閉集合・閉集合系

ユークリッド空間における閉集合や閉集合系について定義した上で、閉集合が満たす基本的な性質について解説します。
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閉集合

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)に対して、その補集合\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるならば、すなわち、\begin{equation*}
\forall a\in A^{c},\ \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A^{c}
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合(closed set on \(\mathbb{R} ^{n}\))と呼びます。定義より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)について、\begin{eqnarray*}
A\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の閉集合} &\Leftrightarrow &A^{c}\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の開集合} \\
A\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の閉集合ではない} &\Leftrightarrow &A^{c}\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の開集合ではない}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。

例(点の閉近傍は閉集合)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の閉近傍は、\begin{equation*}
D_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( a,x\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合ですが、これは閉集合です。実際、その補集合\begin{equation*}
\mathbb{R} ^{n}\backslash D_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( a,x\right) >\varepsilon \right\}
\end{equation*}が開集合であることは以前に示した通りです。\(\mathbb{R} ^{n}\)上の任意の点の任意の閉近傍は閉集合であるということです。
例(1点集合は閉集合)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、その点だけを要素とする\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(\left\{ a\right\} \)について考えます。これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合です。実際、その補集合\begin{equation*}
\mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ a\right\} =\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ x\not=a\right\}
\end{equation*}が開集合であることは以前に示した通りです。\(\mathbb{R} ^{n}\)上の任意の1点集合は閉集合であるということです。

 

点列を用いた閉集合の定義

閉集合という概念を開集合の補集合として定義しましたが、開集合の概念を経由せずに閉集合を定義できるでしょうか。この問いに答えるために、まずは閉集合の性質を点列を用いて記述します。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)を任意に選びます。その上で、\(A\)の点を項とするとともに収束する点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\in A \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}\in
\mathbb{R} \text{が存在する}
\end{eqnarray*}をともに満たす点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選ぶということです。一般には、このような点列の極限は\(A\)の点であるとは限りません。しかし、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合である場合には、このような点列の極限は必ず\(A\)の点になります。つまり、\begin{equation*}
\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}\in A
\end{equation*}が成り立つということです。証明は以下の通りです。

\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合\(A\)の点を項とする収束列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の中に、その極限\(\alpha \in \mathbb{R} ^{n}\)が\(A\)の点でないようなものが存在するものと仮定して矛盾を導きます。\(\alpha \not\in A\)は\(\alpha \in A^{c}\)を含意しますが、閉集合\(A\)の補集合\(A^{c}\)は開集合であるため、開集合の定義より、\begin{equation}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( \alpha \right) \subset A^{c}
\tag{1}
\end{equation}が成り立ちます。これは、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( \alpha \right) \cap A=\phi
\end{equation*}と言い換え可能です。一方、\(\alpha \)は点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の極限であるため、上の\(\varepsilon >0\)に対してある番号\(N\in \mathbb{N} \)が存在して、\(v\geq N\)を満たす任意の\(v\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}
d\left( x_{v},\alpha \right) <\varepsilon
\end{equation*}が成り立ちます。近傍の定義より、これは、\begin{equation*}
x_{v}\in U_{\varepsilon }\left( \alpha \right)
\end{equation*}と言い換え可能ですが、これと\(\left( 1\right) \)より\(x_{v}\in A^{c}\)すなわち\(x_{v}\not\in A\)が成り立ちます。これは点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の任意の項が\(A\)の点であることと矛盾するため、\(\alpha \in A\)であることが示されました。

命題(閉集合であるための必要条件)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)の点を項とする任意の収束列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の極限もまた\(A\)の点になる。
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上の命題の逆もまた成立します(証明は演習問題にします)。

命題(閉集合であるための十分条件)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)の点を項とする任意の収束列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の極限もまた\(A\)の点であるならば、\(A\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合になる。
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以上の2つの命題より、点列を用いて閉集合を以下のように定義できます。

命題(点列を用いた閉集合の定義)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)の点を項とする任意の収束列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の極限もまた\(A\)の点であることは、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であるための必要十分条件である。
例(点列を用いた閉集合の定義)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、その点だけを要素とする\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(\left\{ a\right\} \)について考えます。この集合の要素からなる点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)としては、任意の\(v\in \mathbb{N} \)について\(x_{v}=a\)を満たすものだけが存在します。さらに、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=\lim_{v\rightarrow \infty }a=a
\end{equation*}となりますが、これは\(\left\{ a\right\} \)の点であるため、先の命題より、\(\left\{ a\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合です。

ちなみに、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の点を項とする収束列の中にその極限が\(A\)の点でないようなものが存在する場合、上の命題より、その集合\(A\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合ではありません。ただ、この場合、この集合\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるとは限りません。以下の例から明らかです。

例(半開区間)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\((0,1]\)について考えます。点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\frac{1}{v}
\end{equation*}として与えられているとき、この点列の任意の項は\((0,1]\)の要素であるとともに、この点列は収束し、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=\lim_{v\rightarrow \infty }\frac{1}{v}=0
\end{equation*}を満たします。つまり、この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の極限\(0\)は\((0,1]\)の要素ではありません。一方、\((0,1]\)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません(確認してください)。

 

