利潤関数
これまでは、所与の価格ベクトルのもとで生産者が直面する利潤最大化問題を定式化し、その解の存在や性質、さらに要素需要と供給について考察してきました。利潤最大化問題を解くことにより、生産者がどの生産計画を選択するかを明らかにできますが、その際に達成される最大利潤そのものも価格に応じて変化します。この最大利潤と価格の関係を表すのが利潤関数（profit function）です。
利潤関数は、それぞれの生産要素価格と生産物価格に対して、生産者が達成可能な最大利潤を対応させる関数です。したがって、利潤関数には、生産技術と生産者の最適化行動に関する情報が集約されています。また、利潤関数は価格について1次同次であるとともに凸であるなど、利潤最大化という最適化問題の構造から導かれる重要な性質をもちます。
本節では、まず利潤関数を厳密に定義した上で、その基本的な性質について考察します。さらに、利潤関数と要素需要・供給との関係を明らかにすることで、価格の変化が最大利潤や生産者の最適行動にどのように反映されるのかを理解するための基礎を整えます。
\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおける生産ベクトルは投入ベクトルと産出量の組\begin{equation*}\boldsymbol{z}=\left( \boldsymbol{x},y\right) =\left( x_{1},\cdots
,x_{N},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。生産者が技術的に選択可能な生産ベクトルからなる集合は生産集合\begin{equation*}
Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に直面した生産者が解くべき利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{\left( \boldsymbol{x},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}\quad \text{s.t.}\quad
\left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y
\end{equation*}として定式化されます。価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \)が変化すれば利潤最大化問題の目的関数\(py-\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}\)が変化するため、それに応じて利潤最大化問題の解も変化し、したがって解において生産者が得る利潤、すなわち\(py-\boldsymbol{w}\cdot x\)の最大値も変化します。以上を踏まえた上で、それぞれの\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して、\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解において生産者が得る利潤\begin{equation*}\pi \left( \boldsymbol{w},p\right) =\max \left\{ py-\boldsymbol{w}\cdot
\boldsymbol{x}\ |\ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
\pi :\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義し、これを利潤関数（profit function）と呼びます。また、利潤関数\(\pi \)が価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \)に対して定める値\(\pi \left( \boldsymbol{w},p\right) \)を利潤（profit）と呼びます。利潤関数\(\pi \)が存在するための条件については後述します。
利潤最大化を目指す生産者の意思決定が利潤最大化対応\begin{equation*}
Z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されているものとします。つまり、価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)のもとでの利潤最大化問題の解からなる集合は、\begin{equation*}Z^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) =\left\{ \left( \boldsymbol{x}^{\ast
},y^{\ast }\right) \in Y\ |\ \forall \left( \boldsymbol{x},y\right) \in
Y:py^{\ast }-\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}^{\ast }\geq py-\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}\right\}
\end{equation*}です。このとき、要素需要対応と供給対応\begin{eqnarray*}
X^{\ast } &:&\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N} \\
Y^{\ast } &:&\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{eqnarray*}はそれぞれ、任意の\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して、\begin{eqnarray*}X^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}^{\ast
}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ \exists y\in \mathbb{R} _{+}:\left( \boldsymbol{x},y\right) \in Z^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) \right\} \\
Y^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) &=&\left\{ y^{\ast }\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \exists \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left( \boldsymbol{x},y\right) \in Z^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) \right\}
\end{eqnarray*}を満たすものとして定義されます。\(X^{\ast }\)と\(Y^{\ast }\)が非空値をとる場合には\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解\begin{equation*}\left( \boldsymbol{x}^{\ast },y^{\ast }\right) \in Z^{\ast }\left(
\boldsymbol{w},p\right)
\end{equation*}をとることができるとともに、\begin{equation*}
\pi \left( \boldsymbol{w},p\right) =py^{\ast }-\boldsymbol{w}\cdot
\boldsymbol{x}^{\ast }
