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PRODUCER THEORY

生産集合の連続性

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連続な生産集合

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が閉集合である場合、\(Y\)は連続性(continuity)を満たすと言います。生産集合\(Y\)が\(\mathbb{R} ^{N}\)上の閉集合であることは様々な形で表現できますが、1つの定義は、\(Y\)の境界点がすべて\(Y\)の点であるというものです。生産集合\(Y\)の境界\(Y^{f}\)は変換フロンティアであるため、生産集合が閉集合であるという仮定は、変換フロンティアが生産集合の部分集合であるものと認めることを意味します。

点列を用いて閉集合の概念を定義することもできます。具体的には、\(Y\)の要素である生産ベクトルを項とするとともに、収束する点列\(\left\{ y_{v}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :y_{v}\in Y \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}\in \mathbb{R} ^{N}
\end{eqnarray*}をともに満たす点列\(\left\{ y_{v}\right\} \)を任意に選ぶということです。一般に、このような点列の極限は\(Y\)の点であるとは限りませんが、仮にその極限が常に\(Y\)の点であるならば、すなわち、\begin{equation*}\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}\in Y
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(Y\)は\(\mathbb{R} ^{N}\)上の閉集合であると言います。

例(連続な生産集合)
2種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{2}\leq -y_{1}\right\}
\end{equation*}と定義されています(下図)。変換フロンティアは、\begin{equation*}
Y^{f}=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{2}=-y_{1}\right\}
\end{equation*}ですが、これは\(Y\)の部分集合であるため\(Y\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の閉集合であり、したがって連続性を満たします。

図:連続な生産集合
図:連続な生産集合

同じことを点列を用いて厳密に証明しましょう。\(Y\)の要素である生産ベクトルを項とするとともに、\(\mathbb{R} ^{2}\)の点に収束する点列\(\left( y_{v}^{\left( 1\right) },y_{v}^{\left( 2\right) }\right) \)を任意に選びます。\(\left(y_{v}^{\left( 1\right) },y_{v}^{\left( 2\right) }\right) \)の任意の項が\(Y\)の要素であることは、\begin{equation}\forall v\in \mathbb{N} :y_{v}^{\left( 2\right) }\leq -y_{v}^{\left( 1\right) } \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味します。また、\(\left(y_{v}^{\left( 1\right) },y_{v}^{\left( 2\right) }\right) \)が\(\mathbb{R} ^{2}\)の点に収束することは、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }\left( y_{v}^{\left( 1\right) },y_{v}^{\left(
2\right) }\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、これは、\begin{equation}
\left( \lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}^{\left( 1\right)
},\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}^{\left( 2\right) }\right) \in \mathbb{R} ^{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}と必要十分です。\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)および収束する数列の性質より、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}^{\left( 2\right) }\leq \lim_{v\rightarrow
\infty }\left( -y_{v}^{\left( 1\right) }\right)
\end{equation*}が成り立ちます。これと\(\left( 2\right) \)および\(Y\)の定義より、\begin{equation*}\left( \lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}^{\left( 1\right)
},\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}^{\left( 2\right) }\right) \in Y
\end{equation*}が成り立つため、\(Y\)が\(\mathbb{R} ^{2}\)上の閉集合であること、したがって連続性を満たすことが明らかになりました。

例(連続な生産集合)
2種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{-}\times \mathbb{R} \ |\ y_{2}\leq \left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}と定義されています(下図)。変換フロンティアは、\begin{equation*}
Y^{f}=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{-}\times \mathbb{R} \ |\ y_{2}=\left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}ですが、これは\(Y\)の部分集合であるため\(Y\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の閉集合であり、したがって連続性を満たします。点列を用いた証明は演習問題にします。

