コブ・ダグラス型生産関数のもとでの利潤最大化問題
\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおける生産者の技術がコブ・ダグラス型生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)によって表現されているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの投入ベクトル\(x=\left(x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値は、\begin{equation*}f\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}です。ただし、\(k,\alpha_{1},\cdots ,\alpha _{N}\in \mathbb{R} \)は定数であり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ k>0 \\
&&\left( b\right) \ \alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right)
\end{eqnarray*}を満たします。
コブ・ダグラス型生産関数\(f\)が与えられたとき、生産要素と生産物の価格\(\left( w,p\right) =\left(w_{1},\cdots ,w_{N},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)のもとでの利潤最大化問題は、
$$\begin{array}{cl}\max\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N},y\right) } & py-w\cdot x \\
s.t. & kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{N}^{\alpha _{N}}\geq y \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0 \\
& y\geq 0
\end{array}$$
となります。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(A>0\)かつ\(\alpha>0\)かつ\(\beta >0\)です。生産要素と生産物の価格生産要素と生産物の価格\(\left( w_{1},w_{2},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{3}\)のもとでの利潤最大化問題は、
$$\begin{array}{cl}\max\limits_{\left( K,L,Y\right) } & pY-w_{1}K-w_{2}L \\
s.t. & AK^{\alpha }L^{\beta }\geq Y \\
& K\geq 0 \\
& L\geq 0 \\
& Y\geq 0
\end{array}$$
となります。
コブ・ダグラス型生産関数のもとでの要素需要関数と供給関数
コブ・ダグラス型生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定めるため、少なくとも1つの生産要素の投入量が\(x_{i}=0\)である場合には\(f\left( x\right) =0\)となり、したがって\(y=0\)となります。すると利潤は\(py-w\cdot x=-w\cdot x\)となるため、何らかの生産要素を投入すると利潤が負になってしまいます。そこで以降では\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上の投入ベクトル\(x\)のみを比較対象とします。
生産者の技術がコブ・ダグラス型生産関数\(f\)によって表されている場合、\begin{eqnarray*}\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{N} &>&1\Rightarrow \text{規模に関して収穫逓増} \\
\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{N} &=&1\Rightarrow \text{規模に関して収穫一定} \\
\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{N} &<&1\Rightarrow \text{規模に関して収穫逓減}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。加えて、\begin{equation*}
\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}\leq 1
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上において凹関数です。加えて、\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上で\(C^{1}\)級の狭義単調増加関数であるため、\begin{equation*}\exists \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}:f\left( x\right) >y
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、この場合の利潤最大化問題の解はスレーター条件を満たすため、クーン・タッカーの条件を満たす生産ベクトルは利潤最大化問題の解になることに注意してください。
以上の方針のもとで問題を解くと以下を得ます。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。特に、\begin{equation*}\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}<1
\end{equation*}が成り立つ場合、要素需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在して、それぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)と\(n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)に対して、\begin{equation*}x_{n}^{\ast }\left( w,p\right) =\left( pk\right) ^{\left[ 1-\left( \alpha
_{1}+\cdots +\alpha _{N}\right) \right] ^{-1}}\left( \frac{\alpha _{n}}{w_{n}}\right) \left( \frac{\alpha _{1}}{w_{1}}\right) ^{\alpha _{1}\left[
1-\left( \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}\right) \right] ^{-1}}\cdots \left(
\frac{\alpha _{N}}{w_{N}}\right) ^{\alpha _{N}\left[ 1-\left( \alpha
_{1}+\cdots +\alpha _{N}\right) \right] ^{-1}}
\end{equation*}を定める。また、供給関数\(y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して、\begin{equation*}y^{\ast }\left( w,p\right) =k^{\left[ 1-\left( \alpha _{1}+\cdots +\alpha
_{N}\right) \right] ^{-1}}\left( \frac{p\alpha _{1}}{w_{1}}\right) ^{\alpha
_{1}\left[ 1-\left( \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}\right) \right] ^{-1}}\cdots \left( \frac{p\alpha _{N}}{w_{N}}\right) ^{\alpha _{N}\left[
