利潤関数
分析対象である生産者にとって、経済に存在する商品の中でも\(N\)種類の商品が生産要素であり、それらとは異なる\(1\)種類の商品が生産物である状況、すなわち\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルを想定します。
生産者の技術が生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)ないし生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)として表現されているものとします。価格ベクトル\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に直面した生産者が解くべき利潤最大化問題は、以下のような制約付き最大化問題\begin{equation*}\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad f\left( x\right) \geq y
\end{equation*}と表現されますが、\(\left( w,p\right) \)が変化すれば利潤最大化問題の目的関数\(py-w\cdot x\)が変化するため、それに応じて利潤最大化問題の解も変化し、したがって解において生産者が得る利潤、すなわち\(py-w\cdot x\)の最大値も変化します。以上を踏まえた上で、それぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して、\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解において生産者が得る利潤\begin{equation*}\pi \left( w,p\right) =\max \left\{ py-w\cdot x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \geq y\right\}
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
\pi :\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義し、これを利潤関数（profit function）と呼びます。また、利潤関数\(\pi \)が価格ベクトル\(\left( w,p\right) \)に対して定める値\(\pi \left( w,p\right) \)を利潤（profit）と呼びます。利潤関数\(\pi \)が存在するための条件については後述します。
利潤関数が存在するための条件
1生産物モデルにおいて利潤最大化を目指す生産者の意思決定が要素需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)および供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)として表現されているものとします。つまり、価格ベクトル\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)のもとでの利潤最大化問題の解であるような投入ベクトルおよび産出量からなる集合はそれぞれ、\begin{eqnarray*}X^{\ast }\left( w,p\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ \forall x^{\prime }\in \mathbb{R} _{+}^{N}:pf\left( x\right) -w\cdot x\geq pf\left( x^{\prime }\right) -w\cdot
x^{\prime }\right\} \\
Y^{\ast }\left( w,p\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} _{+}\ |\ x\in X^{\ast }\left( w,p\right) \right\}
\end{eqnarray*}です。仮に要素需要対応\(X^{\ast }\)と供給対応\(Y^{\ast }\)が非空値をとる場合には\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解\(\left( x^{\ast },y^{\ast }\right) \in X^{\ast }\left( w,p\right) \times Y^{\ast }\left( w,p\right) \)をとることができますが、利潤最大化問題の解は狭義効率的であることが保証されるため、\begin{equation*}y^{\ast }=f\left( x^{\ast }\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。加えて、利潤関数\(\pi \)の定義より、\begin{eqnarray*}\pi \left( w,p\right) &=&py^{\ast }-w\cdot x^{\ast } \\
&=&pf\left( x^{\ast }\right) -w\cdot x^{\ast }
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。同様の議論は任意の\(\left( w,p\right) \)に関して成立するため、要素需要対応\(X^{\ast }\)と供給対応\(Y^{\ast }\)が非空値をとる場合、利潤関数\(\pi \)と要素需要対応\(X^{\ast }\)および供給対応\(Y^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}\forall \left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1},\ \forall \left( x^{\ast },y^{\ast }\right) \in X^{\ast }\left(
w,p\right) \times Y^{\ast }\left( w,p\right) :\pi \left( w,p\right)
=py^{\ast }-w\cdot x^{\ast }
\end{equation*}または、\begin{equation*}
\forall \left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1},\ \forall x^{\ast }\in X^{\ast }\left( w,p\right) :\pi \left(
w,p\right) =pf\left( x^{\ast }\right) -w\cdot x^{\ast }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、要素需要対応\(X^{\ast }\)と供給対応\(Y^{\ast }\)が非空値をとる場合には利潤関数\(\pi \)が存在することが保証されます。
要素需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)と供給関数\(y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在する場合にも同様の議論が成立します。つまり、価格ベクトル\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して要素需要関数\(x^{\ast }\)と供給関数\(y^{\ast }\)が定める値\(x^{\ast }\left( w,p\right) \times y^{\ast }\left( w,p\right) \)は\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題の唯一の解ですが、利潤最大化問題の解は狭義効率的であることが保証されるため、\begin{equation*}y^{\ast }\left( w,p\right) =f\left( x^{\ast }\left( w,p\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。加えて、利潤関数\(\pi \)の定義より、\begin{eqnarray*}\pi \left( w,p\right) &=&py^{\ast }\left( w,p\right) -w\cdot x^{\ast
}\left( w,p\right) \\
&=&pf\left( x^{\ast }\left( w,p\right) \right) -w\cdot x^{\ast }\left(
w,p\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。同様の議論は任意の\(\left( w,p\right) \)に関して成立するため、要素需要関数\(x^{\ast }\)と供給関数\(y^{\ast }\)が存在する場合、利潤関数\(\pi \)と要素需要関数\(x^{\ast }\)および供給関数\(y^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}\forall \left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}:\pi \left( w,p\right) =py^{\ast }\left( w,p\right) -w\cdot
