レオンチェフ型生産関数のもとでの利潤最大化問題
\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおける生産者の技術がレオンチェフ型生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)によって表現されているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの投入ベクトル\(x=\left(x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値は、\begin{equation*}f\left( x\right) =\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\cdots ,\alpha
_{N}x_{N}\right\}
\end{equation*}です。ただし、\(\alpha _{1},\cdots,\alpha _{N}\in \mathbb{R} \)は定数であり、以下の条件\begin{equation*}\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right)
\end{equation*}を満たします。
レオンチェフ型生産関数\(f\)が与えられたとき、生産要素と生産物の価格\(\left( w,p\right) =\left( w_{1},\cdots,w_{N},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)のもとでの利潤最大化問題は、
$$\begin{array}{cl}\max\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N},y\right) } & py-w\cdot x \\
s.t. & \min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\cdots ,\alpha _{N}x_{N}\right\} \geq y \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0 \\
& y\geq 0
\end{array}$$
となります。
_{2}x_{2}\right\}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(\alpha _{1}>0\)かつ\(\alpha _{2}>0\)です。生産要素と生産物の価格\(\left( w_{1},w_{2},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{3}\)のもとでの利潤最大化問題は、
$$\begin{array}{cl}\max\limits_{\left( x_{1},x_{2},y\right) } & py-w_{1}x_{1}-w_{2}x_{2} \\
s.t. & \min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\alpha _{2}x_{2}\right\} \geq y \\
& x_{1}\geq 0 \\
& x_{2}\geq 0 \\
& y\geq 0
\end{array}$$
となります。
レオンチェフ型生産関数のもとでの要素需要対応と供給対応
レオンチェフ型生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\cdots ,\alpha
_{N}x_{N}\right\}
\end{equation*}を定めるため、少なくとも1つの生産要素の投入量が\(x_{i}=0\)である場合には\(f\left( 0\right) =0\)となり、したがって\(y=0\)となります。すると利潤は\(py-w\cdot x=-w\cdot x\)となるため、何らかの生産要素を投入すると利潤が負になってしまいます。そこで以降では\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上の投入ベクトル\(x\)のみを比較対象とします。加えて、レオンチェフ型生産関数は連続であるため、\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)のもとでの利潤最大化問題を、
$$\begin{array}{cl}\max\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N},y\right) } & py-w\cdot x \\
s.t. & \min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\cdots ,\alpha _{N}x_{N}\right\} =y
\\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0 \\
& y\geq 0
\end{array}$$
と表現しても一般性は失われません。この問題を解くことにより以下が得られます。
_{N}x_{N}\right\}
\end{equation*}を定める。ただし、\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。この場合、供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して、\begin{equation*}Y^{\ast }\left( w,p\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\phi & \left( if\ p>\sum\limits_{n=1}^{N}\left( \dfrac{w_{n}}{\alpha _{n}}\right) \right) \\
\lbrack 0,+\infty ) & \left( if\ p=\sum\limits_{n=1}^{N}\left( \dfrac{w_{n}}{\alpha _{n}}\right) \right) \\
\left\{ 0\right\} & \left( if\ p<\sum\limits_{n=1}^{N}\left( \dfrac{w_{n}}{\alpha _{n}}\right) \right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定め、商品\(n\in \left\{ 1,\cdots,N\right\} \)の要素需要対応\(X_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して、\begin{equation*}X_{n}^{\ast }\left( w,p\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\phi & \left( if\ p>\sum\limits_{n=1}^{N}\left( \dfrac{w_{n}}{\alpha _{n}}\right) \right) \\
\left\{ \dfrac{y}{\alpha _{n}}\ |\ y\in Y^{\ast }\left( w,p\right) \right\}
& \left( if\ p=\sum\limits_{n=1}^{N}\left( \dfrac{w_{n}}{\alpha _{n}}\right) \right) \\
\left\{ 0\right\} & \left( if\ p<\sum\limits_{n=1}^{N}\left( \dfrac{w_{n}}{\alpha _{n}}\right) \right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定める。
_{2}x_{2}\right\}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(\alpha _{1}>0\)かつ\(\alpha _{2}>0\)です。先の命題より、供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{3}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left(w_{1},w_{2},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{3}\)に対して、\begin{equation*}Y^{\ast }\left( w_{1},w_{2},p\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\phi & \left( if\ p>\dfrac{w_{1}}{\alpha _{1}}+\dfrac{w_{2}}{\alpha _{2}}\right) \\
\lbrack 0,+\infty ) & \left( if\ p=\dfrac{w_{1}}{\alpha _{1}}+\dfrac{w_{2}}{\alpha _{2}}\right) \\
\left\{ 0\right\} & \left( if\ p<\dfrac{w_{1}}{\alpha _{1}}+\dfrac{w_{2}}{\alpha _{2}}\right)\end{array}\right.
\end{equation*}定め、商品\(n\ \left( =1,2\right) \)の要素需要対応\(X_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{3}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left(w_{1},w_{2},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{3}\)に対して、\begin{equation*}X_{n}^{\ast }\left( w_{1},w_{2},p\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\phi & \left( if\ p>\dfrac{w_{1}}{\alpha _{1}}+\dfrac{w_{2}}{\alpha _{2}}\right) \\
\left\{ \dfrac{y}{\alpha _{n}}\ |\ y\in Y^{\ast }\left( w_{1},w_{2},p\right)
\right\} & \left( if\ p=\dfrac{w_{1}}{\alpha _{1}}+\dfrac{w_{2}}{\alpha _{2}}\right) \\
\left\{ 0\right\} & \left( if\ p<\dfrac{w_{1}}{\alpha _{1}}+\dfrac{w_{2}}{\alpha _{2}}\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。
レオンチェフ型生産関数のもとでの利潤関数
生産者の技術がレオンチェフ型生産関数として表される場合の要素需要対応と供給対応が明らかになりました。その結果を踏まえると利潤関数が以下のように特定されます。
_{N}x_{N}\right\}
\end{equation*}を定める。ただし、\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。この場合、利潤関数\(\pi:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\supset X\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left( w,p\right) \in X \)に対して、\begin{equation*}\pi \left( w,p\right) =0
\end{equation*}を定める。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\ |\ p\leq \sum\limits_{n=1}^{N}\left( \dfrac{w_{n}}{\alpha _{n}}\right) \right\}
\end{equation*}である。
_{2}x_{2}\right\}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(\alpha _{1}>0\)かつ\(\alpha _{2}>0\)です。先の命題より、利潤関数\(\pi :\mathbb{R} _{++}^{3}\supset X\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left(w_{1},w_{2},p\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}\pi \left( w_{1},w_{2},p\right) =0
\end{equation*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( w_{1},w_{2},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{3}\ |\ p\leq \dfrac{w_{1}}{\alpha _{1}}+\dfrac{w_{2}}{\alpha _{2}}\right\}
\end{equation*}です。
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