ユークリッド空間における点列コンパクト集合

点列コンパクト集合

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合であることとは、\(A\)の開被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選んだとき、それに対して有限部分被覆が必ず存在することとして定義されます。つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{eqnarray*}をともに満たす集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選んだとき（\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)は\(A\)の開被覆）、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \exists n\in \mathbb{N} :\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\in \Lambda \\
&&\left( d\right) \ A\subset \bigcup_{i=1}^{n}A_{\lambda _{i}}
\end{eqnarray*}が成り立つ（\(\left\{ A_{\lambda_{i}}\right\} _{i=1}^{n}\)は\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の有限部分被覆）ことを意味します。ただし、\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合系を表す記号です。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)がコンパクト集合であることを示すためには、\(A\)の任意の開被覆が有限部分被覆を持つことを示す必要があり、その手続きは面倒です。ただし、ハイネ・ボレルの被覆定理より、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合であることと、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界な閉集合であることは必要十分です。したがって、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界な閉集合であることを示せば、\(A\)がコンパクト集合であることを示したことになります。さらに、コンパクト集合の概念は点列を用いて表現することもできます。以下で順番に解説します。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)を任意に選びます。その上で、\(A\)の点を項とする点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\forall v\in \mathbb{N} :\boldsymbol{x}_{v}\in A
\end{equation*}を満たす点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)を任意に選ぶということです。このような任意の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が\(A\)の点に収束する部分列を持つならば、すなわち、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{l\left( v\right) }\in A
\end{equation*}を満たす\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の部分列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{l\left( v\right) }\right\} \)が存在する場合には、\(A\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列コンパクト集合（sequentially compact set）と呼びます。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が点列コンパクト集合であるためには、\(A\)の要素を項として持つ「任意の」点列が\(A\)の要素へ収束する部分列を持つことを示す必要があります。\(A\)の要素を項として持つ点列の中に、\(A\)の要素へ収束する部分列を持つものが「存在する」ことを示しただけでは不十分です。

逆に、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が点列コンパクトでないことを示すためには、\(A\)の要素を項として持つ点列の中に、\(A\)の要素へ収束する部分列を持たないものが存在することを示せばよいということになります。

以下の例から明らかであるように、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合は点列コンパクトであるとは限りません。

有界な閉区間は点列コンパクト集合

点列コンパクト集合としては以下が重要です。

有界な閉集合は点列コンパクト集合

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界な閉区間が点列コンパクトであることが明らかになりました。有界な閉区間は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界な閉集合ですが、一般に、有界な閉集合もまた点列コンパクト集合であることが保証されます。

点列コンパクト集合は有界な閉集合

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界な閉集合は点列コンパクト集合であることが明らかになりましたが、逆の主張もまた成り立ちます。つまり、点列コンパクト集合は有界な閉集合であるということです。

コンパクト集合の特徴づけ

これまでの議論より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合が点列コンパクトであることと、その集合が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界な閉集合であることが明らかになりました。さらに、\(\mathbb{R} ^{n}\)におけるハイネ・ボレルの被覆定理より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合がコンパクト集合であることと、その集合が有界な閉集合であることは必要十分です。したがって以下を得ます。

コンパクト集合ではないことの証明

先の命題より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合がコンパクト集合であることを示すためには、それが\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界な閉集合であることを示したり、それが\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列コンパクト集合であることを示せばよいことになります。逆に、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合が有界でない場合、閉集合でない場合、点列コンパクト集合でない場合などには、その集合はコンパクト集合ではありません。

演習問題