生産集合の操業停止可能性

前節では、生産集合が閉集合であるという仮定について学びました。閉性は、生産集合が極限操作に対して安定であることを表す数学的な性質であり、生産技術を分析するうえで重要な役割を果たします。

しかし、生産者理論では、生産集合が満たすべき性質として、閉性のような数学的な性質だけでなく、生産技術の特徴を表す経済学的な性質についても仮定します。その一つが操業停止可能性（shutdown possibility）です。企業は、利潤が見込めない場合や生産を行う必要がない場合には、生産活動を行わず、操業を停止することができます。つまり、企業には「何も生産しない」という選択肢も存在します。

操業停止可能性は、一見すると自明な仮定のように思えるかもしれません。しかし、この仮定を置くことにより、企業は利潤が負となる生産計画を選ぶ必要がなくなり、後に学ぶ利潤最大化問題においても重要な役割を果たします。

以下では、操業停止可能性の定義を与え、その経済学的な意味について詳しく考えていきます。

\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおける生産ベクトルは投入ベクトルと産出量の組\begin{equation*}\left( \boldsymbol{x},y\right) =\left( x_{1},\cdots ,x_{N},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。生産者が技術的に選択可能な生産ベクトルからなる集合は生産集合\begin{equation*}
Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。その上で、\(Y\)がゼロベクトルを要素として持つ場合には、すなわち、\begin{equation*}\left( \boldsymbol{0},0\right) \in Y
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(Y\)は操業停止可能性（shutdown possibility）を満たすと言います。操業停止可能性のもとでは\(Y\)がゼロベクトルを要素として持つため、\begin{equation*}Y\not=\phi
\end{equation*}もまた成り立ちます。操業停止可能性を満たす生産集合は非空であるということです。

ゼロベクトルはすべての生産要素の投入量がゼロであり、生産物の産出量もゼロであるような生産ベクトルに相当します。したがって、操業停止可能性の仮定は、生産者が投入や産出を一切行わないことが可能であることを意味します。

生産者が設備投資への投資など生産要素の購入契約を結んでおり、それを取り消すことができない場合などには操業停止可能性は成立しません。そのような場合、生産者は生産要素を得る対価として支払わなければならない費用を持ちますが、そのような費用をサンク費用（sunk cost）や埋没費用などと呼びます。長期分析では生産設備を処分できると考えることが多いため、サンク費用や固定的な投入を考慮しないモデルでは操業停止可能性は自然な仮定となります。

例（操業停止可能性）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{2}\)が下図のグレーの領域として描かれています。

\(\left( 0,0\right) \in Y\)が成立しているため\(Y\)は操業停止可能性を満たしています。

例（操業停止可能性）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{2}\)が下図のグレーの領域として描かれています。

\(\left( 0,0\right) \not\in Y\)であるため\(Y\)は操業停止可能性を満たしません。生産者にとって生産要素を\(x^{\prime }\)だけ投入することは決定事項であり、生産要素の投入量をそれよりも減らすことができないということです。

生産関数の性質としての操業停止可能性

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)が与えられたとき、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在する場合には、それぞれの投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\max P\left( \boldsymbol{x}\right) \\
&=&\max \left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y\right\}
\end{eqnarray*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
P\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}は\(\boldsymbol{x}\)の可能産出量集合です。

生産関数\(f\)が投入ベクトル\(\boldsymbol{0}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{0}\right) =0
\end{equation*}である場合には、生産集合\(Y\)が操業停止可能性を満たすことが保証されます。

先の命題の逆は成り立つとは限りません。実際、\(Y\)が操業停止可能性を満たす場合には、\begin{equation*}\left( \boldsymbol{0},0\right) \in Y
\end{equation*}であるため、生産関数\(f\)の定義より、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{0}\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立ちますが、このとき、\begin{equation*}
f\left( \boldsymbol{0}\right) =0
\end{equation*}は成り立つとは限らず、ゆえに、\begin{equation*}
f\left( \boldsymbol{0}\right) >0
\end{equation*}である事態が起こり得ます。以下の例より明らかです。

生産関数が\(f\left( \boldsymbol{0}\right) =0\)を満たす場合には生産集合\(Y\)が操業停止可能性を満たすことが明らかになりました。では、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{0}\right) >0
\end{equation*}の場合にも操業停止可能性が成り立つことを保証できるでしょうか。このような場合、操業停止可能性は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。

例（操業停止可能性）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{2}\)が下図のグレーの領域として描かれています。

明らかに\(f\left( 0\right) >0\)である一方で\(\left( 0,0\right) \not\in Y\)であるため\(Y\)は操業停止可能性を満たしません。

生産関数\(f\)が、\begin{equation}f\left( \boldsymbol{0}\right) >0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす状況において操業停止可能性が成り立つことを保証するためには、後に提示する無償廃棄可能性と呼ばれる仮定が必要です。無償廃棄可能性の仮定のもとでは、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N},\ \forall y\in \left[ 0,f\left( \boldsymbol{x}\right) \right] :\left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y
\end{equation*}が成り立つため、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}\left( \boldsymbol{0},0\right) \in Y
\end{equation*}が導かれ、操業停止可能性が得られます。

演習問題