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ユークリッド空間における閉集合・閉集合系

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閉集合

ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon
\right\}
\end{eqnarray*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合です。さらに、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が開集合であることとは、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。さて、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)に対して、その補集合\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall a\in A^{c},\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A^{c}
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合(closed set on \(\mathbb{R} ^{n}\))と呼びます。つまり、\(A^{c}\)に属するそれぞれの点について、その点を中心とする近傍の中に\(A^{c}\)の部分集合であるようなものが存在するならば\(A\)は閉集合です。

閉集合の定義より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の閉集合}\Leftrightarrow A^{c}\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の開集合}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が閉集合であることを示すためには、その補集合\(A^{c}\)が解集合であることを示すことが基本的な方針になります。なお、点列を用いた閉集合の判定条件も存在します。詳細は場を改めて解説します。

例(点の閉近傍は閉集合)
点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)以下の場所にある\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点からなる集合を、\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}で表記し、これを点\(a\)の閉近傍(closed neighborhood)と呼びます。これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合です(演習問題)。具体例を挙げると、\(1\)次元ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} \)の閉近傍は、\begin{eqnarray*}C_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert \leq \varepsilon \right\} \\
&=&\left[ a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right] \end{eqnarray*}であり、これは点\(a\)を中心とする有界閉区間ですが、先の議論より、これは\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。また、\(2\)次元ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{2}\)の閉近傍は、\begin{eqnarray*}C_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}}\leq \varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}\leq
\varepsilon ^{2}\right\}
\end{eqnarray*}であり、これは点\(a\)を中心とする円盤ですが、先の議論より、これは\(\mathbb{R} ^{2}\)上の閉集合です。また、\(3\)次元ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{3}\)の閉近傍は、\begin{eqnarray*}C_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right)
^{2}+\left( x_{3}-a_{3}\right) ^{2}}\leq \varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right)
^{2}+\left( x_{3}-a_{3}\right) ^{2}\leq \varepsilon ^{2}\right\}
\end{eqnarray*}であり、これは点\(a\)を中心とする球ですが、先の議論より、これは\(\mathbb{R} ^{3}\)上の閉集合です。
例(有界閉区間の直積は開集合)
それぞれの番号\(i\ \left( =1,\cdots,n\right) \)に対して、\begin{equation*}a_{i}<b_{i}
\end{equation*}を満たす実数\(a_{i},b_{i}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界閉区間\begin{equation*}\left[ a_{i},b_{i}\right] =\left\{ x_{i}\in \mathbb{R} \ |\ a_{i}\leq x_{i}\leq b_{i}\right\} \quad \left( i=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}をとります。さらに得られた\(n\)個の有界閉区間の直積\begin{equation*}\prod\limits_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] =\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{equation*}をとります。これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合です(演習問題)。具体例を挙げると、\(1\)次元ユークリッド空間において、\begin{equation*}\left[ a_{1},b_{1}\right] \end{equation*}は有界閉区間ですが、先の議論より、これは\(\mathbb{R} \)上の閉区間です。また、\(2\)次元ユークリッド空間において、\begin{equation*}\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right] \end{equation*}は長方形およびその内部を含む領域ですが、先の議論より、これは\(\mathbb{R} ^{2}\)上の閉集合です。また、\(3\)次元ユークリッド空間において、\begin{equation*}\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right] \times \left[
a_{3},b_{3}\right] \end{equation*}は立方体およびその内部を含む領域ですが、先の議論より、これは\(\mathbb{R} ^{3}\)上の閉集合です。
例(1点集合は閉集合)
点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それだけを要素として持つ集合\begin{equation*}\left\{ a\right\} =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x=a\right\}
\end{equation*}をとります。これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合です(演習問題)。

閉集合の定義より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の閉集合ではない}\Leftrightarrow A^{c}\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の開集合ではない}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が閉集合ではないことを示すためには、その補集合\(A^{c}\)が開集合ではないことを示すことが基本的な方針になります。

例(点の近傍は閉集合ではない)
点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}をとります。これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合ではありません。具体例を挙げると、\(1\)次元ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} \)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}であり、これは点\(a\)を中心とする有界開区間ですが、先の議論より、これは\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。また、\(2\)次元ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{2}\)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}}<\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right)
^{2}<\varepsilon ^{2}\right\}
\end{eqnarray*}であり、これは点\(a\)を中心とする円盤の内部ですが、先の議論より、これは\(\mathbb{R} ^{2}\)上の閉集合ではありません。また、\(3\)次元ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{3}\)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right)
^{2}+\left( x_{3}-a_{3}\right) ^{2}}<\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right)
^{2}+\left( x_{3}-a_{3}\right) ^{2}<\varepsilon ^{2}\right\}
\end{eqnarray*}であり、これは点\(a\)を中心とする球の内部ですが、先の議論より、これは\(\mathbb{R} ^{3}\)上の閉集合ではありません。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)について、\begin{eqnarray*}A\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の閉集合ではない} &\Leftrightarrow &A^{c}\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の開集合である}
\\
A\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の開集合ではない} &\Leftrightarrow &A^{c}\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の閉集合である}
\end{eqnarray*}などの関係は成り立つとは限らないことに注意が必要です。閉集合でないことを解集合であることを必ずしも意味せず、解集合でないことは閉集合であることを必ずしも意味しないということです。実際、閉集合と開集合のどちらでもないような集合が存在します。以下の例より明らかです。

