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PRODUCER THEORY

生産者理論

OVERVIEW

生産者理論とは何か?

仮にすべての生産者が好きなものを好きなだけ生産できるならば、生産者が何をどれくらい生産するかという問題をわざわざ取り上げる必要はありません。実際には世の中に存在する資源は有限であり、加えて生産者は技術水準や資本をはじめとする様々な制約に直面しているため、好きなものを好きなだけ生産できるわけではありません。だからこそ生産者が何をどれくらい生産するのかという問題について考える意味があります。生産者理論は、様々な制約に直面する生産者がどのような意思決定を行うかを明らかにしようとします。
TABLE OF CONTENTS

目次

SECTION 1

生産者の技術

消費者は様々な制約に直面しているため、好きなものを好きなだけ生産できるわけではありません。そこで、生産者が選択可能な選択肢からなる集合を生産集合や変換関数、または生産関数と呼ばれる概念として定式化します。

生産集合

現実の生産者は様々な制約に直面しているため、商品空間に属するすべての生産計画を選択できるわけではありません。そこで、生産者が選択可能な生産計画からなる商品空間の部分集合を生産集合と呼びます。

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効率生産集合

生産者が技術的に選択可能な2つの生産ベクトルが与えられたとき、一方が他方よりも、より少ない投入でより多くを生産できるのであれば、それは効率的であると言えます。

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変換関数

生産集合は生産者が技術的に選択可能なすべての生産ベクトルからなる集合であるため、生産者の技術は生産集合の形状として表現されます。一方、生産者の技術を変換関数と呼ばれる関数を用いて表現することもできます。

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限界変形率

変換フロンティア上の生産ベクトルを出発点として、商品iの純産出量を1単位変化させてもなお、変換フロンティア上に留まるために変化させる必要のある商品jの純産出量を、その生産ベクトルにおける商品iの商品jで測った限界変形率と呼びます。

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生産集合の非空性

生産者は生産集合に属する生産ベクトルを選ぶため、仮に生産集合が空集合であるならば、生産者がどのような選択を行うかという問題を検討する余地がなくなってしまいます。

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生産集合の連続性

生産集合が閉集合であるという仮定を連続性の仮定と呼びます。変換関数が連続関数である場合には生産集合は連続性を満たします。

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生産集合の操業停止可能性

生産集合がゼロベクトルを要素として持つ場合、生産集合は商業停止可能性を満たすと言います。これは、生産者が投入や産出を一切行わないことが可能であることを意味します。

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生産集合の凸性

生産者理論では生産集合が凸集合であることを仮定することがあります。これは変換関数が準凸関数であることを意味します。

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生産集合の中立性

何らかの生産物の純産出量を増やそうとする行為が技術的に不可能であるような局面が必ず到来する場合、生産集合は中立性を満たすと言います。

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SECTION 2

利潤最大化問題

生産者理論では、生産者は自身が選択可能な生産ベクトルの中から利潤を最大化するものを選ぶものと仮定します。このような仮定のもとで、生産者が直面する問題を利潤最大化問題として定式化します。

利潤最大化問題

生産者理論では、生産者は自身が選択可能な生産ベクトルの中から自身が得られる利潤を最大化するようなものを選ぶものと仮定します。以上の仮定のもと、生産者が直面する問題を利潤最大化問題と呼ばれる最適化問題として定式化します。

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利潤最大化問題の制約条件

利潤最大化問題にはそのままではベルジュの最大値定理を適用できないため、なるべく一般性を失わない形で、利潤最大化問題をベルジュの最大値定理が適用可能な形へ変換します。

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純供給関数

それぞれの価格ベクトルに対して、そこでの利潤最大化問題の解に相当する生産ベクトルを1つずつ定める関数を供給関数と呼びます。供給関数が存在するための条件について解説します。

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純供給関数の0次同次性

供給対応(供給関数)は価格ベクトルに関して0次同次です。つまり、すべての商品の価格を同じ割合で増加させても利潤最大化問題の解は変化しません。

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供給の法則

生産者が利潤最大化の原理にもとづいて行動をする場合、ある商品の価格だけが上昇した場合にはその商品の純供給は減少しません。これを供給の法則と呼びます。

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利潤最大化問題の解法

クーン・タッカー条件を満たす生産ベクトルが利潤最大化問題の解であるための条件を明らかにした上で、利潤最大化問題の解を求める手法について解説します。

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利潤関数

価格ベクトルを入力とし、そこでの利潤最大化問題の解において生産者が得る利潤を出力する関数を利潤関数と呼びます。

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SECTION 3

1生産物モデル

生産者にとって生産要素と生産物を事前に区別できる場合には、1生産物モデルと呼ばれるモデルを用いて分析を行うことができます。

1生産物モデルにおける生産集合

分析対象となる生産者にとって生産要素と生産物を事前に区別できる場合には、1生産物モデルと呼ばれるモデルを利用します。1生産物モデルにおける生産者の技術を生産集合として定式化します。

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1生産物モデルにおける効率生産集合

1生産物モデルにおいて生産者が技術的に選択可能な2つの生産ベクトルが与えられたとき、一方が他方よりも、より少ない投入でより多くを生産できるのであれば、それは効率的であると言えます。

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生産関数

1生産物モデルにおいて生産者の技術を生産集合と呼ばれる概念を用いて表現しましたが、生産者の技術を生産関数と呼ばれる関数を用いて表現することもできます。

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SECTION 4

1生産物モデルにおける利潤最大化

1生産物モデルにおける利潤最大化問題について分析します。

1生産物モデルにおけるホテリングの補題

1生産物モデルにおいてもホテリングの補題は成立します。つまり、利潤関数を生産物の価格に関して偏微分すれば供給関数が得られ、利潤関数を生産要素の価格に関して偏微分すれば要素需要関数が得られます。

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SECTION 5

1生産物モデルにおける費用最小化

1生産物モデルにおける費用最小化問題について分析します。

1生産物モデルにおける費用最小化問題

N生産要素1生産物モデルにおいて要素価格ベクトルと目標産出量が与えられたとき、目標産出量を達成する投入ベクトルの中から費用を最小化するようなものを特定する最適化問題を費用最小化問題と呼びます。

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制約付き要素需要関数の0次同次性

1生産物モデルにおいて、制約付き要素需要関数は要素価格ベクトルに関して0次同次性を満たします。つまり、すべての生産要素の価格が等しい割合で変化した場合、その前後において費用最小化問題の解は変化しません。

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SECTION 5

分析例

代表的な生産関数のもとでの利潤最大化問題や費用最小化問題について解説します。

線型生産関数

線型生産関数と呼ばれるクラスの生産関数を定義するとともに、その基本的な性質について解説します。

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RELATED KNOWLEDGE

関連知識

REQUIRED KNOWLEDGE

必須知識

以下の分野の知識があると本節を問題なく読み進めることができます。

集合

集合に関するテキストと演習問題です。集合、写像、同値関係、集合の濃度などについて解説します。

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微分積分

微分は「変化」に関する学問です。微分を学べば物事や現象の「変化」を定量的に記述できるようになるだけでなく、変化がもたらす影響を評価したり、変化が起きる場での最適な状態を特定できるようになります。

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対応

集合のそれぞれの要素に対して別の集合の部分集合を1つずつ定める規則を対応と呼びます。ここでは対応、対応による像、逆像(上逆像・下逆像)、逆対応、対応の連続性(上連続性・下連続性)、ベルジュの最大値定理、および不動点定理などについて解説します。

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ADVANCED KNOWLEDGE

発展知識

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