1生産物モデルにおける生産集合の中立性

生産集合の後退錐

分析対象である生産者にとって、経済に存在する商品の中でも\(N\)種類の商品が生産要素であり、それらとは異なる\(1\)種類の商品が生産物である状況、すなわち\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルを想定します。\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおいて生産ベクトルは投入ベクトルと産出量の組\begin{equation*}\left( x,y\right) =\left( x_{1},\cdots ,x_{N},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。技術的な制約を踏まえた上で生産者がなおも選択可能な生産ベクトルからなる集合を生産集合\begin{equation*}
Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として定式化しました。このとき、\(Y\)が非空な凸集合であるとともに、任意の成分が非負の実数であるようなベクトル\begin{equation*}\left( x^{\prime },y^{\prime }\right) =\left( x_{1}^{\prime },\cdots
,x_{N}^{\prime },y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}が、

\begin{equation*}
\forall \left( x,y\right) \in Y:\left( x,y\right) +\left( x^{\prime
},y^{\prime }\right) \in Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
Y+\left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \subset Y
\end{equation*}を満たすならば、\(\left(x^{\prime },y^{\prime }\right) \)を\(Y\)の後退ベクトル（recession vector）と呼びます。これは、技術的に選択可能な生産ベクトル\(\left( x,y\right) \in Y\)を任意に選んだとき、それに\(\left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \)を足すことで得られる生産ベクトルもまた技術的に選択可能であることを意味します。

例（生産集合の後退ベクトル）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{2}\)が下図のグレーの領域として描かれています。

\(Y\)は非空な凸集合であるとともに無償廃棄可能性を満たします。生産ベクトル\(\left( x,y\right)\in Y\)を任意に選んだとき、任意のベクトル\(\left( x^{\prime },0\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}\left( x,y\right) +\left( x^{\prime },0\right) =\left( x+x^{\prime
},y\right) \in Y
\end{equation*}が成り立つため、以下の集合\begin{equation*}\mathbb{R} _{+}\times \left\{ 0\right\} =\left\{ \left( x^{\prime },0\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ x^{\prime }\geq 0\right\}
\end{equation*}に属する任意のベクトルは\(Y\)の後退ベクトルです。

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N+1}\)が非空性と凸性を満たすものとします。その上で、\(Y\)のすべての後退ベクトルからなる集合を\(Y\)の後退錐（recession cone）と呼び、これを、\begin{eqnarray*}\mathrm{recc}\left( Y\right) &=&\left\{ \left( x^{\prime },y^{\prime
}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\ |\ \forall \left( x,y\right) \in Y:\left( x,y\right) +\left(
x^{\prime },y^{\prime }\right) \in Y\right\} \\
&=&\left\{ \left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\ |\ Y+\left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \in Y\right\}
\end{eqnarray*}で表記します。

先の例から明らかであるように、生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N+1}\)が非空性と凸性に加えて無償廃棄可能性を満たす場合、以下の集合\begin{equation*}\mathbb{R} _{+}^{N}\times \left\{ 0\right\} =\left\{ \left( x^{\prime },0\right) \in \mathbb{R} ^{N+1}\ |\ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{n}^{\prime }\geq0\right\}
\end{equation*}の任意のベクトルは生産集合の後退ベクトルになります。したがって以下を得ます。

生産集合の中立性

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N+1}\)が非空性、凸性、無償廃棄可能性を満たす場合には、\begin{equation}\mathbb{R} _{+}^{N}\times \left\{ 0\right\} \subset \mathrm{recc}\left( Y\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立つことが明らかになりましたが、逆に、\begin{equation}
\mathrm{recc}\left( Y\right) \subset \mathbb{R} _{+}^{N}\times \left\{ 0\right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}という関係は成り立つとは限りません。そこで、\(\left( 2\right) \)が成り立つ場合、\(Y\)は中立性（neutrality）を満たすと言います。\(\left( 1\right) \)が常に成り立つことを踏まえると、\(\left( 2\right) \)が成り立つことは、\begin{equation*}\mathrm{recc}\left( Y\right) =\mathbb{R} _{+}^{N}\times \left\{ 0\right\}
\end{equation*}と必要十分です。

例（中立性）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{2}\)が下図のグレーの領域として描かれています。

この生産集合は非空性、凸性、無償廃棄性を満たすため、\(\mathbb{R} _{+}\times \left\{ 0\right\} \)に属する任意のベクトルは\(Y\)の後退ベクトルです。その一方で、\(y^{\prime }>0\)を満たすベクトル\(\left( x^{\prime},y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\left( x,y\right) +\left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \not\in Y
\end{equation*}を満たす生産ベクトル\(\left( x,y\right) \in Y\)がそれぞれ存在するため（上図）、\(\left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \)は\(Y\)の後退ベクトルではありません。したがって、\begin{equation*}\mathrm{recc}\left( Y\right) =\mathbb{R} _{+}\times \left\{ 0\right\}
\end{equation*}が成り立つため、\(Y\)は中立性を満たします。

例（中立性）

2種類の商品が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{2}\)が下図のグレーの領域として描かれています。

