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PRODUCER THEORY

1生産物モデルにおける要素需要関数と供給関数

目次

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要素需要対応と供給対応

\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおいて生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)が与えられた場合、価格ベクトル\(\left( w,p\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)のもとでの利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad y\in Y
\end{equation*}と定義されます。生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が与えられている場合には、これを、\begin{equation}\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad f\left( x\right) \geq y \quad \cdots (1)
\end{equation}と表現できます。特に、生産集合\(Y\)が連続性の仮定を満たす場合、すなわち\(Y\)が\(\mathbb{R} ^{N+1}\)上の閉集合である場合には、価格ベクトル\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題を、\begin{equation*}\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad y\in Y^{f}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\max_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}pf\left( x\right) -w\cdot x \quad \cdots (2)
\end{equation}と表現できます。生産関数\(f\)が連続関数である場合には生産集合\(Y\)は連続性を満たすため、この場合にも\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題を\(\left( 2\right) \)のように定式化できます。つまり、本来、利潤最大化問題は\(N+1\)個の変数を持つ目的関数に関する不等式制約下での最適化問題\(\left( 1\right) \)ですが、生産集合\(Y\)もしくは生産関数\(f\)が連続性を満たす場合には、\(N\)個の変数を持つ目的関数に関する制約条件のない最適化問題\(\left( 2\right) \)へと単純化されるということです。以下では連続性を仮定した上で、\(\left( 2\right) \)を考察対象とします。

\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおいて生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)が連続性を満たすものとします。もしくは、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が連続関数であるものとします。価格ベクトル\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)が任意に与えられたとき、\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題は、\begin{equation}\max_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}pf\left( x\right) -w\cdot x \quad \cdots (3)
\end{equation}と表現されます。一般に、\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題には解は存在するとは限りませんし、解が存在する場合にも一意的に定まるとは限りません。そのような事情を踏まえた上で、\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題\(\left( 3\right) \)の解である生産要素の投入ベクトルからなる集合を\(X^{\ast }\left( w,p\right) \)で表記します。つまり、\begin{equation*}X^{\ast }\left( w,p\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ \forall x^{\prime }\in \mathbb{R} _{+}^{N}:pf\left( x\right) -w\cdot x\geq pf\left( x^{\prime }\right) -w\cdot
x^{\prime }\right\}
\end{equation*}です。さらに、それぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して\(X^{\ast }\left( w,p\right) \)を像として定める対応\begin{equation*}X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}を要素需要対応(factor demand correspondence)と呼びます。

価格ベクトル\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題\(\left( 3\right) \)の解である生産物の産出量\(x^{\ast }\)はどのように決まるでしょうか。\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解であるような生産ベクトル\(\left( x^{\ast },y^{\ast}\right) \)を任意に選んだとき、連続性の仮定のもとでは、利潤最大化問題における制約条件が、\begin{equation*}f\left( x\right) =y
\end{equation*}となるため、\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解である投入ベクトル\(x^{\ast }\in X^{\ast }\left( w,p\right) \)が与えられれば、それに対応する最適な産出量\(y^{\ast }\)が、\begin{equation*}y^{\ast }=f\left( x^{\ast }\right)
\end{equation*}として定まります。したがって、\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題\(\left( 3\right) \)の解である生産量からなる集合は、\begin{equation*}Y^{\ast }\left( w,p\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} _{+}\ |\ x\in X^{\ast }\left( w,p\right) \right\}
\end{equation*}となります。その上で、それぞれの\(\left( w,p\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して\(Y^{\ast }\left( w,p\right) \)を像として定める対応\begin{equation*}Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}を供給対応(supply correspondence)と呼びます。\(\left( w,p\right) \)のもとで\(X^{\ast }\left(w,p\right) =\phi \)である場合、必然的に\(Y^{\ast }\left( w,p\right) =\phi \)となります。

例(要素需要対応と供給対応)
1生産要素1生産物モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ 2x\geq y\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x
\end{equation*}を定めます。\(f\)は連続関数であるため、価格ベクトル\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)のもとでの利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{x\in \mathbb{R} _{+}}pf\left( x\right) -wx
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{x\in \mathbb{R} _{+}}\left( 2p-w\right) x
\end{equation*}と表現できます。解の導出方法は改めて解説しますが、結論を述べると、要素需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}X^{\ast }\left( w,p\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\phi & \left( if\ 2p>w\right) \\ \mathbb{R} _{+} & \left( if\ 2p=w\right) \\
0 & \left( if\ 2p<w\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定め、供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}Y^{\ast }\left( w,p\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\phi & \left( if\ 2p>w\right) \\ \mathbb{R} _{+} & \left( if\ 2p=w\right) \\
0 & \left( if\ 2p<w\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。

要素需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が与えられたとき、\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して、\begin{equation*}X^{\ast }\left( w,p\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち\(X^{\ast }\)が非空値をとることは、\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題に解が存在することを意味します。さらに、\begin{equation*}\forall \left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}:X^{\ast }\left( w,p\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち\(X^{\ast }\)が非空値をとることは、価格ベクトルの水準に関わらず、利潤最大化問題には必ず解が存在することを意味します。では、どのような条件のもとで\(X^{\ast }\)は非空値をとるのでしょうか。生産要素を生産物を区別しない場合の利潤最大化問題における議論と同様の議論により以下が導かれます。

