要素需要対応と供給対応

前節までに、生産者が価格ベクトルのもとで解くべき利潤最大化問題を定式化し、その問題が適切な条件のもとで解を持つことを示しました。しかし、経済分析の目的は、ある一つの価格のもとで最適な生産計画を求めることだけではありません。生産要素価格や生産物価格が変化したときに、生産者の最適な意思決定がどのように変化するかを分析することも重要です。

このような分析を行うため、利潤最大化問題の解を価格ベクトルの関数として表現します。具体的には、利潤を最大化する投入ベクトル特定する関数を要素需要関数（factor demand function）と呼び、産出量を特定する関数を供給関数（supply function）と呼びます。これらの関数は、生産者が市場価格の変化に対してどのように行動を変化させるかを記述するものであり、生産者理論における最も重要な概念の一つです。

本節では、まず要素需要関数と供給関数を定義し、その数学的性質について考察します。

\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおける生産ベクトルは投入ベクトルと産出量の組\begin{equation*}\boldsymbol{z}=\left( \boldsymbol{x},y\right) =\left( x_{1},\cdots
,x_{N},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。生産者が技術的に選択可能な生産ベクトルからなる集合は生産集合\begin{equation*}
Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在する場合には、それぞれの投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\max P\left( \boldsymbol{x}\right) \\
&=&\max \left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y\right\}
\end{eqnarray*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
P\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}は\(\boldsymbol{x}\)の可能産出量集合です。

価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に直面した生産者が解くべき利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{\left( \boldsymbol{x},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}\quad \text{s.t.}\quad
\left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y
\end{equation*}として定義されます。生産関数が存在するとともに、利潤最大化問題に解が存在する場合には、利潤最大化問題について考える代わりに、生産関数を用いた制約のない最大化問題\begin{equation*}
\max_{\left( \boldsymbol{x},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}\quad \text{s.t.}\quad
y=f\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}}pf\left( \boldsymbol{x}\right) -\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}
\end{equation*}を考えても一般性は失われません。

価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)が与えられたとき、\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \)のもとでの利潤最大化問題に解は存在するとは限りませんし、解が存在する場合にも一意的に定まるとは限りません。そのような事情を踏まえた上で、\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解であるような生産ベクトルからなる集合を、\begin{eqnarray*}Z^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) &=&\left\{ \left( \boldsymbol{x}^{\ast },y^{\ast }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\ |\ \forall \left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y:py^{\ast }-\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}^{\ast }\geq py-\boldsymbol{w}\cdot
\boldsymbol{x}\right\} \\
&=&\mathrm{argmax}_{\left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y}\left\{ py-\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}\right\}
\end{eqnarray*}で表記します。さらに、それぞれの\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して集合\(Z^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) \)を像として定める対応\begin{equation*}Z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}を定義し、これを利潤最大化対応（profit maximization correspondence）と呼びます。

利潤最大化対応\(Z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)が与えられれば、価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)のもとでの利潤最大化問題の解\(\left( \boldsymbol{x}^{\ast},y^{\ast }\right) \)を構成し得る投入ベクトル\(\boldsymbol{x}^{\ast }\)からなる集合が、\begin{equation*}X^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) =\left\{ \boldsymbol{x}^{\ast }\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ \exists y\in \mathbb{R} _{+}:\left( \boldsymbol{x},y\right) \in Z^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) \right\}
\end{equation*}として得られます。その上で、それぞれの\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して集合\(X^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) \)を像として定める対応\begin{equation*}X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}を定義し、これを要素需要対応（factor demand correspondence）と呼びます。特に、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在する場合には、要素需要対応\(X^{\ast }\)が価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \)に対して定める像は、\begin{eqnarray*}X^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}^{\ast
}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}:pf\left( \boldsymbol{x}^{\ast }\right) -\boldsymbol{w}\cdot
\boldsymbol{x}^{\ast }\geq pf\left( \boldsymbol{x}\right) -\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}\right\} \\
&=&\mathrm{argmax}_{\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}}\left\{ pf\left( \boldsymbol{x}\right) -\boldsymbol{w}\cdot
\boldsymbol{x}\right\}
\end{eqnarray*}となります。

