生産関数の定義
これまで、生産集合や効率生産集合について学びました。簡単に復習すると、\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおける生産ベクトルは投入ベクトルと産出量の組\begin{equation*}\left( \boldsymbol{x},y\right) =\left( x_{1},\cdots ,x_{N},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。生産者が技術的に選択可能な生産ベクトルからなる集合は生産集合\begin{equation*}
Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。さらに、投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)の可能産出量集合は、\begin{equation*}P\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}として定義しましたが、これは\(\boldsymbol{x}\)のもとで実現できるすべての生産量からなる集合です。
生産集合や可能産出量集合を用いれば、与えられた投入ベクトルのもとで実現可能な生産計画を表すことができます。しかし、生産集合には一般に非常に多くの生産ベクトルが含まれています。
例えば、生産要素を100単位投入したとき、生産物を100単位生産することも、80単位生産することも、50単位生産することも、生産集合に含まれているかもしれません。しかし、前節で学んだように、生産者は合理的に行動する限り、効率的でない生産計画を採用する理由はありません。したがって、生産者の行動を分析する際には、与えられた投入量のもとで実現可能なすべての産出量を考えるのではなく、その中で実現可能な最大の産出量だけに着目すれば十分です。
この考え方を数学的に表現したものが生産関数（production function）です。生産関数は、生産要素の投入量を与えると、その投入量のもとで達成可能な最大の産出量を対応させる関数です。以下では生産関数を定義し、その性質について詳しく見ていきます。
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)が与えられたとき、それぞれの投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\(\boldsymbol{x}\)のもとで実現可能な産出量の最大値\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =\max \left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}を値として定める多変数関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}が存在する場合、これを生産関数（production function）と呼びます。
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)と投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)が与えられたとき、\(\boldsymbol{x}\)の可能産出量集合は、\begin{equation*}P\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}と定義されるため、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)の定義より以下の関係\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =\max P\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y\leq x\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。投入量\(x\geq 0\)の可能産出量集合は、\begin{eqnarray*}P\left( x\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( x,y\right) \in Y\right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ y\leq x\wedge x\geq 0\right\} \\
&=&\left[ 0,x\right] \end{eqnarray*}であるため、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\max P\left( x\right) \\
&=&\max \left[ 0,x\right] \\
&=&x
\end{eqnarray*}を定めます。
Y=\left\{ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ y\leq x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。投入ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、可能産出量集合は、\begin{eqnarray*}P\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in Y\right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ y\leq x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}\wedge x_{1}\geq
0\wedge y_{2}\geq 0\right\} \\
&=&\left[ 0,x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}\right] \end{eqnarray*}であるため、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\max P\left( x_{1},x_{2}\right) \\
&=&\max \left[ 0,x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}\right] \\
&=&x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。
Y=\left\{ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ y\leq x_{1}+2x_{2}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。投入ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、可能産出量集合は、\begin{eqnarray*}P\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in Y\right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ y\leq x_{1}+2x_{2}\wedge x_{1}\geq 0\wedge y_{2}\geq 0\right\} \\
&=&\left[ 0,x_{1}+2x_{2}\right] \end{eqnarray*}であるため、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\max P\left( x_{1},x_{2}\right) \\
&=&\max \left[ 0,x_{1}+2x_{2}\right] \\
&=&x_{1}+2x_{2}
\end{eqnarray*}を定めます。
生産関数は存在するとは限らない
生産関数は存在するとは限りません。以下の例より明らかです。
Y=\left\{ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ y<x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。投入ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、可能産出量集合は、\begin{eqnarray*}P\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in Y\right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}>y\wedge x_{1}\geq 0\wedge
y_{2}\geq 0\right\} \\
&=&\left[ 0,x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}\right)
\end{eqnarray*}ですが、\begin{equation*}
\max \left[ 0,x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}\right)
\end{equation*}は存在しないため、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)もまた存在しません。
生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)の全域上に定義されるとは限りません。以下の例より明らかです。
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y\leq x\wedge x\geq 1\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。\(0\leq x<1\)を満たす投入量\(x\)に対しては、\begin{eqnarray*}P\left( x\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( x,y\right) \in Y\right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ y\leq x\wedge x\geq 1\right\} \\
&=&\phi \quad \because 0\leq x<1
\end{eqnarray*}ですが、\begin{equation*}
\max \phi
\end{equation*}は存在しないため、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は\([0,1)\)上に定義されません。一方、\(x\geq 1\)を満たす投入量\(x\)に対しては、\begin{eqnarray*}P\left( x\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( x,y\right) \in Y\right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ y\leq x\wedge x\geq 1\right\} \\
&=&\left[ 0,x\right] \end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) &=&\max P\left( x\right) \\
&=&\max \left[ 0,x\right] \\
&=&x
\end{eqnarray*}となります。したがって、生産関数の定義域は\([1,+\infty )\)であることが明らかになりました。