命題(利潤最大化問題に解が存在するための条件)
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)が連続性、操業停止可能性、無償廃棄可能性、凸性、中立性を満たす場合、要素需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)と供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)は非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応となる。

 

要素需要関数と供給関数

要素需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が非空値をとるとともに、\begin{equation*}\forall \left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}:\left\vert X^{\ast }\left( w,p\right) \right\vert =1
\end{equation*}を満たす場合には、価格ベクトルの水準に関わらず、利潤最大化問題には必ず解が1つずつ存在することを意味します。この場合、集合\(X^{\ast }\left( w,p\right) \)とその唯一の要素を同一視することにより、要素需要対応\(X^{\ast }\)を\(\mathbb{R} _{++}^{N+1}\)から\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)への写像とみなすことができます。そこで、改めてそのような写像を、\begin{equation*}x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}と表記し、これを要素需要関数(factor demand function)と呼びます。定義より、要素需要対応\(X^{\ast }\)と要素需要関数\(x^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}\forall \left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}:X^{\ast }\left( w,p\right) =\left\{ x^{\ast }\left( w,p\right)
\right\}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

要素需要関数\(x^{\ast }\)がそれぞれの\(\left( w,p\right) \)に対して定める像\(x^{\ast }\left( w,p\right) \)は投入ベクトルであるため、その成分を明示的に表現する場合には、\begin{equation*}x^{\ast }\left( w,p\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( w,p\right) \\
\vdots \\
x_{N}^{\ast }\left( w,p\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}と表記します。ただ、多くの場合、スペースの制約を考慮した上で、これを行ベクトル\begin{equation*}
x^{\ast }\left( w,p\right) =\left( x_{1}^{\ast }\left( w,p\right) ,\cdots
,x_{N}^{\ast }\left( w,p\right) \right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}として表記することもできるものとします。本来、列ベクトルと行ベクトルは数学的には互いに区別されるべき概念ですが、ここでは特に断りのない限り両者を同一視し、両者は交換可能であるものとします。

要素需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在する場合、供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)がそれぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して定める像は、\begin{eqnarray*}Y^{\ast }\left( w,p\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} _{+}\ |\ x=x^{\ast }\left( w,p\right) \right\} \\
&=&\left\{ f\left( x^{\ast }\left( w,p\right) \right) \right\}
\end{eqnarray*}となり、これもまた1点集合になります。この場合、集合\(Y^{\ast }\left(w,p\right) \)とその唯一の要素を同一視することにより、供給対応\(Y^{\ast }\)を\(\mathbb{R} _{++}^{N+1}\)から\(\mathbb{R} _{+}\)への写像とみなすことができます。そこで、改めてそのような写像を、\begin{equation*}y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}と表記し、これを供給関数(supply function)と呼びます。定義より、任意の\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して、\begin{eqnarray*}y^{\ast }\left( w,p\right) &=&f\left( x^{\ast }\left( w,p\right) \right) \\
&=&f\left( x_{1}^{\ast }\left( w,p\right) ,\cdots ,x_{N}^{\ast }\left(
w,p\right) \right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。

要素需要対応\(X^{\ast }\)や供給対応\(Y^{\ast }\)が非空値をとるための条件は先に明らかにしました。では、どのような条件のもとで要素需要関数\(x^{\ast }\)や供給関数\(y^{\ast }\)は存在するのでしょうか。生産要素を生産物を区別しない場合の利潤最大化問題における議論と同様の議論により以下が導かれます。

命題(要素需要関数と供給関数が存在するための条件)
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)が連続性、操業停止可能性、無償廃棄可能性、狭義凸性、中立性を満たす場合、要素需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)と供給関数\(y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在するとともに、これらは連続関数になる。
例(要素需要対応と供給対応)
1生産要素1生産物モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ x^{\frac{1}{2}}\geq y\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めます。\(Y\)は連続性、操業停止可能性、無償廃棄可能性、狭義凸性、中立性を満たすため、上の命題より連続な要素需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)と供給関数\(y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在します。つまり、価格ベクトル\(\left(w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)のもとでの利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{x\in \mathbb{R} _{+}}pf\left( x\right) -wx
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{x\in \mathbb{R} _{+}}px^{\frac{1}{2}}-wx
\end{equation*}と表現されますが、\(\left( w,p\right) \)の水準に依らず、上の問題に一意的な解が必ず存在することが保証されます。解の導出方法は改めて解説しますが、結論を述べると、要素需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( w,p\right) =\frac{p^{2}}{4w^{2}}
\end{equation*}を定め、供給関数\(y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}y^{\ast }\left( w,p\right) =\left( \frac{p^{2}}{4w^{2}}\right) ^{\frac{1}{2}}=\frac{p}{2w}
\end{equation*}を定めます。これらはともに多変数の有理関数であるため連続関数です。

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