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生産者理論

1生産物モデルにおける要素需要関数と供給関数

目次

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要素需要対応と供給対応

分析対象である生産者にとって、経済に存在する商品の中でも\(N\)種類の商品が生産要素であり、それらとは異なる\(1\)種類の商品が生産物である状況、すなわち\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルを想定します。

生産者の技術が生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)ないし生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)として表現されているものとします。価格ベクトル\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に直面した生産者が解くべき利潤最大化問題は、以下のような制約付き最大化問題\begin{equation*}\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad f\left( x\right) \geq y
\end{equation*}として定式化されます。ただし、利潤最大化問題の解は狭義効率的であることが保証されるため、先の問題を、\begin{equation*}
\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad f\left( x\right) =y
\end{equation*}と表現しても一般性は失われません。つまり、以下の問題\begin{equation*}
\max_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}pf\left( x\right) -w\cdot x
\end{equation*}を解いて最適な投入量\(x^{\ast }\)を特定すれば、最適な産出量\(y^{\ast }\)が、\begin{equation*}y^{\ast }=f\left( x^{\ast }\right)
\end{equation*}として得られるということです。

一般に、価格ベクトル\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題に解は存在するとは限りませんし、解が存在する場合にも一意的に定まるとは限りません。そのような事情を踏まえた上で、\(\left(w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解であるような投入ベクトルからなる集合を\(X^{\ast }\left(w,p\right) \)で表記します。つまり、\begin{equation*}X^{\ast }\left( w,p\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ \forall x^{\prime }\in \mathbb{R} _{+}^{N}:pf\left( x\right) -w\cdot x\geq pf\left( x^{\prime }\right) -w\cdot
x^{\prime }\right\}
\end{equation*}です。さらに、それぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して\(X^{\ast }\left( w,p\right) \)を像として定める対応\begin{equation*}X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}を定義し、これを要素需要対応(factor demand correspondence)と呼びます。

価格ベクトル\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題における最適な産出量\(y^{\ast }\)はどのように決まるでしょうか。繰り返しになりますが、利潤最大化問題の解は狭義効率的であることが保証されるため、\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題における最適な投入ベクトル\(x^{\ast }\in X^{\ast }\left(w,p\right) \)が与えられれば、それに対応する最適な産出量\(y^{\ast }\)が、\begin{equation*}y^{\ast }=f\left( x^{\ast }\right)
\end{equation*}と定まります。したがって、\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解であるような産出量からなる集合は、\begin{equation*}Y^{\ast }\left( w,p\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} _{+}\ |\ x\in X^{\ast }\left( w,p\right) \right\}
\end{equation*}となります。その上で、それぞれの\(\left( w,p\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して\(Y^{\ast }\left( w,p\right) \)を像として定める対応\begin{equation*}Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}を定義し、これを供給対応(supply correspondence)と呼びます。\(\left( w,p\right) \)のもとで\(X^{\ast }\left( w,p\right) =\phi \)である場合、必然的に\(Y^{\ast}\left( w,p\right) =\phi \)となります。逆に、\(X^{\ast }\left( w,p\right) \not=\phi \)の場合には\(Y^{\ast }\left( w,p\right) \not=\phi \)となります。

例(要素需要対応と供給対応)
1生産要素1生産物モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y\leq x\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします(下図)。

図:生産集合
図:生産集合

生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めます。価格ベクトル\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)のもとでの利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}}py-wx\quad \text{s.t.}\quad y\leq f\left( x\right)
\end{equation*}となりますが、これを以下の問題\begin{equation*}
\max_{x\in \mathbb{R} _{+}}\left( p-w\right) x
\end{equation*}に読み替えても一般性は失われません。したがって、要素需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation}X^{\ast }\left( w,p\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\phi & \left( if\ p>w\right) \\ \mathbb{R} _{+} & \left( if\ p=w\right) \\
0 & \left( if\ p<w\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を定め、供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}Y^{\ast }\left( w,p\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} _{+}\ |\ x\in X^{\ast }\left( w,p\right) \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}\ |\ x\in X^{\ast }\left( w,p\right) \right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cc}
\phi & \left( if\ p>w\right) \\ \mathbb{R} _{+} & \left( if\ p=w\right) \\
0 & \left( if\ p<w\right)
\end{array}\right. \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、\(p\leq w\)を満たす\(\left( w,p\right) \)に対して利潤最大化問題の解が存在しますが、\(p>w\)を満たす\(\left( w,p\right) \)に対して利潤最大化問題の解は存在しません。

