コンパクト集合の演算

\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合を要素とする集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が任意に与えられたとき、その共通部分\begin{equation*}\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合である。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \left[ 0,1\right] }\)の任意の要素\(A_{\lambda }\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合であるとき、上の命題より、\begin{equation*}\bigcap\limits_{\lambda \in \left[ 0,1\right] }A_{\lambda }
\end{equation*}もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合です。

\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合を要素とする有限集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)が任意に与えられたとき、その和集合\begin{equation*}\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_{i}
\end{equation*}もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合である。

それぞれの\(i\in \mathbb{N} \)に対して、\(n\)個の有界閉区間\(\left[ -i,i\right] \subset \mathbb{R} \)の直積集合を、\begin{equation*}A_{i}=\left[ -i,i\right] \times \cdots \times \left[ -i,i\right] \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と表記します。これを\(n\)次元立方体と呼びます。さらに、\(n\)次元立方体を要素とする\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族\(\left\{ A_{i}\right\}_{i\in \mathbb{N} }\)について考えます。この集合族の和集合は、\begin{equation}\bigcup\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}=\mathbb{R} ^{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。後ほど示すように、\(n\)次元直方体は\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合であるため\(A_{i}\)はコンパクト集合です。したがって、\(\left( 1\right) \)の左辺は可算個のコンパクト集合の和集合です。一方、\(\mathbb{R} ^{n}\)自身は\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合ではありません。それにも関わらず\(\left( 1\right) \)が成り立つということは、可算個のコンパクト集合の和集合がコンパクト集合ではないことを意味します。