x^{\ast }\left( w,p\right)
\end{equation*}または、\begin{equation*}
\forall \left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}:\pi \left( w,p\right) =pf\left( x^{\ast }\left( w,p\right)
\right) -w\cdot x^{\ast }\left( w,p\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、要素需要関数\(x^{\ast }\)と供給関数\(y^{\ast }\)が存在する場合には利潤関数\(\pi \)が存在することが保証されます。
1生産物モデルにおいて生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)が連続性、操業停止可能性、無償廃棄可能性、凸性、中立性を満たす場合には要素需要対応\(X^{\ast }\)と供給対応\(Y^{\ast }\)は非空値をとります。したがって以上の条件のもとで利潤関数が存在することが保証されます。加えて、以上の条件のもとではベルジュの最大値定理が利用可能であるため、同定理を利用することにより、利潤関数が連続であることも保証できます。
生産関数\(f\)が連続である場合には生産集合\(Y\)は連続性を満たし、\begin{equation*}f\left( 0\right) =0
\end{equation*}が成り立つ場合に\(Y\)は操業停止可能性を満たし、\(f\)が単調増加（単調非減少）であるとともに、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} _{+}^{N+1},\ \forall y\in \left[ 0,f\left( x\right) \right] :\left(
x,y\right) \in Y
\end{equation*}が成り立つ場合に\(Y\)は無償廃棄可能性を満たし、\(f\)が凹関数である場合に\(Y\)は凸性を満たし、\begin{equation*}\forall \left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}:\left[ y^{\prime }>0\Rightarrow \exists \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}:f\left( x\right) \geq y\wedge f\left( x+x^{\prime }\right)
<y+y^{\prime }\right]
\end{equation*}が成り立つ場合に\(Y\)は中立性を満たします。\(f\)が以上の条件を満たす場合には上の命題が要求する条件がすべて満たされるため、連続な利潤関数\(\pi \)が存在することが保証されます。
\end{equation*}を定める場合、要素需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)と供給関数\(y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在して、それぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}x^{\ast }\left( w,p\right) &=&\frac{p^{2}}{4w^{2}} \\
y^{\ast }\left( w,p\right) &=&\frac{p}{2w}
\end{eqnarray*}を定めます。利潤関数\(\pi ^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\pi \left( w,p\right) &=&py^{\ast }\left( w,p\right) -wx^{\ast }\left(
w,p\right) \\
&=&p\frac{p}{2w}-w\frac{p^{2}}{4w^{2}} \\
&=&\frac{p^{2}}{2w}-\frac{p^{2}}{4w} \\
&=&\frac{p^{2}}{4w}
\end{eqnarray*}を定めますが、これは多変数の有理関数であるため連続です。
利潤関数は生産物価格に関して単調増加
1生産物モデルにおいて利潤最大化問題に直面した生産者の利潤関数\(\pi :\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものとします。\(p<p^{\prime }\)を満たす生産物価格\(p,p^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}\)と生産要素価格ベクトル\(w\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)をそれぞれ任意に選びます。このとき、\begin{equation*}\pi \left( w,p\right) \leq \pi \left( w,p^{\prime }\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されます。つまり、生産者が直面する生産要素価格を一定にした上で生産物価格を上昇させる場合、利潤最大化問題の解において生産者が得る利潤が減少することはありません。つまり、利潤関数\(\pi \)は生産物価格\(p\)に関して単調増加（単調非減少）であるということです。
\left( w,p^{\prime }\right) \right] \end{equation*}を満たす。
\end{equation*}を定める場合、利潤関数\(\pi ^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation}\pi \left( w,p\right) =\frac{p^{2}}{4w} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(p<p^{\prime }\)を満たす\(p,p^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}\)と\(w\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\pi \left( w,p\right) &=&\frac{p^{2}}{4w}\quad \because \left( 1\right) \\
&<&\frac{\left( p^{\prime }\right) ^{2}}{4w}\quad \because p<p^{\prime } \\
&=&\pi \left( w,p^{\prime }\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\pi \)は\(p\)に関して狭義単調増加です。
利潤関数は生産要素価格ベクトルに関して単調減少
1生産物モデルにおいて利潤最大化問題に直面した生産者の利潤関数\(\pi :\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものとします。生産物価格\(p\in \mathbb{R} _{++}\)と\(w<w^{\prime }\)を満たす生産要素価格\(w,w^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)をそれぞれ任意に選びます。ただし、\(w<w^{\prime }\)が成り立つこととは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :w_{i}\leq
w_{i}^{\prime } \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\}
:w_{i}<w_{i}^{\prime }
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。このとき、\begin{equation*}
\pi \left( w,p\right) \leq \pi \left( w^{\prime },p\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されます。つまり、生産者が直面する生産物価格を一定にした上で少なくとも1つの生産要素の価格を上昇させる場合、利潤最大化問題の解において生産者が得る利潤が増加することはありません。つまり、利潤関数\(\pi \)は生産要素価格ベクトル\(w\)に関して単調減少（単調非増加）であるということです。
\left( w^{\prime },p\right) \right] \end{equation*}を満たす。
\end{equation*}を定める場合、利潤関数\(\pi ^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation}\pi \left( w,p\right) =\frac{p^{2}}{4w} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(p\in \mathbb{R} _{++}\)と\(w<w^{\prime }\)を満たす\(w,w^{\prime}\in \mathbb{R} _{++}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\pi \left( w,p\right) &=&\frac{p^{2}}{4w}\quad \because \left( 1\right) \\
