生産集合の後退錐

前節まで、生産集合に課される標準的な仮定として、閉性、操業停止可能性、フリーランチ不可能性、無償廃棄可能性、および凸性について学びました。これらの仮定は生産技術の数学的・経済学的な性質を表すものであり、生産者理論の基礎を構成しています。

しかし、これらの仮定だけでは、生産者が利潤を最大化する生産計画を必ず選択できるとは限りません。例えば、生産物を一定の割合で増やし続けることが技術的に可能である場合には、生産者は利潤を際限なく増やすことができ、利潤最大化問題は解を持たない可能性があります。

このような事態を排除するためには、生産技術がどの方向にどこまでも拡張できるのかを調べる必要があります。そのために用いられる概念が後退錐（recession cone）です。後退錐を用いることで、生産集合を無限遠まで見渡したときの形状を数学的に記述することができます。

本節では、まず生産集合の後退ベクトルと後退錐を導入し、その上で、生産物方向への無限の拡張可能性を排除する性質を定義します。この性質は、多くのミクロ経済学の教科書では明示的に扱われていませんが、後に学ぶ利潤最大化問題において、利潤を際限なく増加させることのできる生産方向を排除し、一定の条件のもとで利潤最大化解の存在を保証する上で重要な役割を果たします。

\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおける生産ベクトルは投入ベクトルと産出量の組\begin{equation*}\left( \boldsymbol{x},y\right) =\left( x_{1},\cdots ,x_{N},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。生産者が技術的に選択可能な生産ベクトルからなる集合は生産集合\begin{equation*}
Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。その上で、\(Y\)が非空の凸集合であるとともに、非負の成分からなるベクトル\(\left( \boldsymbol{x}^{\prime },y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)が以下の条件\begin{equation*}Y+\left( \boldsymbol{x}^{\prime },y^{\prime }\right) \subset Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y:\left( \boldsymbol{x},y\right)
+\left( \boldsymbol{x}^{\prime },y^{\prime }\right) \in Y
\end{equation*}を満たす場合には、\(\left( \boldsymbol{x}^{\prime },y^{\prime }\right) \)を\(Y\)の後退ベクトル（recession vector）と呼びます。

あるベクトル\(\left( \boldsymbol{x}^{\prime },y^{\prime }\right) \)が生産集合\(Y\)の後退ベクトルであるとは、生産集合のどの点\(\left( \boldsymbol{x},y\right) \)から出発しても、そのベクトル\(\left( \boldsymbol{x}^{\prime },y^{\prime }\right) \)を何度でも繰り返し足し続けることができ、しかも足した先の点が常に生産集合に含まれることを意味します。したがって、後退ベクトルは生産集合が無限に伸びている方向を表していると考えることができます。

例えば、1生産要素1生産物モデルにおいて\(\left( 1,0\right) \)が後退ベクトルであれば、生産要素を\(1\)単位ずつ増やしながら同じ方向へどこまでも進むことができます。一方、\(\left( 1,1\right) \)が後退ベクトルであれば、生産要素を\(1\)単位増やすたびに生産物も\(1\)単位増やすという生産方法を、際限なく繰り返すことができます。

例（生産集合の後退ベクトル）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{2}\)が下図のグレーの領域として描かれています。

\(Y\)は非空な凸集合です。以下の集合\begin{equation*}\mathbb{R} _{+}\times \left\{ 0\right\} =\left\{ \left( x^{\prime },0\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ x^{\prime }\geq 0\right\} \end{equation*}に属するベクトル\(\left(x^{\prime },0\right) \in \mathbb{R} _{+}\times \left\{ 0\right\} \)に注目すると、任意の\(\left( x,y\right) \in Y\)に対して、\begin{equation*}\left( x,y\right) +\left( x^{\prime },0\right) =\left( x+x^{\prime
},y\right) \in Y
\end{equation*}が成り立つため、\(\left(x^{\prime },0\right) \)は\(Y\)の後退ベクトルです。\(\mathbb{R} _{+}\times \left\{ 0\right\} \)上の任意のベクトルについて同様であるため、\(\mathbb{R} _{+}\times \left\{ 0\right\} \)上の任意のベクトルは\(Y\)の後退ベクトルです。

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N+1}\)が非空性と凸性を満たすものとします。その上で、\(Y\)のすべての後退ベクトルからなる集合を\(Y\)の後退錐（recession cone）と呼び、これを、\begin{eqnarray*}\mathrm{recc}\left( Y\right) &=&\left\{ \left( \boldsymbol{x}^{\prime
},y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\ |\ Y+\left( \boldsymbol{x}^{\prime },y^{\prime }\right) \in
Y\right\} \\
&=&\left\{ \left( \boldsymbol{x}^{\prime },y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\ |\ \forall \left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y:\left(
\boldsymbol{x},y\right) +\left( \boldsymbol{x}^{\prime },y^{\prime }\right)
\in Y\right\}
\end{eqnarray*}と表記します。

