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点列を用いた集積点(極限点)の判定

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点列を用いた集積点の定義

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が\(A\)の集積点であることを判定するためには集積点の定義に照らし合わせて確認すればよいのですが、集積点は点列の極限を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用した方が集積点であることを容易に判定できる場合があります。順を追って説明します。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選びます。一般に、\(A\)の点を項とするとともに、すべて項が点\(a\)とは異なり、なおかつ点\(a\)に収束する点列\(\left\{x_{v}\right\} \)は存在するとは限りません。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\in A\backslash \left\{ a\right\} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=a
\end{eqnarray*}をともに満たす点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は存在するとは限らないということです。しかし、\(a\)が\(A\)の集積点である場合には、上の性質を満たす点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が必ず存在します。

命題(集積点と収束数列)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)が\(A\)の集積点であるならば、\(A\)の点を項とするとともに任意の項が\(a\)とは異なり、なおかつ\(a\)へ収束する点列が存在する。
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上の命題の逆もまた成立します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(A\)の点を項とするとともに任意の項が点\(a\)とは異なり、なおかつ点\(a\)へ収束する点列が存在する場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\in A\backslash \left\{ a\right\} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=a
\end{eqnarray*}をともに満たす点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が存在する場合、その極限\(a\)は\(A\)の集積点であることが保証されます。

命題(集積点と収束点列)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(A\)の点を項とするとともに任意の項が\(a\)とは異なり、なおかつ\(a\)へ収束する点列が存在するならば、\(a\)は\(A\)の集積点である。
証明

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以上の2つの命題より、集積点という概念は点列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

命題(点列を用いた集積点の定義)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(A\)の点を項とするとともに任意の項が\(a\)とは異なり、なおかつ\(a\)へ収束する点列が存在することは、\(a\)が\(A\)の集積点であるための必要十分条件である。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の点とするとともに任意の項が\(a\)とは異なり、なおかつ点\(a\)へ収束する点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が存在する場合、極限に相当する点\(a\)のいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(\left\{ x_{v}\right\} \)の点が無数に存在します。したがって、\(a\)が\(A\)の集積点であることは、\(a\)とは異なる\(A\)の点をたどりながら点\(a\)に限りなく近づくことが必ず可能であることを意味します。

 

点列を用いて集積点であることを判定する

上の命題より、集積点に関する議論を数列の収束に関する議論に置き換えて考えることができます。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が\(A\)の集積点であることを示すためには、\(A\)の点を項とするとともに任意の項が\(a\)とは異なり、なおかつ\(a\)へ収束する点列が存在することを示せばよいことになります。

例(点列を用いて集積点であることを判定する)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする近傍\(N_{\varepsilon}\left( a\right) \)について考えます。点\(a\)を中心とし半径を\(\varepsilon \)とする閉近傍\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \)の任意の点が\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の集積点であることを示します。まず、点\(a\in C_{\varepsilon}\left( a\right) \)が\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の集積点であることを示します。\(d\left( a,b\right) =\varepsilon \)を満たす点\(b\in C_{\varepsilon }\left( a\right) \)を適当に選んだ上で、一般項が、\begin{equation*}x_{v}=a+\frac{b-a}{v+1}
\end{equation*}で与えられる点列\(\left\{x_{v}\right\} \)について考えます。この点列の任意の項は\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の点であるとともに\(a\)とは異なり、なおかつその極限は\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=\lim_{v\rightarrow \infty }\left( a+\frac{b-a}{v+1}\right) =a
\end{equation*}となるため、先の命題より\(a\)は\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の集積点です。続いて、任意の点\(b\in C_{\varepsilon }\left(a\right) \backslash \left\{ a\right\} \)が\(N_{\varepsilon }\left(a\right) \)の集積点であることを示します。一般項が、\begin{equation*}x_{v}=b+\frac{a-b}{v+1}
\end{equation*}で与えられる点列\(\left\{x_{v}\right\} \)について考えます。この点列の任意の項は\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の点であるとともに\(b\)とは異なり、なおかつその極限は、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=\lim_{v\rightarrow \infty }\left( b+\frac{a-b}{v+1}\right) =b
\end{equation*}となるため、先の命題より\(b\)は\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の集積点です。以上で、\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \)の任意の点が\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の集積点であることが明らかになりました。

 

点列を用いて集積点ではないことを判定する

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)の点を項とするとともに任意の項が\(a\)とは異なり、なおかつ\(a\)へ収束する点列が存在しないことを示せば、\(a\)は\(A\)の集積点ではないことを示したことになります。

例(点列を用いて集積点であることを判定する)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする近傍\(N_{\varepsilon}\left( a\right) \)について考えます。点\(a\)を中心とし半径を\(\varepsilon \)とする閉近傍\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \)の補集合の任意の点が\(N_{\varepsilon }\left(a\right) \)の集積点ではないことを示します。そこで、点\(b\in \left( C_{\varepsilon }\left( a\right)\right) ^{c}\)が\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の集積点であるものとします。\(b\in \left( C_{\varepsilon }\left( a\right) \right)^{c}\)より、\begin{equation}d\left( a,b\right) >\varepsilon \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(b\)が\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の集積点である場合、先の命題より、任意の項が\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の要素であるとともに\(b\)とは異なり、なおかつ\(b\)へ収束する点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が存在します。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :d\left( x_{v},a\right) <\varepsilon \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\not=b \\
&&\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=b
\end{eqnarray*}をすべて満たす点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が存在するということです。\(\left( a\right) \)より、この点列の極限\(\left\{ x_{v}\right\} \)についても、\begin{equation*}d\left( \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v},a\right) <\varepsilon
\end{equation*}が成り立ちますが、これと\(\left( c\right) \)より、\begin{equation*}d\left( b,a\right) <\varepsilon
\end{equation*}を得ます。これは\(\left(1\right) \)と矛盾であるため、背理法より\(b\)は\(N_{\varepsilon}\left( a\right) \)の集積点でないことが明らかになりました。

 

演習問題

問題(触点と集積点)
点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それを唯一の要素とする\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(\left\{ a\right\} \)について考えます。点\(a\)は\(\left\{ a\right\} \)の触点である一方で集積点ではないことを点列を用いて証明してください。
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問題(点列を用いた集積点の定義)
点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と半径\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( C_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{d}=C_{\varepsilon }\left(
a\right)
\end{equation*}が成り立つことを点列を用いて証明してください。

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問題(数列を用いた集積点の定義)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が、\begin{equation*}A=\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}として与えられているものとします。点\(0\)が\(A\)の集積点であることを数列を用いて証明してください。
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次回はユークリッド空間の部分集合が閉集合であることを導集合を用いて判定する方法について解説します。

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