要素需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が与えられたとき、価格ベクトル\(\left( w,p\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して、\begin{equation*}X^{\ast }\left( w,p\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち\(X^{\ast }\)が\(\left( w,p\right) \)において非空値をとることは、\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題に解が存在することを意味します。この場合には供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)についても、\begin{equation*}Y^{\ast }\left( w,p\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。さらに、\begin{equation*}
\forall \left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}:X^{\ast }\left( w,p\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち\(X^{\ast }\)が非空値をとることは、価格ベクトルの水準に関わらず、利潤最大化問題には必ず解が存在することを意味します。この場合には、\begin{equation*}\forall \left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}:Y^{\ast }\left( w,p\right) \not=\phi
\end{equation*}もまた成り立ちます。では、どのような条件のもとで\(X^{\ast }\)は非空値をとるのでしょうか。ベルジュの最大値定理を用いることにより以下の命題が導かれます。

命題(利潤最大化問題に解が存在するための条件)
\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおいて生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)に加えて生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在するものとする。\(Y\)が連続性、操業停止可能性、無償廃棄可能性、凸性、中立性を満たす場合、要素需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)と供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)は非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応となる。
証明

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生産関数\(f\)が連続である場合には生産集合\(Y\)は連続性を満たし、\begin{equation*}f\left( 0\right) =0
\end{equation*}が成り立つ場合に\(Y\)は操業停止可能性を満たし、\(f\)が単調増加(単調非減少)関数であるとともに、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} _{+}^{N+1},\ \forall y\in \left[ 0,f\left( x\right) \right] :\left(
x,y\right) \in Y
\end{equation*}が成り立つ場合に\(Y\)は無償廃棄可能性を満たし、\(f\)が凹関数である場合に\(Y\)は凸性を満たし、\begin{equation*}\forall \left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}:\left[ y^{\prime }>0\Rightarrow \exists \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}:f\left( x\right) \geq y\wedge f\left( x+x^{\prime }\right)
<y+y^{\prime }\right] \end{equation*}が成り立つ場合に\(Y\)は中立性を満たします。\(f\)が以上の条件を満たす場合には上の命題が要求する条件がすべて満たされるため、要素需要対応\(X^{\ast }\)および供給対応\(Y^{\ast }\)は非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応になることが保証されます。

例(要素需要対応と供給対応)
1生産要素1生産物モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y\leq x^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします(下図)。

図:生産集合
図:生産集合

生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めます。この生産集合\(Y\)は連続性、操業停止可能性、無償廃棄可能性、凸性、中立性を満たすため、上の命題より、要素需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)と供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)は非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応になります。価格ベクトル\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)のもとでの利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{x\in \mathbb{R} _{+}^{2}}py-wx\quad \text{s.t.}\quad y\leq x^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}となりますが、\(\left( w,p\right) \)の水準によらずこの問題には常に解が存在するということです。以下の問題\begin{equation*}\max_{x\in \mathbb{R} _{+}}px^{\frac{1}{2}}-wx
\end{equation*}に読み替えても一般性は失われませんが、この目的関数は2階微分可能な狭義凹関数であるため、停留点において最大値をとります。停留点は、\begin{equation*}
\frac{\partial }{\partial x}\left( px^{\frac{1}{2}}-wx\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{1}{2}px^{-\frac{1}{2}}-w=0
\end{equation*}を満たす\(x\)であるため、要素需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}X^{\ast }\left( w,p\right) =\left\{ \frac{p^{2}}{4w^{2}}\right\}
\end{equation*}を定め、供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}Y^{\ast }\left( w,p\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} _{+}\ |\ x\in X^{\ast }\left( w,p\right) \right\} \\
&=&\left\{ x^{\frac{1}{2}}\in \mathbb{R} _{+}\ |\ x\in \left\{ \frac{p^{2}}{4w^{2}}\right\} \right\} \\
&=&\left\{ \frac{p}{2w}\right\}
\end{eqnarray*}を定めます。

例(要素需要対応と供給対応)
1生産要素1生産物モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y\leq x\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします(下図)。