この生産集合は非空性、凸性、無償廃棄性を満たすため、\(\mathbb{R} _{+}\times \left\{ 0\right\} \)に属する任意のベクトルは\(Y\)の後退ベクトルです。加えて、図中の矢印で表されるベクトルを\(\left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \)で表すならば、これは\(\mathbb{R} _{+}\times \left\{ 0\right\} \)に属さない一方で、\begin{equation*}\forall \left( x,y\right) \in Y:\left( x,y\right) +\left( x^{\prime
},y^{\prime }\right) \in Y
\end{equation*}が成り立つため（上図）、\(\left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \)は\(Y\)の後退ベクトルです。したがって、\(Y\)は中立性を満たしません。

生産集合\(Y\)が中立性であることは何を意味するのでしょうか。\(Y\)が非空性、凸性、無償廃棄可能性に加えて中立性を満たす場合、すなわち、\begin{equation*}\mathrm{recc}\left( Y\right) \subset \mathbb{R} _{+}^{N}\times \left\{ 0\right\}
\end{equation*}が成り立つ場合、これは、\begin{equation*}
\forall \left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}:\left[ \left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \in \mathrm{recc}\left( Y\right) \Rightarrow \left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\times \left\{ 0\right\} \right] \end{equation*}を意味しますが、対偶をとると、\begin{equation*}
\forall \left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}:\left[ \left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \not\in \mathbb{R} _{+}^{N}\times \left\{ 0\right\} \Rightarrow \left( x^{\prime },y^{\prime
}\right) \not\in \mathrm{recc}\left( Y\right) \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}:\left[ y^{\prime }>0\Rightarrow \left( x^{\prime },y^{\prime
}\right) \not\in \mathrm{recc}\left( Y\right) \right] \end{equation*}を得ます。後退錐の定義より、これは、\begin{equation*}
\forall \left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}:\left[ y^{\prime }>0\Rightarrow \exists \left( x,y\right) \in
Y:\left( x,y\right) +\left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \not\in Y\right] \end{equation*}を意味します。したがって、中立性の仮定とは、生産物の産出量を増やそうとする行為が技術的に不可能であるような局面が必ず到来することを意味します。

逆に、生産集合\(Y\)が非空性、凸性、無償廃棄可能性を満たす一方で中立性を満たさない場合には、上の命題の否定である、\begin{equation*}\exists \left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}:\left[ y^{\prime }>0\wedge \forall \left( x,y\right) \in Y:\left(
x,y\right) +\left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \in Y\right] \end{equation*}を得ます。つまり、中立性の仮定が成り立たない場合には、技術的に選択可能な生産ベクトル\(\left( x,y\right) \)を任意に選んだとき、さらにそこから生産物の純産出量を増やすことが技術的に可能です。中立性はこのような可能性を排除します。

生産関数の性質としての中立性

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)が与えられたとき、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの投入ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\max \left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( x,y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}を値として定める関数として定義されます。先の議論より、\(Y\)が非空性、凸性、無償廃棄可能性を満たす場合、\(Y\)が中立性を満たすことは、\begin{equation*}\forall \left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}:\left[ y^{\prime }>0\Rightarrow \exists \left( x,y\right) \in
Y:\left( x,y\right) +\left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \not\in Y\right] \end{equation*}と必要十分ですが、生産関数\(f\)を用いてこれを表現すると、\begin{equation*}\forall \left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}:\left[ y^{\prime }>0\Rightarrow \exists \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}:f\left( x\right) \geq y\wedge f\left( x+x^{\prime }\right)
<y+y^{\prime }\right] \end{equation*}となります。

例（中立性）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y\leq x^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします（下図）。

\(Y\)は非空性、凸性、無償廃棄可能性を明らかに満たします。生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めます。\(y^{\prime }>0\)を満たす\(\left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選びます。\(x^{\prime }=0\)を満たす場合には、生産ベクトル\(\left( 0,0\right) \in Y\)に関して、\begin{eqnarray*}f\left( 0+x^{\prime }\right) &=&f\left( 0+0\right) \quad \because x^{\prime
}=0 \\
&=&0^{\frac{1}{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&0 \\
&<&y^{\prime }\quad \because y^{\prime }>0 \\
&\leq &y+y^{\prime }\quad \because y\geq 0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。\(x^{\prime}>0\)を満たす場合には、\begin{equation*}f\left( x\right) =y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x^{\frac{1}{2}}=y
\end{equation*}を満たす点\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)の中でも\(x\)が十分大きいものをとることにより、\begin{equation*}\left( x+x^{\prime }\right) ^{\frac{1}{2}}<x^{\frac{1}{2}}+y^{\prime }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x+x^{\prime }\right) <y+y^{\prime }
\end{equation*}が成り立ちます。したがって\(Y\)は中立性を満たします。

先の命題より、生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N+1}\)が非空性、凸性、無償廃棄性を満たす一方で、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在するとともに、\begin{equation*}\exists \left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}:\left[ y^{\prime }>0\Rightarrow \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}:f\left( x\right) \geq y\wedge f\left( x+x^{\prime }\right) \geq
y+y^{\prime }\right] \end{equation*}が成り立つ場合には、\(Y\)は中立性を満たしません。

例（中立性）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y\leq x\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします（下図）。

\(Y\)は非空性、凸性、無償廃棄可能性を明らかに満たします。生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めます。ベクトル\(\left( 1,\frac{1}{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に注目した場合、\(f\left( x\right) \geq y\)すなわち\(x\geq y\)を満たす任意の生産ベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x+1\right) &=&x+1 \\
&\geq &y+1 \\
&\geq &y+\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(Y\)は中立性を満たしません。