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ユークリッド空間における閉集合・閉集合系

目次

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閉集合

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)に対して、その補集合\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall a\in A^{c},\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A^{c}
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合(closed set on \(\mathbb{R} ^{n}\))と呼びます。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍であり、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \quad \because \text{近傍の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon
\right\} \quad \because \text{距離の定義}
\end{eqnarray*}と定義されます。閉集合の定義より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)について、\begin{eqnarray*}A\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の閉集合} &\Leftrightarrow &A^{c}\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の開集合} \\
A\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の閉集合ではない} &\Leftrightarrow &A^{c}\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の開集合ではない}
\end{eqnarray*}などの関係が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が閉集合であることを示す際には、その補集合\(A^{c}\)が開集合であることを示すことが基本的な方針であり、\(A\)が閉集合ではないことを示す際には、その補集合\(A^{c}\)が開集合ではないことを示すことが基本的な方針になります。

例(点の閉近傍は閉集合)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の閉近傍は、\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( a,x\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合ですが、これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合です(演習問題)。
例(点の近傍は閉集合)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( a,x\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合ですが、これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合ではありません(演習問題)。
例(1点集合は閉集合)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、その点だけを要素とする\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(\left\{ a\right\} \)について考えます。これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合です(演習問題)。

 

閉集合系

ユークリッド\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合をすべて集めてできる集合系を\(\mathbb{R} ^{n}\)の閉集合系(system ofclosed sets)と呼び、これを\(\mathcal{A}\)で表します。\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系を\(\mathcal{O}\)で、閉集合系を\(\mathcal{A}\)でそれぞれ表します。すると閉集合の定義より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A\in \mathcal{A}\Leftrightarrow A^{c}\in \mathcal{O}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であることと\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であることは必要十分です。同様に、\begin{equation*}A^{c}\in \mathcal{A}\Leftrightarrow A\in \mathcal{O}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であることと\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であることは必要十分です。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の閉集合系\(\mathcal{A}\)を特徴づける1つ目の性質は、それが\(\mathbb{R} ^{n}\)自身や空集合\(\phi \)を要素として持つということです。言い換えると、\(\mathbb{R} ^{n}\)と\(\phi \)はいずれも\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であるということです。

命題(閉集合系の基本性質)
ユークリッド\(\mathbb{R} ^{n}\)の閉集合系\(\mathcal{A}\)は、\begin{equation*}\left( A_{1}\right) \ \mathbb{R} ^{n}\in \mathcal{A},\ \phi \in \mathcal{A}
\end{equation*}を満たす。

証明

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ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の閉集合系\(\mathcal{A}\)を特徴づける2つ目の性質は、\(\mathcal{A}\)に属する有限個の集合を任意に選んだとき、それらの和集合もまた\(\mathcal{A}\)に属するということです。言い換えると、有限個の任意の閉集合の和集合もまた閉集合になるということです。

命題(閉集合系の基本性質)
ユークリッド\(\mathbb{R} ^{n}\)の閉集合系\(\mathcal{A}\)は、\begin{equation*}\left( A_{2}\right) \ A_{1},\cdots ,A_{m}\in \mathcal{A}\Rightarrow
\bigcup\limits_{i=1}^{m}A_{i}\in \mathcal{A}
\end{equation*}を満たす。

証明

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上の命題は有限個の閉集合に関して成立する性質であり、無限個の閉集合に関して同様の命題は成り立つとは限りません。つまり、無限個の閉集合を任意に選んだとき、それらの和集合は閉集合であるとは限りません。以下の例から明らかです。

例(無限個の閉集合の和集合)
それぞれの番号\(i\in \mathbb{N} \)に対して、ゼロベクトル\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とする半径\(1-\frac{1}{i}>0\)の閉近傍\begin{equation*}C_{1-\frac{1}{i}}\left( 0\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( 0,x\right) \leq 1-\frac{1}{i}\right\}
\end{equation*}を考えます。点の閉近傍は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であるため\(C_{1-\frac{1}{i}}\left( 0\right) \)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合です。その一方で、可算集合族\(\left\{ C_{1-\frac{1}{i}}\left( 0\right) \right\} \)の和集合をとると、\begin{equation*}\bigcup\limits_{i\in \mathbb{N} }C_{1-\frac{1}{i}}\left( 0\right) =N_{1}\left( 0\right)
\end{equation*}となります(演習問題)。ただし\(N_{1}\left( 0\right) \)はゼロベクトル\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とする半径\(1\)の近傍です。点の近傍は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合ではないため\(N_{1}\left( 0\right) \)は閉集合ではなく、それと等しい\(\bigcup\limits_{i\in \mathbb{N} }C_{1-\frac{1}{i}}\left( 0\right) \)もまた閉集合ではありません。

実数空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の閉集合系\(\mathcal{A}\)を特徴づける3つ目の性質は、\(\mathcal{A}\)に属する任意個の集合を任意に選んだとき、それらの共通部分もまた\(\mathcal{A}\)に属するということです。言い換えると、任意個の任意の閉集合の共通部分もまた閉集合になるということです。

命題(閉集合系の基本性質)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の閉集合系\(\mathcal{A}\)は、\begin{equation*}\left( A_{3}\right) \ \left( \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in
\mathcal{A}\right) \Rightarrow \bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }\in \mathcal{A}
\end{equation*}を満たす。

証明

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上の命題中の集合\(\Lambda \)は任意の集合であるため、問題としている閉集合の個数は有限、可算、非可算を含めて何個でも構いません。有限個の閉集合の共通部分、可算個の閉集合の共通部分、非可算個の閉集合の共通部分はいずれも閉集合であることが保証されるということです。

 

演習問題

問題(閉集合)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の閉近傍は、\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( a,x\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合ですが、これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であることを証明してください。
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問題(閉集合ではない集合)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( a,x\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合ですが、これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合ではないことを証明してください。
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問題(閉集合)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、その点だけを要素とする\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(\left\{ a\right\} \)について考えます。これが\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であることを証明してください。
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問題(閉集合)
それぞれの番号\(i\in \mathbb{N} \)に対して、ゼロベクトル\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とする半径\(1-\frac{1}{i}>0\)の閉近傍\begin{equation*}C_{1-\frac{1}{i}}\left( 0\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( 0,x\right) \leq 1-\frac{1}{i}\right\}
\end{equation*}を定義します。可算集合族\(\left\{ C_{1-\frac{1}{i}}\left( 0\right) \right\} \)の和集合は、\begin{equation*}\bigcup\limits_{i\in \mathbb{N} }C_{1-\frac{1}{i}}\left( 0\right) =N_{1}\left( 0\right)
\end{equation*}を満たすことを証明してください。ただし、\(N_{1}\left( 0\right) \)はゼロベクトル\(0\)を中心とする半径\(1\)の開近傍であり、\begin{equation*}N_{1}\left( 0\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( 0,x\right) <1\right\}
\end{equation*}と定義されます。

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次回はユークリッド空間の部分集合が閉集合であることを点列を用いて判定する方法について解説します。

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