生産関数
分析対象である生産者にとって、経済に存在する商品の中でも\(N\)種類の商品が生産要素であり、それらとは異なる\(1\)種類の商品が生産物である状況、すなわち\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルを想定します。\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおいて生産ベクトルは投入ベクトルと産出量の組\begin{equation*}\left( x,y\right) =\left( x_{1},\cdots ,x_{N},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。生産者が技術的に選択可能な生産ベクトルからなる集合を生産集合\begin{equation*}
Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として定式化しましたが、生産者の技術を関数を用いて表現することもできます。
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)が与えられたとき、それぞれの投入ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\max \left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( x,y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}を値として定める多変数関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}が存在する場合、これを生産関数（production function）と呼びます。つまり、生産関数は入力した投入ベクトルに対して、技術的な制約のもとで実現可能な産出量の最大値を与える関数です。
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)および投入ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)が与えられたとき、\(x\)の可能産出量集合は、\begin{equation*}P\left( x\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( x,y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}と定義されるため、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)の定義より、\begin{equation*}f\left( x\right) =\max P\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。
Y=\left\{ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}\geq y\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。投入ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、可能産出量集合は、\begin{eqnarray*}P\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in Y\right\} \quad \because \text{可能産出量集合の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}\geq y\wedge x_{1}\geq
0\wedge y_{2}\geq 0\right\} \quad \because Y\text{の定義}
\\
&=&\left[ 0,x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}\right] \end{eqnarray*}となるため、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\max P\left( x_{1},x_{2}\right) \quad
\because \text{生産関数の定義} \\
&=&\max \left[ 0,x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}\right] \\
&=&x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。
Y=\left\{ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ x_{1}+2x_{2}\geq y\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。投入ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、可能産出量集合は、\begin{eqnarray*}P\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in Y\right\} \quad \because \text{可能産出量集合の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ x_{1}+2x_{2}\geq y\wedge x_{1}\geq 0\wedge y_{2}\geq 0\right\}
\quad \because Y\text{の定義} \\
&=&\left[ 0,x_{1}+2x_{2}\right] \end{eqnarray*}となるため、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\max P\left( x_{1},x_{2}\right) \quad
\because \text{生産関数の定義} \\
&=&\max \left[ 0,x_{1}+2x_{2}\right] \\
&=&x_{1}+2x_{2}
\end{eqnarray*}を定めます。
生産関数は存在するとは限りません。以下の例より明らかです。
Y=\left\{ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}>y\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。投入ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、可能産出量集合は、\begin{eqnarray*}P\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in Y\right\} \quad \because \text{可能産出量集合の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}>y\wedge x_{1}\geq 0\wedge
y_{2}\geq 0\right\} \quad \because Y\text{の定義} \\
&=&\left[ 0,x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}\right)
\end{eqnarray*}となるため\(\max P\left( x_{1},x_{2}\right) \)は存在しません。したがって生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)もまた存在しません。
生産関数と効率生産ベクトルの関係
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)が与えられたとき、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が投入ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値は、\begin{equation*}f\left( x\right) =\max \left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( x,y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}であるため、点\(\left( x,y\right)\in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left( x,y\right) \in Y &\Rightarrow &\max \left\{ y^{\prime }\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( x,y^{\prime }\right) \in Y\right\} \geq y\quad \because
\text{最大値の定義} \\
&\Rightarrow &f\left( x\right) \geq y\quad \because \text{生産関数の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left( x,y\right) \in Y\Rightarrow f\left( x\right) \geq y
\end{equation*}という関係が成り立ちます。特に、生産ベクトル\(\left( x,y\right) \)が効率的である場合には以下が成り立ちます。
\end{equation*}が成り立つ。
価格ベクトル\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)が与えられたとき、生産ベクトル\(\left( x,y\right)\in Y\)のもとで利潤が最大化される場合には\(\left( x,y\right) \)が狭義効率的であることが保証されます。さらに上の命題より、狭義効率的な生産ベクトル\(\left( x,y\right) \)に対して\(f\left( x\right) =y\)が成り立ちます。したがって、与えられた価格ベクトル\(\left( w,p\right) \)のもとで利潤を最大化する生産ベクトルを探す場合には、\(f\left( x\right) =y\)を満たす生産ベクトル\(\left(x,y\right) \)だけを候補とすればよいということになります。ただし、生産集合\(Y\)と狭義効率生産集合\(Y^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}Y^{\ast }\subset Y\cap Y^{f}
\end{equation*}という関係が成り立つため、\(Y\)が閉集合ではない場合には\(Y\)の境界点は\(Y\)に含まれるとは限らず、この場合には\(Y^{\ast }\subset \phi =Y\cap Y^{f}\)すなわち、\begin{equation*}Y^{\ast }=\phi
\end{equation*}となる可能性があり、効率的な生産ベクトルが存在しないことになってしまいます。ただ、\(Y\)が閉集合である場合には、\begin{equation*}Y^{\ast }\subset Y^{f}\subset Y
\end{equation*}となるため問題を回避できます。\(Y\)が閉集合である場合、利潤を最大化する生産ベクトルを探す際には、\(f\left( x\right) =y\)を満たす生産ベクトル\(\left( x,y\right) \)だけを候補としても一般性は失われないということです。
ちなみに、先の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、\(y=f\left( x\right) \)が成り立つ場合に\(\left( x,y\right) \)は効率的であるとは限りません。以下の例より明らかです。
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ 0\leq x\leq 5\wedge y\leq x\right\} \cup \left\{ \left(
x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ x\geq 5\wedge y\leq 5\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。以下の生産ベクトル\begin{equation*}
\left( 6,5\right) \in Y
\end{equation*}に注目したとき、\begin{eqnarray*}
f\left( 6\right) &=&\max \left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( 6,y\right) \in Y\right\} \quad \because \text{生産関数の定義} \\
&=&5\quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つ一方で、先の生産ベクトル\(\left(6,5\right) \)は以下の生産ベクトル\begin{equation*}\left( 5,5\right) \in Y
\end{equation*}によって広義に支配されます。
演習問題
Y=\left\{ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ \min \left\{ x_{1},\frac{x_{2}}{2}\right\} \geq y\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)を明らかにしてください。
\end{equation*}が成り立つことを本文中で確認しました。逆に、任意の\(\left( x,y\right)\in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) \geq y\Rightarrow \left( x,y\right) \in Y
\end{equation*}という関係も成り立つでしょうか。議論してください。
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