図:連続な生産集合
図:連続な生産集合
例(連続な生産集合)
3種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) \in \mathbb{R} _{-}^{2}\times \mathbb{R} \ |\ y_{3}\leq \left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\left\vert
y_{2}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}と定義されています。変換フロンティアは、\begin{equation*}
Y^{f}=\left\{ \left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) \in \mathbb{R} _{-}^{2}\times \mathbb{R} \ |\ y_{3}=\left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\left\vert
y_{2}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}ですが、これは\(Y\)の部分集合であるため\(Y\)は\(\mathbb{R} ^{3}\)上の閉集合であり、したがって連続性を満たします。点列を用いた証明は演習問題にします。

生産集合\(Y\)が連続であること、すなわち閉集合であることの意味をより深く理解するため、閉集合ではない生産集合がどのような性質を満たすか考えましょう。このとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :y_{v}\in Y \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}\in \mathbb{R} ^{N}
\end{eqnarray*}をともに満たす一方で、\begin{equation*}
\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}\in Y
\end{equation*}を満たさない点列\(\left\{y_{v}\right\} \)が存在するはずです。\(\left( a\right) \)を満たすということは、点列\(\left\{ y_{v}\right\} \)のすべての項が技術的に選択可能な生産ベクトルであることを意味します。\(\left( b\right) \)より点列\(\left\{y_{v}\right\} \)は収束するため、その極限\(\lim\limits_{v\rightarrow \infty}y_{v}\)に相当する生産ベクトルのいくらでも近い所に\(\{y_{v}\}\)の点が無数に存在します。つまり、生産ベクトル\(\lim\limits_{v\rightarrow \infty }y_{v}\)のいくらでも近い所に技術的に選択可能な生産ベクトルが無数に存在するということです。一方、条件\(\left( c\right) \)が成り立たないことは、生産ベクトル\(\lim\limits_{v\rightarrow \infty }y_{v}\)は技術的に選択可能ではないことを意味します。したがって、生産集合が閉集合ではない場合には、技術的に選択可能ではないベクトルのいくらでも近い所に、技術的に選択可能な生産ベクトルが無数に存在する、という事態が起きてしまいます。生産ベクトルが閉集合であるという仮定のもとでは、そのような事態が起こる可能性が排除されます。

 

効率生産集合の存在

復習になりますが、生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)とその境界である生産フロンティア\(Y^{f}\)および効率生産集合\(Y^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}Y^{\ast }\subset Y\cap Y^{f}
\end{equation*}という関係が常に成り立ちます。生産集合\(Y\)が\(\mathbb{R} ^{N}\)上の閉集合でない場合、\(Y\)の境界点は\(Y\)に含まれるとは限りません。仮に\(Y\)のすべての境界点が\(Y\)の要素でない場合には\(Y\cap Y^{f}=\phi \)となりますが、すると上の関係より\(Y^{\ast }=\phi \)となり、効率的な生産ベクトルが存在しないことになってしまいます。一方、生産集合\(Y\)が\(\mathbb{R} ^{N}\)上の閉集合である場合には\(Y^{f}\subset Y\)が成り立つため以下を得ます。

命題(効率生産集合の存在)
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が連続性を満たす場合には、すなわち\(Y\)が\(\mathbb{R} ^{N}\)上の閉集合である場合には、\begin{equation*}Y^{\ast }\subset Y^{f}\subset Y
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(Y^{\ast }\)は効率生産集合、\(Y^{f}\)は変換フロンティアである。

生産集合が連続性を満たす場合、効率的な生産ベクトルは生産集合の境界点であることが明らかになりましたが、その逆は成立するとは限りません。つまり、たとえ生産集合が連続性を満たす場合においても、生産集合の境界点は効率的であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(効率的ではない生産集合の境界点)
2種類の商品が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{2}\)が下図のグレーの領域として描かれています。境界\(Y^{f}\)が変換フロンティアですが、これは\(Y\)の部分集合であるため\(Y\)は連続性を満たします。

図:効率的ではない境界点
図:効率的ではない境界点

変換フロンティア上の生産ベクトル\(y,y^{\prime }\in Y^{f}\)を上図のように選びます。\(y\)は\(y^{\prime }\)に優越するため、\(y^{\prime }\)は効率的ではないにも関わらず\(Y^{f}\)の点です。