\end{equation*}が成り立ちます。
要素需要関数と供給関数\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{x}^{\ast } &:&\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N} \\
y^{\ast } &:&\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{eqnarray*}が存在する場合には、\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対してこれらの関数が定める値\begin{equation*}\left( \boldsymbol{x}^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) ,y^{\ast }\left(
\boldsymbol{w},p\right) \right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}は\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解であるため、\begin{equation*}\pi \left( \boldsymbol{w},p\right) =py^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right)
-\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在する場合には利潤最大化問題について考える代わりに、生産関数を用いた制約のない最大化問題\begin{equation*}\max_{\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}}pf\left( \boldsymbol{x}\right) -\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}
\end{equation*}を考えても一般性は失われません。この場合には、任意の\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して、\begin{equation*}\pi \left( \boldsymbol{w},p\right) =\max \left\{ pf\left( \boldsymbol{x}\right) -\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}\ |\ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\right\}
\end{equation*}となります。さらに、\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \)のもとでの先の最大化問題の解が\(\boldsymbol{x}^{\ast }\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)であれば、\begin{equation*}\pi \left( \boldsymbol{w},p\right) =pf\left( \boldsymbol{x}^{\ast }\right) -\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}^{\ast }
\end{equation*}が成り立ちます。
利潤関数の存在と連続性
利潤関数が存在するための条件や、利潤関数が連続であるための条件は以下の通りです。証明ではベルジュの最大値定理を用います。
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y\leq x^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めます。この生産集合\(Y\)は連続性、操業停止可能性、凸性、産出方向後退不存在性を満たすため、先の命題より、連続な利潤関数\(\pi :\mathbb{R} _{++}^{2}\twoheadrightarrow \mathbb{R} \)が存在します。価格ベクトル\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)のもとでの利潤最大化問題\begin{equation*}\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}}py-wx\quad \text{s.t.}\quad \left( x,y\right) \in Y
\end{equation*}は以下の問題\begin{equation*}
\max_{x\in \mathbb{R} _{+}}px^{\frac{1}{2}}-wx
\end{equation*}と等価です。目的関数は2階微分可能な狭義凹関数であるため、停留点において最大値をとります。停留点は、\begin{equation*}
\frac{\partial }{\partial x}\left( px^{\frac{1}{2}}-wx\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{1}{2}px^{-\frac{1}{2}}-w=0
\end{equation*}を満たす\(x\)であるため、要素需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( w,p\right) =\frac{p^{2}}{4w^{2}}
\end{equation*}を定めます。したがって利潤関数\(\pi :\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\pi \left( w,p\right) &=&p\left( \frac{p^{2}}{4w^{2}}\right) ^{\frac{1}{2}}-w\frac{p^{2}}{4w^{2}} \\
&=&\frac{p^{2}}{2w}-\frac{p^{2}}{4w} \\
&=&\frac{p^{2}}{4w}
\end{eqnarray*}を定めます。\(\pi \)は多変数の有理関数であるため連続です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
利潤関数は生産物価格に関して単調増加
利潤関数\(\pi :\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する状況を想定します。\(p<p^{\prime }\)を満たす生産物価格\(p,p^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}\)と生産要素価格ベクトル\(\boldsymbol{w}\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\pi \left( \boldsymbol{w},p\right) \leq \pi \left( \boldsymbol{w},p^{\prime
}\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、生産者が直面する生産要素価格を固定したまま生産物価格を上昇させる場合、利潤最大化問題の解において生産者が得る利潤が減少することはありません。つまり、利潤関数\(\pi \)は生産物価格\(p\)に関して単調増加（単調非減少）であるということです。