後退ベクトルは生産集合が無限に伸びている方向を表しているため、後退ベクトルからなる集合である後退錐は、生産技術がどの方向に無限に広がっているかを表す概念です。

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N+1}\)が非空性と凸性に加えて無償廃棄可能性を満たす場合、以下の集合\begin{equation*}\mathbb{R} _{+}^{N}\times \left\{ 0\right\} =\left\{ \left( \boldsymbol{x}^{\prime},0\right) \in \mathbb{R} ^{N+1}\ |\ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{n}^{\prime }\geq
0\right\}
\end{equation*}に属する任意のベクトルは生産集合の後退ベクトルになります。つまり、産出量は増やさずに生産要素を無限に増やしてもなお、得られる生産ベクトルは技術的に選択可能であり続けるということです。

生産集合の産出方向後退不存在性

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N+1}\)が非空性、凸性、無償廃棄可能性を満たす場合には以下の関係\begin{equation*}\mathbb{R} _{+}^{N}\times \left\{ 0\right\} \subset \mathrm{recc}\left( Y\right) \end{equation*}が成り立つことが明らかになりましたが、逆に、以下の包含関係\begin{equation*}
\mathrm{recc}\left( Y\right) \subset \mathbb{R} _{+}^{N}\times \left\{ 0\right\}
\end{equation*}は成り立つとは限りません。そこで、後者の包含関係が成り立つ場合、\(Y\)は産出方向後退不存在性（absence of output recession directions）を満たすと言います。

産出方向後退不存在性は、生産物の産出量を増加させるような後退方向が存在しないという性質です。後退錐の観点から言えば、生産集合は生産要素方向にはどこまで広がっていても構いません。しかし、生産物の産出量を正の割合で増やす方向には無限に広がっていてはならないということです。

言い換えると、生産物の産出量を一定の割合で増加させる同一の生産方向を、生産集合のどの点から出発しても無限に繰り返すことはできません。

例（産出方向後退不存在性）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{2}\)が下図のグレーの領域として描かれています。

この生産集合は非空性、凸性、無償廃棄性を満たすため、\begin{equation*}\mathbb{R} _{+}^{N}\times \left\{ 0\right\} \subset \mathrm{recc}\left( Y\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R} _{+}\times \left\{ 0\right\} \)に属する任意のベクトルは\(Y\)の後退ベクトルです。さらに、\begin{equation*}\mathrm{recc}\left( Y\right) \subset \mathbb{R} _{+}^{N}\times \left\{ 0\right\}
\end{equation*}もまた成立することを示します。対偶より、\(\mathbb{R} _{+}^{N}\times \left\{ 0\right\} \)に属さない任意のベクトルが\(Y\)の後退ベクトルではないことを示すことが目標です。そこで、\(y^{\prime }>0\)を満たすベクトル\(\left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選びます。それに対して、\begin{equation*}\left( x,y\right) +\left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \not\in Y
\end{equation*}を満たす生産ベクトル\(\left( x,y\right) \in Y\)がそれぞれ存在するため（上図）、\(\left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \)は\(Y\)の後退ベクトルではありません。したがって\(Y\)は産出方向後退不存在性を満たします。

例（産出方向後退不存在性）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{2}\)が下図のグレーの領域として描かれています。

以下の包含関係\begin{equation*}\mathrm{recc}\left( Y\right) \subset \mathbb{R} _{+}^{N}\times \left\{ 0\right\}
\end{equation*}は成立しません。実際、図中の矢印で表されるベクトルを\(\left(x^{\prime },y^{\prime }\right) \)で表すならば、これは\(\mathbb{R} _{+}\times \left\{ 0\right\} \)に属さない一方で、\begin{equation*}\forall \left( x,y\right) \in Y:\left( x,y\right) +\left( x^{\prime
},y^{\prime }\right) \in Y
\end{equation*}が成り立つため（上図）、\(\left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \)は\(Y\)の後退ベクトルです。したがって、\(Y\)は産出方向後退不存在性を満たしません。

生産集合\(Y\)が非空性、凸性、無償廃棄可能性に加えて産出方向後退不存在性を満たす場合、すなわち、\begin{equation*}\mathrm{recc}\left( Y\right) \subset \mathbb{R} _{+}^{N}\times \left\{ 0\right\}
\end{equation*}が成り立つ場合、これは、\begin{equation*}
\forall \left( \boldsymbol{x}^{\prime },y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}:\left[ \left( \boldsymbol{x}^{\prime },y^{\prime }\right) \in
\mathrm{recc}\left( Y\right) \Rightarrow \left( \boldsymbol{x}^{\prime
},y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\times \left\{ 0\right\} \right] \end{equation*}を意味しますが、対偶をとると、\begin{equation*}
\forall \left( \boldsymbol{x}^{\prime },y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}:\left[ \left( \boldsymbol{x}^{\prime },y^{\prime }\right) \not\in \mathbb{R} _{+}^{N}\times \left\{ 0\right\} \Rightarrow \left( \boldsymbol{x}^{\prime
},y^{\prime }\right) \not\in \mathrm{recc}\left( Y\right) \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \left( \boldsymbol{x}^{\prime },y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}:\left[ y^{\prime }>0\Rightarrow \left( \boldsymbol{x}^{\prime
},y^{\prime }\right) \not\in \mathrm{recc}\left( Y\right) \right] \end{equation*}を得ます。後退錐の定義より、これは、\begin{equation*}
\forall \left( \boldsymbol{x}^{\prime },y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}:\left[ y^{\prime }>0\Rightarrow \exists \left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y:\left( \boldsymbol{x},y\right) +\left( \boldsymbol{x}^{\prime },y^{\prime }\right) \not\in Y\right] \end{equation*}を意味します。したがって、産出方向後退不存在性とは、生産物の産出量を増やそうとする行為が技術的に不可能であるような局面が必ず到来することを意味します。

