点列を用いた集積点（極限点）の判定

点列を用いた集積点の定義

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が\(A\)の集積点であることを判定するためには集積点の定義に照らし合わせて確認すればよいのですが、集積点は点列の極限を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用した方が集積点であることを容易に判定できる場合があります。順を追って説明します。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選びます。一般に、\(A\)の点を項とするとともに、すべて項が点\(a\)とは異なり、なおかつ点\(a\)に収束する点列\(\left\{x_{v}\right\} \)は存在するとは限りません。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\in A\backslash \left\{ a\right\} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=a
\end{eqnarray*}をともに満たす点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は存在するとは限らないということです。しかし、\(a\)が\(A\)の集積点である場合には、上の性質を満たす点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が必ず存在します。

上の命題の逆もまた成立します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(A\)の点を項とするとともに任意の項が点\(a\)とは異なり、なおかつ点\(a\)へ収束する点列が存在する場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\in A\backslash \left\{ a\right\} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=a
\end{eqnarray*}をともに満たす点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が存在する場合、その極限\(a\)は\(A\)の集積点であることが保証されます。

以上の2つの命題より、集積点という概念は点列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の点とするとともに任意の項が\(a\)とは異なり、なおかつ点\(a\)へ収束する点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が存在する場合、極限に相当する点\(a\)のいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(\left\{ x_{v}\right\} \)の点が無数に存在します。したがって、\(a\)が\(A\)の集積点であることは、\(a\)とは異なる\(A\)の点をたどりながら点\(a\)に限りなく近づくことが必ず可能であることを意味します。

点列を用いて集積点であることを判定する

上の命題より、集積点に関する議論を数列の収束に関する議論に置き換えて考えることができます。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が\(A\)の集積点であることを示すためには、\(A\)の点を項とするとともに任意の項が\(a\)とは異なり、なおかつ\(a\)へ収束する点列が存在することを示せばよいことになります。

点列を用いて集積点ではないことを判定する

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)の点を項とするとともに任意の項が\(a\)とは異なり、なおかつ\(a\)へ収束する点列が存在しないことを示せば、\(a\)は\(A\)の集積点ではないことを示したことになります。

演習問題

次回はユークリッド空間の部分集合が閉集合であることを導集合を用いて判定する方法について解説します。