\leq \pi \left( \boldsymbol{w},p^{\prime }\right) \right] \end{equation*}を満たす。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この場合、利潤関数\(\pi :\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation}\pi \left( w,p\right) =\frac{p^{2}}{4w} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(p<p^{\prime }\)を満たす\(p,p^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}\)と\(w\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\pi \left( w,p\right) &=&\frac{p^{2}}{4w}\quad \because \left( 1\right) \\
&<&\frac{\left( p^{\prime }\right) ^{2}}{4w}\quad \because p<p^{\prime } \\
&=&\pi \left( w,p^{\prime }\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\pi \)は\(p\)に関して狭義単調増加です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
利潤関数は生産要素価格ベクトルに関して単調減少
利潤関数\(\pi :\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する状況を想定します。生産物価格\(p\in \mathbb{R} _{++}\)と\(\boldsymbol{w}<\boldsymbol{w}^{\prime }\)を満たす生産要素価格\(\boldsymbol{w},\boldsymbol{w}^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)をそれぞれ任意に選びます。ただし、\(\boldsymbol{w}<\boldsymbol{w}^{\prime }\)が成り立つこととは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :w_{n}\leq
w_{n}^{\prime } \\
&&\left( b\right) \ \exists n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\}
:w_{n}<w_{n}^{\prime }
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。このとき、\begin{equation*}
\pi \left( \boldsymbol{w},p\right) \geq \pi \left( \boldsymbol{w}^{\prime
},p\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、生産者が直面する生産物価格を固定した上で少なくとも1つの生産要素の価格を上昇させる場合、利潤最大化問題の解において生産者が得る利潤が増加することはありません。つまり、利潤関数\(\pi \)は生産要素価格ベクトル\(\boldsymbol{w}\)に関して単調減少（単調非増加）であるということです。
\left( \boldsymbol{w},p\right) \geq \pi \left( \boldsymbol{w}^{\prime
},p\right) \right] \end{equation*}を満たす。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この場合、利潤関数\(\pi :\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation}\pi \left( w,p\right) =\frac{p^{2}}{4w} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(p\in \mathbb{R} _{++}\)と\(w<w^{\prime }\)を満たす\(w,w^{\prime}\in \mathbb{R} _{++}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\pi \left( w,p\right) &=&\frac{p^{2}}{4w}\quad \because \left( 1\right) \\
&>&\frac{p^{2}}{4w^{\prime }}\quad \because w<w^{\prime } \\
&=&\pi \left( w^{\prime },p\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\pi \)は\(w\)に関して狭義単調減少です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
利潤関数の1次同次性
利潤関数\(\pi :\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \)は1次同次関数です。つまり、\begin{equation*}\forall \left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1},\ \forall \lambda \in \mathbb{R} _{++}:\pi \left( \pi \boldsymbol{w},\pi p\right) =\lambda \pi \left(
\boldsymbol{w},p\right)
\end{equation*}が成り立ちます。以上の事実は、生産者による利潤最大化を前提とした場合、すべての生産要素と生産物の価格が同じ割合で変化する場合には、生産者が得る利潤も同じ割合で変化します。
\boldsymbol{w},p\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この場合、利潤関数\(\pi :\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation}\pi \left( w,p\right) =\frac{p^{2}}{4w} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)と\(\lambda >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\pi \left( \lambda w,\lambda p\right) &=&\frac{\left( \lambda p\right) ^{2}}{4\left( \lambda w\right) }\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{\lambda p^{2}}{4w} \\
&=&\lambda \pi \left( w,p\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\pi \)は\(\left(w,p\right) \)に関して1次同次です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
利潤関数は凸関数
利潤関数\(\pi :\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \)は凸関数です。つまり、\(\left( \boldsymbol{w},p\right) ,\left( \boldsymbol{w}^{\prime },p^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)と\(\lambda \in \left[ 0,1\right] \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\lambda \pi \left( \boldsymbol{w},p\right) +\left( 1-\lambda \right) \pi