図:生産集合
図:生産集合

生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めます。この生産集合\(Y\)は連続性、操業停止可能性、無償廃棄可能性、凸性を満たす一方で中立性を満たさないため、先の命題を用いて利潤最大化問題の解の存在を保証することはできません。実際、先に明らかにしたように、\(p>w\)を満たす\(\left(w,p\right) \)に関する利潤最大化問題に解は存在しません。

 

要素需要関数と供給関数

要素需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が非空値をとるとともに、\begin{equation*}\forall \left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}:\left\vert X^{\ast }\left( w,p\right) \right\vert =1
\end{equation*}を満たす場合には、価格ベクトルの水準に関わらず、利潤最大化問題には必ず解が1つずつ存在することを意味します。この場合、集合\(X^{\ast }\left( w,p\right) \)とその唯一の要素を同一視することにより、要素需要対応\(X^{\ast }\)を\(\mathbb{R} _{++}^{N+1}\)から\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)への写像とみなすことができます。そこで、改めてそのような写像を、\begin{equation*}x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}で表記し、これを要素需要関数(factor demand function)と呼びます。定義より、要素需要対応\(X^{\ast }\)と要素需要関数\(x^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}\forall \left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}:X^{\ast }\left( w,p\right) =\left\{ x^{\ast }\left( w,p\right)
\right\}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

要素需要関数\(x^{\ast }\)がそれぞれの\(\left( w,p\right) \)に対して定める像\(x^{\ast }\left( w,p\right) \)は投入ベクトルであるため、その成分を明示的に表現する場合には、\begin{equation*}x^{\ast }\left( w,p\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( w,p\right) \\
\vdots \\
x_{N}^{\ast }\left( w,p\right)\end{array}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}と表記します。ただ、多くの場合、スペースの制約を考慮した上で、これを行ベクトル\begin{equation*}
x^{\ast }\left( w,p\right) =\left( x_{1}^{\ast }\left( w,p\right) ,\cdots
,x_{N}^{\ast }\left( w,p\right) \right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}として表記することもできるものとします。本来、列ベクトルと行ベクトルは数学的には互いに区別されるべき概念ですが、ここでは特に断りのない限り両者を同一視し、両者は交換可能であるものとします。

要素需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在する場合、供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)がそれぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して定める像は、\begin{eqnarray*}Y^{\ast }\left( w,p\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} _{+}\ |\ x=x^{\ast }\left( w,p\right) \right\} \\
&=&\left\{ f\left( x^{\ast }\left( w,p\right) \right) \right\}
\end{eqnarray*}となり、これもまた1点集合になります。この場合、集合\(Y^{\ast }\left(w,p\right) \)とその唯一の要素を同一視することにより、供給対応\(Y^{\ast }\)を\(\mathbb{R} _{++}^{N+1}\)から\(\mathbb{R} _{+}\)への写像とみなすことができます。そこで、改めてそのような写像を、\begin{equation*}y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}と表記し、これを供給関数(supply function)と呼びます。定義より、任意の\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して、\begin{eqnarray*}y^{\ast }\left( w,p\right) &=&f\left( x^{\ast }\left( w,p\right) \right) \\
&=&f\left( x_{1}^{\ast }\left( w,p\right) ,\cdots ,x_{N}^{\ast }\left(
w,p\right) \right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。

例(要素需要関数と供給関数)
1生産要素1生産物モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y\leq x^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします(下図)。

図:生産集合
図:生産集合

生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めます。先に示したように、要素需要対応\(X^{\ast }\)と供給対応\(Y^{\ast }\)はそれぞれの\(\left( w,p\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}X^{\ast }\left( w,p\right) &=&\left\{ \frac{p^{2}}{4w^{2}}\right\} \\
Y^{\ast }\left( w,p\right) &=&\left\{ \frac{p}{2w}\right\}
\end{eqnarray*}を定めます。これらはともに1点集合であるため、要素需要関数\(x^{\ast }\)と供給関数\(y^{\ast }\)が存在して、それぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}x^{\ast }\left( w,p\right) &=&\frac{p^{2}}{4w^{2}} \\
y^{\ast }\left( w,p\right) &=&\frac{p}{2w}
\end{eqnarray*}を定めます。

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