これらの例から明らかであるように、生産関数\(f\)が投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)上で定義されることを保証するためには、\begin{equation*}P\left( \boldsymbol{x}\right) \not=\phi
\end{equation*}であるとともに、\begin{equation*}
\max P\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が存在する必要があります。\(P\left( \boldsymbol{x}\right) \)が有限集合やコンパクト集合であれば最大値は存在します。いずれにせよ、生産関数\(f\)の定義域は、\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ \max P\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} _{+}\right\}
\end{equation*}です。
より一般には、生産関数を、\begin{equation*}
f\left( \boldsymbol{x}\right) =\sup P\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}と定義することも多いです。こちらの定義を採用すれば最大値が存在しない場合でも生産関数を定義できます。しかし、本稿では生産関数を実際に達成可能な最大産出量として解釈するため、上限ではなく最大値を用いて定義します。
生産関数と実現可能な生産ベクトルの関係
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)および実現可能な生産ベクトル\(\left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y\)が与えられているものとします。このとき、\begin{equation*}y\in P\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}ゆえに、\begin{equation*}
P\left( \boldsymbol{x}\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。さらに、\begin{equation*}
f\left( \boldsymbol{x}\right) =\max P\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が存在するものとします。つまり、生産関数\(f\)が\(\boldsymbol{x}\)上において定義されているということです。この場合、\begin{eqnarray*}f\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\max P\left( \boldsymbol{x}\right) \quad
\because f\text{の定義} \\
&\geq &y\quad \because y\in P\left( \boldsymbol{x}\right) \text{および最大値の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\end{equation*}が成り立つ。
先の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \geq y\)が成り立つ場合、\(\left( \boldsymbol{x},y\right) \)は実現可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}が成り立つものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
f\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\max P\left( \boldsymbol{x}\right) \\
&=&\max \left\{ 0,2\right\} \\
&=&2
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
f\left( \boldsymbol{x}\right) \geq 1
\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、\begin{equation*}
\left( \boldsymbol{x},1\right) \not\in Y
\end{equation*}です。
以上の議論より、生産関数\(f\)が投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\)上において定義されている場合、\begin{equation*}\left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y\Rightarrow f\left( \boldsymbol{x}\right) \geq y
\end{equation*}は常に成り立つ一方で、\begin{equation*}
f\left( \boldsymbol{x}\right) \geq y\Rightarrow \left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y
\end{equation*}は成り立つとは限らないことが明らかになりました。後者もまた常に成り立つことを保証するためには生産関数\(Y\)に追加的な仮定を設ける必要があります。詳細は場を改めて解説します。
生産関数と効率生産ベクトルの関係
実現可能な生産ベクトル\(\left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y\)のもとでは、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) \geq y
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。特に、\(\left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y^{\ast }\)である場合には、すなわち\(\left( \boldsymbol{x},y\right) \)が狭義効率的である場合には、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =y
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(Y^{\ast }\)は狭義効率生産集合である。
先の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、\(y=f\left( \boldsymbol{x}\right) \)が成り立つ場合に\(\left( \boldsymbol{x},y\right) \)は狭義効率的であるとは限りません。以下の例より明らかです。
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ 0\leq x\leq 5\wedge y\leq x\right\} \cup \left\{ \left(
x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ x\geq 5\wedge y\leq 5\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。以下の生産ベクトル\begin{equation*}
\left( 6,5\right) \in Y
\end{equation*}に注目すると、\begin{eqnarray*}
f\left( 6\right) &=&\max \left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( 6,y\right) \in Y\right\} \\
&=&5\quad \because Y\text{の定義}
\end{eqnarray*}である一方で、生産ベクトル\(\left( 6,5\right) \)は以下の生産ベクトル\begin{equation*}\left( 5,5\right) \in Y
\end{equation*}によって広義支配されます。したがって、\begin{equation*}
\left( 6,5\right) \not\in Y^{\ast }
\end{equation*}を得ます。
ちなみに、広義効率的な生産ベクトル\(\left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y^{\ast \ast }\)のもとでは\(f\left( \boldsymbol{x}\right) =y\)は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}が成り立つとともに、\(\left( \boldsymbol{x},0\right) \in Y\)は広義効率的であるものとします。つまり、\begin{equation*}\left( \boldsymbol{x},0\right) \in Y^{\ast \ast }
\end{equation*}です。その一方で、\begin{eqnarray*}
f\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\max P\left( \boldsymbol{x}\right) \\
&=&\max \left\{ 0,2\right\} \\
&=&2
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
f\left( \boldsymbol{x}\right) \not=0
\end{equation*}を得ます。
演習問題
f\left( x\right) =3x
\end{equation*}で与えられているものとします。以下の問いに答えてください。
- 投入量が\(x=4\)のとき、生産可能な産出量の最大値を求めてください。
- 生産ベクトル\(\left( 4,8\right) \)は効率的でしょうか。
- 生産ベクトル\(\left( 4,12\right) \)は効率的でしょうか。
f\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+2x_{2}
\end{equation*}で与えられているものとします。以下の問いに答えてください。
- 投入ベクトル\(\left( 3,2\right) \)のもとで実現可能な最大産出量を求めてください。
- 生産ベクトル\(\left( 3,2,6\right) \)は実現可能でしょうか。
- 生産ベクトル\(\left( 3,2,8\right) \)は実現可能でしょうか。
- 生産ベクトル\(\left( 3,2,5\right) \)は効率的でしょうか。
Y=\left\{ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ y\leq \min \left\{ x_{1},\frac{x_{2}}{2}\right\} \right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)を明らかにしてください。
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y<x\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)を明らかにしてください。