\left( \boldsymbol{w}^{\prime },p^{\prime }\right) \geq \pi \left( \lambda
\left( \boldsymbol{w},p\right) +\left( 1-\lambda \right) \left( \boldsymbol{w}^{\prime },p^{\prime }\right) \right)
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この場合、利潤関数\(\pi :\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation}\pi \left( w,p\right) =\frac{p^{2}}{4w} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(\pi \)は多変数の有理関数であるため\(C^{2}\)級です。\(\left(w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)における\(\pi \)のヘッセ行列は、\begin{equation*}H_{\pi }\left( w,p\right) =\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}\frac{p^{2}}{w^{3}} & -\frac{1}{2}\frac{p}{w^{2}} \\
-\frac{1}{2}\frac{p}{w^{2}} & \frac{1}{2w}\end{pmatrix}\end{equation*}です。\(H_{\pi }\left( w,p\right) \)の1次の主座小行列式については、\begin{eqnarray*}\left\vert A_{1}\right\vert &=&\left\vert \frac{1}{2}\frac{p^{2}}{w^{3}}\right\vert =\frac{1}{2}\frac{p^{2}}{w^{3}}>0 \\
\left\vert A_{2}\right\vert &=&\left\vert \frac{1}{2w}\right\vert =\frac{1}{2w}>0
\end{eqnarray*}が成り立ち、2次の主座小行列式については、\begin{equation*}
\left\vert A_{1,2}\right\vert =\begin{vmatrix}
\frac{1}{2}\frac{p^{2}}{w^{3}} & -\frac{1}{2}\frac{p}{w^{2}} \\
-\frac{1}{2}\frac{p}{w^{2}} & \frac{1}{2w}\end{vmatrix}=0
\end{equation*}が成り立つため\(H_{\pi }\left(w,p\right) \)は半正定値です。任意の\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)について同様であるため\(\pi \)は\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上で凸関数です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
演習問題
Y=\left\{ \left( 0,0\right) ,\left( 1,1\right) \right\}
\end{equation*}であるものとします。以下の問いに答えてください。
- \(\mathbb{R} _{+}\)全体を定義域とする生産関数が存在しないことを示してください。
- 利潤関数を求めてください。
- 利潤関数が1次同次かつ凸であることを示してください。
Y=\left\{ \left( 0,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ 0\leq y<1\right\}
\end{equation*}であるものとします。以下の問いに答えてください。
- 利潤関数を上限を用いて表現してください。
- 利潤最大化問題に解が存在しないことを示してください。
Y=\left\{ \left( 0,0\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 3,1\right) \right\}
\end{equation*}であるものとします。以下の問いに答えてください。
- \(Y\)が凸集合ではないことを示してください。
- 利潤関数を求めてください。
- 利潤関数が凸関数であることを示してください。
\end{equation*}です。利潤関数が、\begin{equation*}
\pi \left( \boldsymbol{w},p\right) =\sup_{\left( \boldsymbol{x},y\right) \in
Y}py-\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}
\end{equation*}によって定義されているとき、\begin{equation*}
\pi \left( \boldsymbol{w},p\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\end{equation*}を定める場合、要素需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{3}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)と供給関数\(y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{3}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在して、それぞれの\(\left( w_{1},w_{2},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{3}\)に対して、\begin{eqnarray*}x^{\ast }\left( w_{1},w_{2},p\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( w_{1},w_{2},p\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( w_{1},w_{2},p\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{p^{3}}{27w_{1}^{2}w_{2}} \\
\frac{p^{3}}{27w_{1}w_{2}^{2}}\end{array}\right) \\
y^{\ast }\left( w_{1},w_{2},p\right) &=&\frac{p_{{}}^{2}}{9w_{1}w_{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。利潤関数\(\pi :\mathbb{R} _{++}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)を求めた上で、それが連続であること、生産物価格\(p\)に関して単調増加であること、要素価格ベクトル\(\left( w_{1},w_{2}\right) \)に関して単調減少であること、価格ベクトル\(\left( w_{1},w_{2},p\right) \)に関して1次同次であること、凸関数であることをそれぞれ示してください。
