生産集合が空集合でないことの意味
分析対象である生産者にとって、経済に存在する商品の中でも\(N\)種類の商品が生産要素であり、それらとは異なる\(1\)種類の商品が生産物である状況、すなわち\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルを想定します。\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおいて生産ベクトルは投入ベクトルと産出量の組\begin{equation*}\left( x,y\right) =\left( x_{1},\cdots ,x_{N},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。技術的な制約を踏まえた上で生産者がなおも選択可能な生産ベクトルからなる集合を生産集合\begin{equation*}
Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として定式化しました。生産者は生産集合に属する何らかの生産ベクトルを選びます。したがって、仮に生産集合が空集合であるならば、生産者がどのような選択を行うかという問題を検討する余地がなくなってしまいます。生産者行動を分析するためには、そもそも生産集合が空集合ではないこと、すなわち、\begin{equation*}
Y\not=\phi
\end{equation*}であることを保証する必要があるということです。
Y=\left\{ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ x_{1}+2x_{2}\geq y\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。例えば、生産ベクトル\(\left( 1,2,5\right)\in \mathbb{R} _{+}^{3}\)について、\begin{equation*}1+2\cdot 2=5
\end{equation*}が成り立ちますが、\(Y\)の定義より、これは、\begin{equation*}\left( 1,2,5\right) \in Y
\end{equation*}であることを意味します。したがって\(Y\)は非空です。
Y=\left\{ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}\geq y\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。例えば、生産ベクトル\(\left( 5,5,5\right)\in \mathbb{R} _{+}^{3}\)について、\begin{equation*}5^{\frac{1}{2}}5^{\frac{1}{2}}=5
\end{equation*}が成り立ちますが、\(Y\)の定義より、これは、\begin{equation*}\left( 5,5,5\right) \in Y
\end{equation*}であることを意味します。したがって\(Y\)は非空です。
生産関数の性質としての生産集合の非空性
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)が与えられたとき、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの投入ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\max \left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( x,y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}を値として定める関数として定義されます。生産関数\(f\)が存在する場合、生産集合\(Y\)が非空であることが保証されます。
Y=\left\{ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ x_{1}+2x_{2}\geq y\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。先に確認したように\(Y\)は非空です。加えて、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在し、これはそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\max \left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in Y\right\} \quad \because \text{生産集合の定義} \\
&=&\max \left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ x_{1}\geq 0\wedge x_{2}\geq 0\wedge x_{1}+2x_{2}\geq y\right\}
\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\max \left[ 0,x_{1}+2x_{2}\right] \\
&=&x_{1}+2x_{2}
\end{eqnarray*}を定めます。この結果は先の命題の主張と整合的です。
Y=\left\{ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}\geq y\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。先に確認したように\(Y\)は非空です。加えて、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在し、これはそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\max \left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in Y\right\} \quad \because \text{生産集合の定義} \\
&=&\max \left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ x_{1}\geq 0\wedge x_{2}\geq 0\wedge x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}\geq y\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\max \left[ 0,x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}\right] \\
&=&x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。この結果は先の命題の主張と整合的です。
先の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、生産集合\(Y\)が非空である場合に生産関数\(f\)は存在するとは限りません。以下の例より明らかです。
Y=\left\{ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}>y\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。\(Y\)は明らかに非空です。その一方で、投入ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\max \left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in Y\right\} &=&\max \left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}>y\wedge x_{1}\geq 0\wedge
y_{2}\geq 0\right\} \quad \because Y\text{の定義} \\
&=&\max \left[ 0,x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}\right)
\end{eqnarray*}となりますが、この最大値は存在しないため、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)もまた存在しません。
演習問題
Y=\left\{ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ y\leq \min \left\{ x_{1},\frac{x_{2}}{2}\right\} \right\}
\end{equation*}と与えられているものとします。\(Y\)が非空であることを示してください。
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