 

変換関数の性質としての生産集合の連続性

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が与えられたとき、変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は任意の\(y\in \mathbb{R} ^{N}\)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ y\in Y\Leftrightarrow F\left( y\right) \leq 0 \\
&&\left( b\right) \ y\in Y^{f}\Leftrightarrow F\left( y\right) =0
\end{eqnarray*}を満たすものとして定義されます。生産集合\(Y\)が\(\mathbb{R} ^{N}\)上の閉集合であることと、\(Y\)の境界\(Y^{f}\)が\(Y\)の部分集合であることは必要十分です。逆に、\(Y\)が閉集合でない場合、\(Y\)の要素ではない\(Y\)の境界点\(y\in Y^{f}\)が存在することになります。\(y\not\in Y\)および\(\left( a\right) \)より\(F\left( y\right) >0\)である一方、\(y\in Y^{f}\)および\(\left( b\right) \)より\(F\left( y\right) =0\)であるため矛盾です。したがって変換関数\(F\)の定義が意味をなさなくなってしまいます。一方、生産集合\(Y\)が\(\mathbb{R} ^{N}\)上の閉集合である場合には\(Y^{f}\subset Y\)となることが保証されるため、変換関数\(F\)が\(\mathbb{R} ^{N}\)上の任意の点において定義されます。

例(閉集合ではない生産集合)
2種類の商品が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{2}\)が下図のグレーの領域として、変換フロンティア\(Y^{f}\)がその境界として描かれています。境界が点線で描かれていますが、これは\(Y^{f}\)が\(Y\)に含まれないことを意味します。したがって\(Y\)は閉集合ではありません。境界点\(\left( y_{1},y_{2}\right) \in Y^{f}\)を任意に選んだとき、\(F\)の定義より\(F\left( y_{1},y_{2}\right) =0\)です。一方、\(Y^{f}\)の点は\(Y\)の点ではないため\(\left( y_{1},y_{2}\right) \not\in Y\)であり、すると\(F\)の定義より\(F\left(y_{1},y_{2}\right) >0\)であり矛盾です。これでは変換関数\(F\)が上手く定義できません。

図:閉集合ではない生産集合
図:閉集合ではない生産集合

変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、逆に生産集合\(Y\)は、\begin{equation*}Y=\left\{ y\in \mathbb{R} ^{N}\ |\ F\left( y\right) \leq 0\right\}
\end{equation*}と定義されますが、変換関数\(F\)が連続関数である場合、生産集合\(Y\)が閉集合であること、すなわち連続性を満たすことが保証されます。

命題(連続な変換関数)

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)および変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(F\)が連続関数であるならば\(Y\)は連続性を満たす。

証明

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例(連続な生産関数)
2種類の商品が存在する経済における変換関数\(F:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が、それぞれの\(\left(y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F\left( y_{1},y_{2}\right) =y_{2}+y_{1}
\end{equation*}を定めるものとして定義されています。\(F\)は連続関数であるため、上の命題より生産集合\(Y\)は連続性を満たします。

上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、生産集合\(Y\)が連続性を満たす場合、変換関数\(F\)は\(\mathbb{R} ^{N}\)上の任意の点において連続であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(連続ではない変換関数)
2種類の商品が存在する経済における変換関数\(F:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が、それぞれの\(\left(y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F\left( y_{1},y_{2}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
y_{2}-\left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}} & \left( if\ \left(
y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{-}\times \mathbb{R} \right) \\
1 & \left( if\ \left( y_{1},y_{2}\right) \not\in \mathbb{R} _{-}\times \mathbb{R} \right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとして定義されています。生産集合\(Y\)は、\begin{equation*}Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{-}\times \mathbb{R} \ |\ y_{2}\leq \left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}であり、これは\(\mathbb{R} ^{2}\)上の閉集合であるため\(Y\)は連続性を満たします。一方、変換関数\(F\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続ではありません。