利潤最大化対応\(Z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)が与えられれば、価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)のもとでの利潤最大化問題の解\(\left( \boldsymbol{x}^{\ast},y^{\ast }\right) \)を構成し得る産出量\(y^{\ast }\)からなる集合が、\begin{equation*}Y^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) =\left\{ y^{\ast }\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \exists \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left( \boldsymbol{x},y\right) \in Z^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) \right\}
\end{equation*}として得られます。その上で、それぞれの\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して集合\(Y^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) \)を像として定める対応\begin{equation*}Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}を定義し、これを供給対応（supply correspondence）と呼びます。特に、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在する場合には、供給対応\(Y^{\ast }\)が価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \)に対して定める像は、\begin{equation*}Y^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) =\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} _{+}\ |\ \boldsymbol{x}\in X^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) \right\}
\end{equation*}となります。ただし、\(X^{\ast }\)は要素需要対応です。

例（要素需要対応と供給対応）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y\leq x\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします（下図）。

生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めます。価格ベクトル\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)のもとでの利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}}py-wx\quad \text{s.t.}\quad \left( x,y\right) \in Y
\end{equation*}ですが、これは以下の問題\begin{equation*}
\max_{x\in \mathbb{R} _{+}}\left( p-w\right) x
\end{equation*}と等価です。したがって、要素需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation}X^{\ast }\left( w,p\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\phi & \left( if\ p>w\right) \\ \mathbb{R} _{+} & \left( if\ p=w\right) \\
0 & \left( if\ p<w\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を定め、供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}Y^{\ast }\left( w,p\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} _{+}\ |\ x\in X^{\ast }\left( w,p\right) \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}\ |\ x\in X^{\ast }\left( w,p\right) \right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cc}
\phi & \left( if\ p>w\right) \\ \mathbb{R} _{+} & \left( if\ p=w\right) \\
0 & \left( if\ p<w\right)
\end{array}\right. \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、\(p\leq w\)を満たす\(\left( w,p\right) \)に対して利潤最大化問題の解が存在しますが、\(p>w\)を満たす\(\left( w,p\right) \)に対して利潤最大化問題の解は存在しません。

要素需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が与えられたとき、価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して、\begin{equation*}X^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち\(X^{\ast }\)が\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \)において非空値をとることは、\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \)のもとでの利潤最大化問題に解が存在することを意味します。この場合には供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)についても、\begin{equation*}Y^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。さらに、\begin{equation*}
\forall \left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}:X^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち\(X^{\ast }\)が非空値をとることは、価格ベクトルの水準に関わらず、利潤最大化問題には必ず解が存在することを意味します。この場合には、\begin{equation*}\forall \left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}:Y^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) \not=\phi
\end{equation*}もまた成り立ちます。では、どのような条件のもとで\(X^{\ast }\)は非空値をとるのでしょうか。ベルジュの最大値定理を用いることにより以下の命題が導かれます。

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)に対して生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在するとともに、\begin{equation*}Y=\left\{ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\ |\ y\leq f\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}が成り立つものとします。さらに、\(f\)が連続関数である場合には\(Y\)は閉性を満たします。加えて、\begin{equation*}f\left( 0\right) =0
\end{equation*}が成り立つ場合には\(Y\)を操業停止可能性（ゆえに非空でもある）を満たします。また、\begin{equation*}\forall \left( \boldsymbol{x}^{\prime },y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}:\left[ y^{\prime }>0\Rightarrow \exists \left( \boldsymbol{x},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}:f\left( \boldsymbol{x}\right) \geq y\wedge f\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}^{\prime }\right) <y+y^{\prime }\right] \end{equation*}が成り立つ場合には\(Y\)は産出方向後退不存在性を満たします。つまり、\(f\)が以上の条件を満たす場合には先の命題が要求する条件がすべて満たされるため、要素需要対応\(X^{\ast }\)および供給対応\(Y^{\ast }\)は非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応になることが保証されます。

例（要素需要対応と供給対応）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y\leq x^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします（下図）。