&>&\frac{p^{2}}{4w^{\prime }}\quad \because w<w^{\prime } \\
&=&\pi \left( w^{\prime },p\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\pi \)は\(w\)に関して狭義単調減少です。
利潤関数の1次同次性
利潤関数\(\pi :\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \)と要素需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)および供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)の間には、\begin{equation*}\forall \left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1},\ \forall \left( x^{\ast },y^{\ast }\right) \in X^{\ast }\left(
w,p\right) \times Y^{\ast }\left( w,p\right) :\pi \left( w,p\right)
=py^{\ast }-w\cdot x^{\ast }
\end{equation*}という関係が成り立ちますが、以上の関係と要素需要対応\(X^{\ast }\)および供給対応\(Y^{\ast }\)が0次同次であることを利用すると、利潤関数\(\pi \)が1次同次であること、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1},\ \forall \lambda \in \mathbb{R} _{++}:\pi \left( \pi w,\pi p\right) =\lambda \pi \left( w,p\right)
\end{equation*}が導かれます。つまり、生産者による利潤最大化を前提とした場合、すべての商品の価格を同じ割合\(\lambda \)で変化させると、その前後において生産者が得る利潤もまた割合\(\lambda \)で変化します。
\end{equation*}を定める場合、利潤関数\(\pi ^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation}\pi \left( w,p\right) =\frac{p^{2}}{4w} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)と\(\lambda >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\pi \left( \lambda w,\lambda p\right) &=&\frac{\left( \lambda p\right) ^{2}}{4\left( \lambda w\right) }\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{\lambda p^{2}}{4w} \\
&=&\lambda \pi \left( w,p\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\pi \)は\(\left(w,p\right) \)に関して1次同次です。
利潤関数は凸関数
利潤関数\(\pi :\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \)は凸関数です。つまり、\(\left( w,p\right) ,\left( w^{\prime },p^{\prime }\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)と\(\alpha \in \left[ 0,1\right] \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\alpha \pi \left( w,p\right) +\left( 1-\alpha \right) \pi \left( w^{\prime
},p^{\prime }\right) \geq \pi \left( \alpha \left( w,p\right) +\left(
1-\alpha \right) \left( w^{\prime },p^{\prime }\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。
\end{equation*}を定める場合、利潤関数\(\pi ^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation}\pi \left( w,p\right) =\frac{p^{2}}{4w} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(\pi \)は多変数の有理関数であるため\(C^{2}\)級であるとともに、そのヘッセ行列は、\begin{equation*}H_{\pi }\left( w,p\right) =\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}\frac{p^{2}}{w^{3}} & -\frac{1}{2}\frac{p}{w^{2}} \\
-\frac{1}{2}\frac{p}{w^{2}} & \frac{1}{2w}\end{pmatrix}\end{equation*}です。首座小行列の値は、\begin{eqnarray*}
\det \left( A_{1}\left( w,p\right) \right) &=&\det \left( \frac{1}{2}\frac{p^{2}}{w^{3}}\right) >0 \\
\det \left( A_{2}\left( w,p\right) \right) &=&\det
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}\frac{p^{2}}{w^{3}} & -\frac{1}{2}\frac{p}{w^{2}} \\
-\frac{1}{2}\frac{p}{w^{2}} & \frac{1}{2w}\end{pmatrix}=0
\end{eqnarray*}となるため、\(\pi \)は凸関数です。
演習問題
\end{equation*}を定める場合、要素需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{3}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)と供給関数\(y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{3}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在して、それぞれの\(\left( w_{1},w_{2},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{3}\)に対して、\begin{eqnarray*}x^{\ast }\left( w_{1},w_{2},p\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( w_{1},w_{2},p\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( w_{1},w_{2},p\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{p^{3}}{27w_{1}^{2}w_{2}} \\
\frac{p^{3}}{27w_{1}w_{2}^{2}}\end{array}\right) \\
y^{\ast }\left( w_{1},w_{2},p\right) &=&\frac{p_{{}}^{2}}{9w_{1}w_{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。利潤関数\(\pi :\mathbb{R} _{++}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)を求めた上で、それが連続であること、生産物価格\(p\)に関して単調増加であること、要素価格ベクトル\(\left( w_{1},w_{2}\right) \)に関して単調減少であること、価格ベクトル\(\left( w_{1},w_{2},p\right) \)に関して1次独立であること、凹関数であることをそれぞれ示してください。
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