1生産物モデルにおけるホテリングの補題

利潤の変化

分析対象である生産者にとって、経済に存在する商品の中でも\(N\)種類の商品が生産要素であり、それらとは異なる\(1\)種類の商品が生産物である状況、すなわち\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルを想定します。

生産者の技術が生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)ないし生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)として表現されているものとします。加えて、要素需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)と供給関数\(y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)に加えて利潤関数\(\pi :\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものとします。つまり、生産要素価格ベクトルと生産物価格\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)を任意に選んだとき、これに対して要素需要関数\(x^{\ast }\)と供給関数\(y^{\ast }\)が定める値からなる組\(\left( x^{\ast }\left( w,p\right) ,y^{\ast}\left( w,p\right) \right) \)は\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題\begin{equation*}\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad \left( x,y\right) \in Y
\end{equation*}または、\begin{equation*}
\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad f\left( x\right) \geq y
\end{equation*}の唯一の解である一方、利潤関数\(\pi \)が定める値\(\pi \left( w,p\right) \)は\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解において生産者が得る利潤であり、これらの間には、\begin{equation*}\pi \left( w,p\right) =py^{\ast }\left( w,p\right) -w\cdot x^{\ast }\left(
w,p\right)
\end{equation*}という関係が成立します。

生産者理論では価格ベクトル\(\left( w,p\right) \)の変化が生産者の意思決定に与える影響を分析することも重要であり、そのような簡単から、\(w\)や\(p\)が変化したときの利潤\(\pi \left( w,p\right) \)の変化を評価すること、すなわち、利潤関数\(\pi \)をそれぞれの生産要素\(i\)の価格\(w_{i}\)や生産物の価格\(p\)に関して偏微分する動機が発生します。すると以下のようなテクニカルな問題に直面します。

1. どのような条件が満たされていれば、利潤関数\(\pi \)はそれぞれの生産要素の価格\(w_{i}\)や生産物価格\(p\)に関して偏微分可能か。
2. 利潤関数\(\pi \)がそれぞれの生産要素の価格\(w_{i}\)や生産物価格\(p\)に関して偏微分可能である場合、偏導関数\(\frac{\partial \pi \left( w,p\right) }{\partial p_{i}},\frac{\partial \pi \left(w,p\right) }{\partial p}\)はどのような形状をしているか。

以上の問いに答えるのが包絡面定理です。包絡面定理を利用する上で見通しを良くするために、それぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x,y,w,p\right) &=&py-w\cdot x \\
g\left( x,y,w,p\right) &=&f\left( x\right) -y
\end{eqnarray*}を定める多変数関数\(f,g:\mathbb{R} _{+}^{N+1}\times \mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題を、\begin{equation*}\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}f\left( x,y,w,p\right) \quad \text{s.t.}\quad g\left(
x,y,w,p\right) \geq 0
\end{equation*}と表現できます。利潤関数\(\pi :\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \)はこの問題の価値関数に相当し、それぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して、\begin{equation*}\pi \left( w,p\right) =\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}\left\{ f\left( x,y,w,p\right) \in \mathbb{R} \ |\ g\left( x,y,w,p\right) \geq 0\right\}
\end{equation*}を定めます。要素需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)と供給関数\(y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はこの問題の最適関数に相当し、それぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して、\begin{equation*}\left( x^{\ast }\left( w,p\right) ,y^{\ast }\left( w,p\right) \right)
=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\ |\ f\left( x,y,w,p\right) =\pi \left( w,p\right) \right\}
\end{equation*}を定めます。この問題に包絡面定理を適用するためには以下の条件が満たされていることを確認する必要があります。

1. 目的関数\(f\)および制約条件を規定する関数\(g\)はともに\(C^{1}\)級である。\(f\left( x,y,w,p\right) =py-w\cdot x\)は明らかに\(C^{1}\)級である。\(g\left(x,y,w,p\right) =f\left( x\right) -y\)であるため、生産関数\(f\)が\(C^{1}\)級であるならば関数\(g\)もまた\(C^{1}\)級である。
2. 最適解\(\left( x^{\ast }\left( w,p\right) ,y^{\ast}\left( w,p\right) \right) \)が正規条件を満たす。点\(\left( x^{\ast }\left( w,p\right),y^{\ast }\left( w,p\right) \right) \)において関数\(g\)がバインドする場合にはそこでの変数\(\left( x,y\right) \)に関する勾配ベクトル\(\nabla _{\left( x,y\right) }g\left( \left( x^{\ast}\left( w,p\right) ,y^{\ast }\left( w,p\right) \right) ,w,p\right) \)は1次独立である。
3. 要素需要関数\(x^{\ast }\)と供給関数\(y^{\ast }\)および利潤関数\(\pi \)がいずれも\(C^{1}\)級である。