生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めます。この生産集合\(Y\)は連続性、操業停止可能性、凸性、産出方向後退不存在性を満たすため、先の命題より、要素需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)と供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)は非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応になります。価格ベクトル\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)のもとでの利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{x\in \mathbb{R} _{+}^{2}}py-wx\quad \text{s.t.}\quad \left( x,y\right) \in Y
\end{equation*}は以下の問題\begin{equation*}
\max_{x\in \mathbb{R} _{+}}px^{\frac{1}{2}}-wx
\end{equation*}と等価です。目的関数は2階微分可能な狭義凹関数であるため、停留点において最大値をとります。停留点は、\begin{equation*}
\frac{\partial }{\partial x}\left( px^{\frac{1}{2}}-wx\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{1}{2}px^{-\frac{1}{2}}-w=0
\end{equation*}を満たす\(x\)であるため、要素需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}X^{\ast }\left( w,p\right) =\left\{ \frac{p^{2}}{4w^{2}}\right\}
\end{equation*}を定め、供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}Y^{\ast }\left( w,p\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} _{+}\ |\ x\in X^{\ast }\left( w,p\right) \right\} \\
&=&\left\{ x^{\frac{1}{2}}\in \mathbb{R} _{+}\ |\ x\in \left\{ \frac{p^{2}}{4w^{2}}\right\} \right\} \\
&=&\left\{ \frac{p}{2w}\right\}
\end{eqnarray*}を定めます。

要素需要関数と供給関数

要素需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が非空値をとるとともに、\begin{equation*}\forall \left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}:\left\vert X^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) \right\vert =1
\end{equation*}を満たす場合には、価格ベクトルの水準に関わらず、利潤最大化問題には必ず解が1つずつ存在することを意味します。この場合、集合\(X^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) \)とその唯一の要素を同一視することにより、要素需要対応\(X^{\ast }\)を\(\mathbb{R} _{++}^{N+1}\)から\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)への写像とみなすことができます。そこで、改めてそのような写像を、\begin{equation*}x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}で表記し、これを要素需要関数（factor demand function）と呼びます。定義より、要素需要対応\(X^{\ast }\)と要素需要関数\(x^{\ast }\)の間には以下の関係\begin{equation*}\forall \left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}:X^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) =\left\{ x^{\ast }\left(
\boldsymbol{w},p\right) \right\}
\end{equation*}が成り立ちます。

要素需要関数\(x^{\ast }\)がそれぞれの\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \)に対して定める像\(x^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) \)は投入ベクトルであるため、その成分を明示的に表現したい場合には、\begin{equation*}x^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) \\
\vdots \\
x_{N}^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}と表記します。ただし、その第\(n\)成分\(x_{n}^{\ast}\left( \boldsymbol{w},p\right) \)は生産要素\(n\)の最適投入量です。スペースの制約を考慮した上で、これを行ベクトル\begin{equation*}x^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) =\left( x_{1}^{\ast }\left(
\boldsymbol{w},p\right) ,\cdots ,x_{N}^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right)
\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}として表記することもできるものとします。本来、列ベクトルと行ベクトルは数学的には互いに区別されるべき概念ですが、ここでは特に断りのない限り両者を同一視し、両者は交換可能であるものとします。

要素需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在する場合、供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)がそれぞれの\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して定める像は、\begin{eqnarray*}Y^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) &=&\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} _{+}\ |\ \boldsymbol{x}=x^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) \right\} \\
&=&\left\{ f\left( x^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) \right) \right\}
\end{eqnarray*}となり、これもまた1点集合になります。この場合、集合\(Y^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) \)とその唯一の要素を同一視することにより、供給対応\(Y^{\ast }\)を\(\mathbb{R} _{++}^{N+1}\)から\(\mathbb{R} _{+}\)への写像とみなすことができます。そこで、改めてそのような写像を、\begin{equation*}y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}で表記し、これを供給関数（supply function）と呼びます。定義より、任意の\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して、\begin{eqnarray*}y^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) &=&f\left( x^{\ast }\left(
\boldsymbol{w},p\right) \right) \\
&=&f\left( x_{1}^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) ,\cdots ,x_{N}^{\ast
}\left( \boldsymbol{w},p\right) \right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

演習問題