1-\left( \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}\right) \right] ^{-1}}
\end{equation*}を定める。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(A>0\)かつ\(\alpha>0\)かつ\(\beta >0\)です。特に、\begin{equation*}\alpha +\beta <1
\end{equation*}が成り立つ場合、先の命題より、要素需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{3}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在して、それぞれの\(\left( w_{1},w_{2},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{3}\)に対して、\begin{eqnarray*}x^{\ast }\left( w_{1},w_{2},p\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( w_{1},w_{2},p\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( w_{1},w_{2},p\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left( pA\right) ^{\left[ 1-\left( \alpha +\beta \right) \right] ^{-1}}\left( \dfrac{\alpha }{w_{1}}\right) \left( \dfrac{\alpha }{w_{1}}\right) ^{\alpha \left[ 1-\left( \alpha +\beta \right) \right] ^{-1}}\left(
\dfrac{\beta }{w_{2}}\right) ^{\beta \left[ 1-\left( \alpha +\beta \right) \right] ^{-1}} \\
\left( pA\right) ^{\left[ 1-\left( \alpha +\beta \right) \right] ^{-1}}\left( \dfrac{\beta }{w_{2}}\right) \left( \dfrac{\alpha }{w_{1}}\right) ^{\alpha \left[ 1-\left( \alpha +\beta \right) \right] ^{-1}}\left(
\dfrac{\beta }{w_{2}}\right) ^{\beta \left[ 1-\left( \alpha +\beta \right) \right] ^{-1}}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。また、供給関数\(y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{3}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left(w_{1},w_{2},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{3}\)に対して、\begin{equation*}y^{\ast }\left( w_{1},w_{2},p\right) =A^{\left[ 1-\left( \alpha +\beta
\right) \right] ^{-1}}\left( \frac{p\alpha }{w_{1}}\right) ^{\alpha \left[
1-\left( \alpha +\beta \right) \right] ^{-1}}\left( \frac{p\beta }{w_{2}}\right) ^{\beta \left[ 1-\left( \alpha +\beta \right) \right] ^{-1}}
\end{equation*}を定めます。
コブ・ダグラス型生産関数のもとでの利潤関数
生産者の技術がコブ・ダグラス型生産関数として表される場合には要素需要関数と供給関数が存在することが明らかになりました。したがって、それらを利潤を表す式に代入することにより利潤関数が以下のように特定されます。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。特に、\begin{equation*}\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}<1
\end{equation*}が成り立つ場合、利潤関数\(\pi :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して、\begin{equation*}\pi \left( w,p\right) =\left( pk\right) ^{\left[ 1-\left( \alpha _{1}+\cdots
+\alpha _{N}\right) \right] ^{-1}}\left( \frac{\alpha _{1}}{w_{1}}\right)
^{\alpha _{1}\left[ 1-\left( \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}\right) \right] ^{-1}}\cdots \left( \frac{\alpha _{N}}{w_{N}}\right) ^{\alpha _{N}\left[
1-\left( \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}\right) \right] ^{-1}}\left(
1-\sum_{n=1}^{N}\alpha _{n}\right)
\end{equation*}を定める。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(A>0\)かつ\(\alpha>0\)かつ\(\beta >0\)です。特に、\begin{equation*}\alpha +\beta <1
\end{equation*}が成り立つ場合、先の命題より、利潤関数\(\pi ^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\left( w_{1},w_{2},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{3}\)に対して、\begin{equation*}\pi ^{\ast }\left( w_{1},w_{2},p\right) =\left( pA\right) ^{\left[ 1-\left(
\alpha +\beta \right) \right] ^{-1}}\left( \frac{\alpha }{w_{1}}\right)
^{\alpha \left[ 1-\left( \alpha +\beta \right) \right] ^{-1}}\left( \frac{\beta }{w_{2}}\right) ^{\beta \left[ 1-\left( \alpha +\beta \right) \right] ^{-1}}\left[ 1-\left( \alpha +\beta \right) \right] \end{equation*}を定めます。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(A>0\)かつ\(\alpha>0\)かつ\(\beta >0\)かつ\(\gamma >0\)かつ\(\alpha +\beta +\gamma <1\)です。
- 利潤最大化問題を定式化してください。
- 要素需要関数と供給関数を求めてください。
- 利潤関数を求めてください。
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