閉集合系

ユークリッド\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合をすべて集めてできる集合系を\(\mathbb{R} ^{n}\)の閉集合系(system of closed sets)と呼び、これを\(\mathcal{A}\)で表します。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系を\(\mathcal{O}\)、閉集合系を\(\mathcal{A}\)でそれぞれ表します。このとき、\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}
A\in \mathcal{A}\Leftrightarrow A^{c}\in \mathcal{O}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であることと\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であることは必要十分です。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の閉集合系\(\mathcal{A}\)を特徴づける1つ目の性質は、それが\(\mathbb{R} ^{n}\)自身や空集合\(\phi \)を要素として持つということです。言い換えると、\(\mathbb{R} ^{n}\)と\(\phi \)はいずれも\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であるということです。実際、\(\phi \)と\(\mathbb{R} ^{n}\)はともに\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるため、\(\phi \)の補集合である\(\mathbb{R} ^{n}\)と、\(\mathbb{R} ^{n}\)の補集合である\(\phi \)はいずれも\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合です。

命題(閉集合系の基本性質)
ユークリッド\(\mathbb{R} ^{n}\)の閉集合系\(\mathcal{A}\)は、\begin{equation*}
\left( A_{1}\right) \
\mathbb{R} ^{n}\in \mathcal{A},\ \phi \in \mathcal{A}
\end{equation*}を満たす。
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\(\mathbb{R} ^{n}\)の閉集合系\(\mathcal{A}\)を特徴づける2つ目の性質は、\(\mathcal{A}\)に属する有限個の集合を任意に選んだとき、それらの和集合もまた\(\mathcal{A}\)に属するということです。言い換えると、有限個の任意の閉集合の和集合もまた閉集合になるということです。証明は以下の通りです。

有限個の閉集合\(A_{1},\cdots ,A_{m}\in \mathcal{A}\)を任意に選んだとき、それらの補集合\(A_{1}^{c},\cdots ,A_{m}^{c}\)はいずれも開集合です。有限個の開集合の共通部分は開集合であるため、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{i=1}^{m}A_{i}^{c}
\end{equation*}は開集合です。したがって、その補集合である、\begin{equation*}
\left( \bigcap\limits_{i=1}^{m}A_{i}^{c}\right)
^{c}=\bigcup\limits_{i=1}^{m}A_{i}
\end{equation*}は閉集合であるため目標は達成されました。

命題(閉集合系の基本性質)
ユークリッド\(\mathbb{R} ^{n}\)の閉集合系\(\mathcal{A}\)は、\begin{equation*}
\left( A_{2}\right) \ A_{1},\cdots ,A_{m}\in \mathcal{A}\Rightarrow
\bigcup\limits_{i=1}^{m}A_{i}\in \mathcal{A}
\end{equation*}を満たす。
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上の命題は有限個の閉集合に関して成立する性質であり、無限個の閉集合に関して同様の命題は成り立つとは限りません。つまり、無限個の閉集合を任意に選んだとき、それらの和集合は閉集合であるとは限りません。以下の例から明らかです。

例(無限個の閉集合の和集合)
\(a<b\)を満たす\(1\)次元ユークリッド空間の点\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの番号\(i\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}
A_{i}=\left( a-\frac{1}{i},b+\frac{1}{i}\right)
\end{equation*}という有界な開区間を定義します。有界な開区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、\(A_{i}\)もまた\(\mathbb{R} \)上の開集合です。ゆえに補集合\(A_{i}^{c}\)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。無限個の閉集合\(A_{i}^{c}\)の和集合が閉集合でないことを示すことが目標になります。具体的には、ド・モルガンの定理より、\begin{equation*}
\left( \bigcup\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}^{c}\right) ^{c}=\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}
\end{equation*}となりますが、\(\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合でないことは以前に示した通りです。したがって、その補集合である\(\bigcup\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}^{c}\)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の閉集合系\(\mathcal{A}\)を特徴づける3つ目の性質は、\(\mathcal{A}\)に属する任意個の集合を任意に選んだとき、それらの共通部分もまた\(\mathcal{A}\)に属するということです。言い換えると、任意個の任意の閉集合の共通部分もまた閉集合になるということです。証明は以下の通りです。

任意の\(\lambda \in \Lambda \)に対して\(A_{\lambda }\in \mathcal{A}\)を満たすような集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選びます。つまり、この集合族に属する任意の集合\(A_{\lambda }\)は閉集合です。添字集合\(\Lambda \)は任意の集合であるため、問題としている開集合の個数は有限、可算、非可算を含めて何個でも構いません。補集合\(A_{\lambda }^{c}\)は開集合ですが、無限個の開集合の和集合は開集合であるため、\begin{equation*}
\bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }^{c}
\end{equation*}は開集合です。したがって、その補集合である、\begin{equation*}
\left( \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }^{c}\right)
^{c}=\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}は閉集合であるため目標は達成されました。

命題(閉集合系の基本性質)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の閉集合系\(\mathcal{A}\)は、\begin{equation*}
\left( A_{3}\right) \ \left( \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in
\mathcal{A}\right) \Rightarrow \bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }\in \mathcal{A}
\end{equation*}を満たす。
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次回はユークリッド空間における内点や内部について学びます。

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