例(開集合と閉集合の関係)
以下の\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\begin{equation*}\lbrack 0,1)\times \lbrack 0,1)
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の閉集合と開集合のどちらでもありません(演習問題)。

 

閉集合系

ユークリッド\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合をすべて集めてできる集合族を\(\mathbb{R} ^{n}\)の閉集合系(system ofclosed sets)と呼び、これを\(\mathcal{A}\)で表します。閉集合の定義より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であることと\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の解集合であることは必要十分であるため、\begin{equation*}A\in \mathcal{A}\Leftrightarrow A^{c}\in \mathcal{O}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、\(\mathcal{O}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系、すなわち\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合をすべて集めてできる集合です。同様に、\begin{equation*}A\not\in \mathcal{A}\Leftrightarrow A\in \mathcal{O}
\end{equation*}という関係もまた成り立ちます。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の閉集合系\(\mathcal{A}\)を特徴づける1つ目の性質は、それが\(\mathbb{R} ^{n}\)自身や空集合\(\phi \)を要素として持つということです。言い換えると、\(\mathbb{R} ^{n}\)と\(\phi \)はいずれも\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であるということです。

命題(閉集合系の基本性質)
ユークリッド\(\mathbb{R} ^{n}\)の閉集合系\(\mathcal{A}\)は、\begin{equation*}\left( A_{1}\right) \ \mathbb{R} ^{n}\in \mathcal{A},\ \phi \in \mathcal{A}
\end{equation*}を満たす。

証明

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\(\mathbb{R} ^{n}\)と\(\phi \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であることと上の命題を踏まえると、これらは開集合かつ閉集合であるような\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合ということになります。ちなみに、開集合かつ閉集合であるような\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合は\(\mathbb{R} ^{n}\)と\(\phi \)の他に存在しません。場を改めて証明します。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の閉集合系\(\mathcal{A}\)を特徴づける2つ目の性質は、\(\mathcal{A}\)に属する有限個の集合を任意に選んだとき、それらの和集合もまた\(\mathcal{A}\)に属するということです。言い換えると、有限個の任意の閉集合の和集合もまた閉集合になるということです。

命題(閉集合系の基本性質)
ユークリッド\(\mathbb{R} ^{n}\)の閉集合系\(\mathcal{A}\)は、任意の自然数\(m\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}\left( A_{2}\right) \ A_{1},\cdots ,A_{m}\in \mathcal{A}\Rightarrow
\bigcup\limits_{i=1}^{m}A_{i}\in \mathcal{A}
\end{equation*}を満たす。

証明

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例(有限集合は閉集合)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有限集合\(A\)を任意に選びます。つまり、何らかの自然数\(m\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}A=\left\{ x_{1},x_{2},\cdots ,x_{m}\right\}
\end{equation*}と表すことができるということです。このとき、\begin{equation*}
A=\bigcup\limits_{i=1}^{m}\left\{ x_{i}\right\}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。先に示したように1点集合\(\left\{ x_{i}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であるため、\(A\)は有限個の閉集合の和集合であり、したがって先の命題より\(A\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合です。以上より、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の任意の有限集合は閉集合であることが明らかになりました。

先の命題は有限個の閉集合に関して成立する性質であることに注意してください。一方、無限個の閉集合を選んだとき、それらの和集合は閉集合になるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(無限個の閉集合の和集合)
それぞれの番号\(i\in \mathbb{N} \)に対して、点\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とする半径\(1-\frac{1}{i}>0\)の閉近傍\begin{equation*}C_{1-\frac{1}{i}}\left( 0\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( 0,x\right) \leq 1-\frac{1}{i}\right\}
\end{equation*}をとります。点の閉近傍は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であるため\(C_{1-\frac{1}{i}}\left( 0\right) \)は閉集合です。\(\mathbb{N} \)は無限集合であるため\(\left\{ C_{1-\frac{1}{i}}\left( 0\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は無限個の閉集合を要素として持つ集合族です。この集合族の和集合は、\begin{equation*}\bigcup\limits_{i\in \mathbb{N} }C_{1-\frac{1}{i}}\left( 0\right) =N_{1}\left( 0\right)
\end{equation*}です(演習問題)。ただし、\(N_{1}\left( 0\right) \)は点\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とする半径\(1\)の開近傍です。点の開近傍は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合ではないため、上の和集合もまた閉集合ではありません。

