びます。