逆に、生産集合\(Y\)が非空性、凸性、無償廃棄可能性を満たす一方で産出方向後退不存在性を満たさない場合には、上の命題の否定である、\begin{equation*}\exists \left( \boldsymbol{x}^{\prime },y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}:\left[ y^{\prime }>0\wedge \forall \left( \boldsymbol{x},y\right)
\in Y:\left( \boldsymbol{x},y\right) +\left( \boldsymbol{x}^{\prime
},y^{\prime }\right) \in Y\right] \end{equation*}が成り立ちます。つまり、産出方向後退不存在性が成り立たない場合には、技術的に選択可能な生産ベクトル\(\left( \boldsymbol{x},y\right) \)を任意に選んだとき、さらにそこから生産物の産出量を増やすことが技術的に可能です。産出方向後退不存在性はこのような可能性を排除します。

生産関数の性質としての産出方向後退不存在性

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)が与えられたとき、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在する場合には、それぞれの投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\max P\left( \boldsymbol{x}\right) \\
&=&\max \left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y\right\}
\end{eqnarray*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
P\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}は\(\boldsymbol{x}\)の可能産出量集合です。

先の議論より、生産集合\(Y\)が非空性、凸性、無償廃棄可能性を満たす場合、\(Y\)が産出方向後退不存在性を満たすことは、\begin{equation*}\forall \left( \boldsymbol{x}^{\prime },y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}:\left[ y^{\prime }>0\Rightarrow \exists \left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y:\left( \boldsymbol{x},y\right) +\left( \boldsymbol{x}^{\prime },y^{\prime }\right) \not\in Y\right] \end{equation*}と必要十分ですが、生産関数\(f\)を用いてこれを表現すると、\begin{equation*}\forall \left( \boldsymbol{x}^{\prime },y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}:\left[ y^{\prime }>0\Rightarrow \exists \left( \boldsymbol{x},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}:f\left( \boldsymbol{x}\right) \geq y\wedge f\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}^{\prime }\right) <y+y^{\prime }\right] \end{equation*}となります。

例（産出方向後退不存在性）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y\leq x^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします（下図）。

\(Y\)は非空性、凸性、無償廃棄可能性を明らかに満たします。生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めます。\(y^{\prime }>0\)を満たす\(\left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選びます。\(x^{\prime }=0\)を満たす場合には、生産ベクトル\(\left( 0,0\right) \in Y\)に関して、\begin{eqnarray*}f\left( 0+x^{\prime }\right) &=&f\left( 0+0\right) \quad \because x^{\prime
}=0 \\
&=&0^{\frac{1}{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&0 \\
&<&y^{\prime }\quad \because y^{\prime }>0 \\
&\leq &y+y^{\prime }\quad \because y\geq 0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。\(x^{\prime}>0\)を満たす場合には、\begin{equation*}f\left( x\right) =y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x^{\frac{1}{2}}=y
\end{equation*}を満たす点\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)の中でも\(x\)が十分大きいものをとることにより、\begin{equation*}\left( x+x^{\prime }\right) ^{\frac{1}{2}}<x^{\frac{1}{2}}+y^{\prime }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x+x^{\prime }\right) <y+y^{\prime }
\end{equation*}が成り立ちます。したがって\(Y\)は産出方向後退不存在性を満たします。

先の命題より、生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N+1}\)が非空性、凸性、無償廃棄性を満たす一方で、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在するとともに、\begin{equation*}\exists \left( \boldsymbol{x}^{\prime },y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}:\left[ y^{\prime }>0\Rightarrow \forall \left( \boldsymbol{x},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}:f\left( \boldsymbol{x}\right) \geq y\wedge f\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}^{\prime }\right) \geq y+y^{\prime }\right] \end{equation*}が成り立つ場合には、\(Y\)は産出方向後退不存在性を満たしません。

例（産出方向後退不存在性）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y\leq x\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします（下図）。

\(Y\)は非空性、凸性、無償廃棄可能性を明らかに満たします。生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めます。ベクトル\(\left( 1,\frac{1}{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に注目した場合、\(f\left( x\right) \geq y\)すなわち\(x\geq y\)を満たす任意の生産ベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x+1\right) &=&x+1 \\
&\geq &y+1 \\
&\geq &y+\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(Y\)は産出方向後退不存在性を満たしません。

演習問題