 

生産関数の性質としての生産集合の連続性

経済に存在する商品が\(N\)種類の生産要素と\(1\)種類の生産物に分離可能である場合、それぞれの生産ベクトルは投入ベクトルと産出量の組\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)として表されるため、生産集合\(Y\)は\(\mathbb{R} _{+}^{N+1}\)の部分集合として定義されます。さらに、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( x,y\right) \in Y\Leftrightarrow f\left( x\right)
\geq y \\
&&\left( b\right) \ \left( x,y\right) \in Y^{f}\Leftrightarrow f\left(
x\right) =y
\end{eqnarray*}を満たすものとして定義されます。ただし、\(Y^{f}\)は\(Y\)の境界です。

生産集合\(Y\)が\(\mathbb{R} _{+}^{N+1}\)上の閉集合であることと、\(Y\)の境界\(Y^{f}\)が\(Y\)の部分集合であることは必要十分です。逆に、\(Y\)が閉集合でない場合、\(Y\)の要素ではない\(Y\)の境界点\(\left( x,y\right) \in Y^{f}\)が存在することになります。\(y\not\in Y\)および\(\left( a\right) \)より\(f\left( x\right) <y\)である一方、\(y\in Y^{f}\)および\(\left(b\right) \)より\(f\left( y\right) =y\)であるため矛盾です。したがって生産関数\(f\)の定義が意味をなさなくなってしまいます。一方、生産集合\(Y\)が\(\mathbb{R} _{+}^{N+1}\)上の閉集合である場合には\(Y^{f}\subset Y\)となることが保証されるため、生産関数\(f\)が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の任意の点において定義されます。

例(生産関数)
2種類の生産要素と1種類の生産物が存在する経済における生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が、それぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、生産集合\(Y\)および変換フロンティア\(Y^{f}\)は、\begin{eqnarray*}Y &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}\geq y\right\} \\
Y^{f} &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}=y\right\}
\end{eqnarray*}となりますが、\(Y^{f}\)は\(Y\)の部分集合であるため\(Y\)は閉集合であり、したがって連続性を満たします。

生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が与えられたとき、逆に生産集合\(Y\)は、\begin{equation*}Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{N}\ |\ f\left( x\right) \geq y\right\}
\end{equation*}と定義されますが、変換関数\(F\)が連続関数である場合、生産集合\(Y\)が閉集合であること、すなわち連続性を満たすことが保証されます。

命題(連続な生産関数)

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)および生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が与えられたとき、\(f\)が連続関数であるならば\(Y\)は連続性を満たす。

証明

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例(連続な生産集合)
2種類の生産要素と1種類の生産物が存在する経済における生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が、それぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとして定義されています。\(f\)は連続関数であるため、上の命題より生産集合\(Y\)は連続性を満たします。
例(連続な生産集合)
2種類の生産要素と1種類の生産物が存在する経済における生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が、それぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+2x_{2}
\end{equation*}を定めるものとして定義されています。\(f\)は連続関数であるため、上の命題より生産集合\(Y\)は連続性を満たします。

 

演習問題

問題(連続な生産集合)
2種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{-}\times \mathbb{R} \ |\ y_{2}\leq \left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}と定義されています。\(Y\)が連続性を満たすことを点列を用いて証明してください。
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問題(連続な生産集合)
2種類の生産要素と1種類の生産物が存在する経済における生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)がそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+2x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。生産集合\(Y\)が連続性を満たすことを示してください。
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問題(連続な生産集合)
2種類の生産要素と1種類の生産物が存在する経済における生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)がそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =\min \left\{ x_{1},\frac{x_{2}}{2}\right\}
\end{equation*}を定めるものとします。生産集合\(Y\)が連続性を満たすことを示してください。
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次回は操業停止可能性と呼ばれる仮定について解説します。

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