以上の条件が満たされる場合には、先の問題に対して包絡面定理を適用することにより以下を得ます。

生産者による利潤最大化を前提とした場合、価格ベクトル\(\left(w,p\right) \)のもとでの生産物の最適な産出量は\(y^{\ast}\left( w,p\right) \)です。今、生産物の価格\(p\)が1単位上昇したとき、上の命題より、\begin{equation*}\frac{\partial \pi \left( w,p\right) }{\partial p}=y^{\ast }\left(
w,p\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、利潤が\(y^{\ast }\left(w,p\right) \)だけ増加します。つまり、生産物価格が1単位増加すると、それまでの最適産出量\(y^{\ast }\left( w,p\right) \)と同額だけ利潤が増加します。

生産者による利潤最大化を前提とした場合、価格ベクトル\(\left(w,p\right) \)のもとでの生産要素\(i\)の最適な投入量は\(x_{i}^{\ast }\left( w,p\right) \)です。今、生産要素\(i\)の価格\(w_{i}\)が1単位上昇したとき、上の命題より、\begin{equation*}\frac{\partial \pi \left( w,p\right) }{\partial w_{i}}=-x_{i}^{\ast }\left(
w,p\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、利潤が\(x_{i}^{\ast }\left(w,p\right) \)だけ減少します。つまり、生産要素\(i\)の価格が1単位増加すると、それまでの生産要素\(i\)の最適投入量\(x_{i}^{\ast }\left( w,p\right) \)と同額だけ利潤が減少します。

通常、利潤関数\(\pi \)の偏導関数である\(\frac{\partial \pi\left( w,p\right) }{\partial p}\)ないし\(\frac{\partial \pi\left( w,p\right) }{\partial w_{i}}\)を求めるためには、要素需要関数\(x^{\ast }\)と供給関数\(y^{\ast }\)を特定した上で、以下の関係\begin{equation*}\pi \left( w,p\right) =py^{\ast }\left( w,p\right) -w\cdot x^{\ast }\left(
w,p\right)
\end{equation*}を用いて利潤関数\(\pi \)を特定し、さらにそれを\(p\)ないし\(w_{i}\)について偏微分することになります。一方、先の命題が要求する条件が満たされる場合には、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \frac{\partial \pi \left( w,p\right) }{\partial p}=\frac{\partial L}{\partial p}\left( x^{\ast }\left( w,p\right) ,y^{\ast }\left(
w,p\right) ,w,p,\lambda ^{\ast }\left( w,p\right) \right) \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial \pi \left( w,p\right) }{\partial w_{i}}=\frac{\partial L}{\partial w_{i}}\left( x^{\ast }\left( w,p\right) ,y^{\ast
}\left( w,p\right) ,w,p,\lambda ^{\ast }\left( w,p\right) \right)
\end{eqnarray*}などの関係が成り立つため、この場合、\(\frac{\partial \pi \left( w,p\right) }{\partial p}\)ないし\(\frac{\partial \pi \left( w,p\right) }{\partial w_{i}}\)を求めるために利潤関数\(\pi \)を特定する必要はなく、ラグランジュ関数\(L\)を\(p\)ないし\(w_{i}\)について偏微分して、\begin{eqnarray*}&&\frac{\partial L}{\partial p}\left( x,y,w,p,\lambda \right) \\
&&\frac{\partial L}{\partial w_{i}}\left( x,y,w,p,\lambda \right)
\end{eqnarray*}を得た上で、それを最適解\begin{equation*}
\left( x,y,\lambda ^{\ast }\right) =\left( x^{\ast }\left( w,p\right)
,y^{\ast }\left( w,p\right) ,\lambda ^{\ast }\left( w,p\right) \right)
\end{equation*}で評価すれば目標は達成されます。

ホテリングの補題

先の命題より、一定の条件のもとでは、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ y^{\ast }\left( w,p\right) =\frac{\partial \pi \left(
w,p\right) }{\partial p} \\
&&\left( b\right) \ x_{i}^{\ast }\left( w,p\right) =-\frac{\partial \pi
\left( w,p\right) }{\partial w_{i}}\quad \left( i=1,\cdots ,N\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立つことが明らかになりました。つまり、価格ベクトル\(\left( w,p\right) \)における利潤最大化問題の解\begin{equation*}\left( x_{1}^{\ast }\left( w,p\right) ,\cdots ,x_{N}^{\ast }\left(
w,p\right) ,y^{\ast }\left( w,p\right) \right)
\end{equation*}を求めるためには、点\(\left( w,p\right) \)における利潤関数\(\pi \)をそれぞれの変数について偏微分して\begin{equation*}\left( -\frac{\partial \pi \left( w,p\right) }{\partial w_{1}},\cdots ,-\frac{\partial \pi \left( w,p\right) }{\partial w_{N}},\frac{\partial \pi
\left( w,p\right) }{\partial p}\right)
\end{equation*}を得ればよいということです。任意の\(\left(w,p\right) \)について同様の関係が成り立つため、結局、利潤関数\(\pi \)が与えられれば供給関数\(y^{\ast }\)と要素需要関数\(x^{\ast }\)を、\begin{eqnarray*}y^{\ast }\left( w,p\right) &=&\frac{\partial \pi \left( w,p\right) }{\partial p} \\
x^{\ast }\left( x,y\right) &=&\nabla \pi _{w}\left( w,p\right)
\end{eqnarray*}と特定することができます。これをホテリングの補題（Hotelling’s lemma）と呼びます。