ちなみに、無限個の閉集合の和集合が閉集合になる場合もあります。以下の例より明らかです。

例(無限個の閉集合の和集合)
\(a<b\)を満たす点\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの番号\(i\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}A_{i}=\left[ a-\frac{1}{i},b+\frac{1}{i}\right] \times \cdots \times \left[
a-\frac{1}{i},b+\frac{1}{i}\right] \end{equation*}という\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合を定義します。先に示したように有界な閉区間どうしの直積は閉集合であるため\(A_{i}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合です。\(\mathbb{N} \)は無限集合であるため\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は無限個の閉集合を要素として持つ集合族です。この集合族に関しては、\begin{equation*}A_{1}\supset A_{2}\supset \cdots
\end{equation*}が成り立つため、和集合は、\begin{equation*}
\bigcup\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}=A_{1}
\end{equation*}となりますが、\(A_{1}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であるため、上の和集合もまた閉集合です。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の閉集合系\(\mathcal{A}\)を特徴づける3つ目の性質は、\(\mathcal{A}\)に属する任意個の集合を任意に選んだとき、それらの共通部分もまた\(\mathcal{A}\)に属するということです。言い換えると、任意個の任意の閉集合の共通部分もまた閉集合になるということです。

命題(閉集合系の基本性質)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の閉集合系\(\mathcal{A}\)は、\begin{equation*}\left( A_{3}\right) \ \left( \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in
\mathcal{A}\right) \Rightarrow \bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }\in \mathcal{A}
\end{equation*}を満たす。

証明

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上の命題中の集合\(\Lambda \)は任意です。\(\Lambda \)として有限集合を採用した場合、上の命題の主張は「有限個の閉集合の共通部分は閉集合」というものになります。一方、\(\Lambda \)として可算集合や非可算集合などの無限集合を採用した場合、上の命題の主張は「無限個の閉集合の共通部分は閉集合」という主張になります。先に例を通じて確認したように、無限個の閉集合の和集合は閉集合になるとは限りません。一方、無限個の閉集合の共通部分は閉集合になることが保証されます。

 

演習問題

問題(点の閉近傍は閉集合)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の閉近傍は、\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( a,x\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合ですが、これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であることを証明してください。
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問題(有界閉区間の直積は閉集合)
それぞれの番号\(i\ \left( =1,\cdots,n\right) \)に対して、\begin{equation*}a_{i}<b_{i}
\end{equation*}を満たす実数\(a_{i},b_{i}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界閉区間\begin{equation*}\left[ a_{i},b_{i}\right] =\left\{ x_{i}\in \mathbb{R} \ |\ a_{i}\leq x_{i}\leq b_{i}\right\} \quad \left( i=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}をとります。さらに得られた\(n\)個の有界閉区間の直積\begin{equation*}\prod\limits_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] =\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{equation*}をとります。これが\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であることを証明してください。
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問題(1点集合は閉集合)
点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それだけを要素として持つ集合\begin{equation*}\left\{ a\right\} =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x=a\right\}
\end{equation*}をとります。これが\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であることを証明してください。
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問題(点の開近傍は閉集合ではない)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( a,x\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合ですが、これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合ではないことを証明してください。
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問題(開集合と閉集合の関係)
以下の\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\begin{equation*}\lbrack 0,1)\times \lbrack 0,1)
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の閉集合と開集合のどちらでもないことを示してください。
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問題(無限個の閉集合の和集合)
それぞれの番号\(i\in \mathbb{N} \)に対して、点\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とする半径\(1-\frac{1}{i}>0\)の閉近傍\begin{equation*}C_{1-\frac{1}{i}}\left( 0\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( 0,x\right) \leq 1-\frac{1}{i}\right\}
\end{equation*}を定義します。可算集合族\(\left\{ C_{1-\frac{1}{i}}\left( 0\right) \right\}_{i\in \mathbb{N} }\)の和集合は、\begin{equation*}\bigcup\limits_{i\in \mathbb{N} }C_{1-\frac{1}{i}}\left( 0\right) =N_{1}\left( 0\right)
\end{equation*}を満たすことを証明してください。ただし、\(N_{1}\left( 0\right) \)は点\(0\)を中心とする半径\(1\)の開近傍であり、\begin{equation*}N_{1}\left( 0\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( 0,x\right) <1\right\}
\end{equation*}と定義されます。

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