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ユークリッド空間における触点・閉包

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触点・閉包

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の任意の近傍が\(A\)と交わるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A\not=\phi
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の触点(adherent point)と呼びます。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の触点であることとは、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(A\)の点が必ず存在することを意味します。

逆に、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が集合\(A\)の触点でないこととは、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の触点でないこととは、点\(a\)から十分近い場所に\(A\)の点が存在しないことを意味します。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)のすべての触点からなる集合を\(A\)の閉包(closure)と呼び、\begin{equation*}A^{a},\quad \mathrm{cl}\left( A\right)
\end{equation*}などで表記します。定義より、任意の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}x\in A^{a}\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }(x)\cap
A\not=\phi
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

繰り返しになりますが、点\(a\)が集合\(A\)の触点でないことは、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、これは、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A^{c}
\end{equation*}と言い換え可能です。これは\(a\)が\(A\)の外点であることの定義に他なりません。したがって、\(a\)が\(A\)の触点であることと、\(a\)が\(A\)の外点でないことは必要十分です。さらに、\(a\)が\(A\)の外点でないことは内点または境界点であることと必要十分であるため以下の命題を得ます。

命題(触点の特徴づけ)

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}A^{a}=A^{i}\cup A^{f}=\left( A^{e}\right) ^{c}
\end{equation*}が成り立つ。

以上の命題より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)のすべての触点を特定するために、すべての内点と境界点を特定してもよいということになります。もしくは、外点をすべて特定すれば、それ以外のすべての点がすべての触点になります。

例(点の閉近傍の閉包)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする閉近傍は、\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。\(n=1\)の場合、これは有界な閉区間\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left[ a-x,a+x\right] \end{equation*}と一致し、\(n=2\)の場合、これは点\(a\)を中心とする円盤(境界を含む)\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}}\leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と一致します。いずれにせよ、この集合の閉包は、\begin{equation*}
\left( C_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{a}=C_{\varepsilon }\left(
a\right)
\end{equation*}となります(演習問題)。

例(点の近傍の閉包)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする(開)近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。\(n=1\)の場合、これは有界な開区間\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left( a-x,a+x\right)
\end{equation*}と一致し、\(n=2\)の場合、これは点\(a\)を中心とする円盤(境界を除く)\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}}<\varepsilon \right\}
\end{equation*}と一致します。いずれにせよ、この集合の閉包は、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{a}=C_{\varepsilon }\left(
a\right)
\end{equation*}となります(演習問題)。

例(有理数空間の直積の閉包)
有限\(n\)個の有理数空間の直積\(\mathbb{Q} ^{n}\)の閉包は、\begin{equation*}\left( \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{a}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}となります(演習問題)。

例(無理数空間の直積の閉包)
有限\(n\)個の無理数空間の直積\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)の閉包は、\begin{equation*}\left( \left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\right) ^{a}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}となります(演習問題)。

例(ユークリッド空間の閉包)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の閉包は、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) ^{a}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}となります(演習問題)。

 

閉包を用いた閉集合の定義

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が任意に与えられたとき、\(A\)の閉包は\(A\)を部分集合として持ちます。つまり、\begin{equation*}A\subset A^{a}
\end{equation*}という関係が常に成り立ちます。\(A\)の任意の点は\(A\)の触点であるということです。言い換えると、\(A\)の任意の点は\(A\)の内点または境界点であるということです。

命題(集合は自身の閉包の部分集合)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}A\subset A^{a}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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では逆に、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A^{a}\subset A
\end{equation*}という関係もまた常に成り立つのでしょうか。以下の例が示唆するように、この関係は成立するとは限りません。

例(集合と閉包の関係)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする近傍\(N_{\varepsilon}\left( a\right) \)の閉包は、\begin{equation*}\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{a}=C_{\varepsilon }\left(
a\right)
\end{equation*}となります。ただし、\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \)は点\(a\)を中心とする閉近傍です。\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(C_{\varepsilon }\left(a\right) \)の真部分集合であるため\(\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right)^{a}\subset N_{\varepsilon }\left( a\right) \)が成り立ちません。

では、どのような条件のもとで\(A^{a}\subset A\)が成立するのでしょうか。実は、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合である場合、そしてその場合にのみ\(A^{a}\subset A\)という関係もまた成立します。

命題(閉包による閉集合の定義)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A^{a}\subset A
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であるための必要十分条件である。
証明

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以上の命題は、閉集合という概念が閉包という概念から定義可能であることを示唆します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}A^{a}\subset A
\end{equation*}が成り立つこととして、つまり\(A\)の任意の触点が\(A\)の点であることとして、言い換えると、\(A\)の任意の内点と境界点が\(A\)の点であることとして、\(A\)が閉集合であることを定義できるということです。さらに、\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)について\(A\subset A^{a}\)が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}A^{a}\subset A &\Leftrightarrow &A^{a}\subset A\wedge A\subset A^{a}\quad
\because A\subset A^{a}\text{は恒真式} \\
&\Leftrightarrow &A^{a}=A
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A^{a}\subset A\Leftrightarrow A^{a}=A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、上の命題を以下のように言い換えることもできます。

命題(閉包による閉集合の定義)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A^{a}=A
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であるための必要十分条件である。

 

閉集合を用いた閉包の定義

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( A^{e}\right) ^{c}=A^{a}
\end{equation*}という関係が成り立ちます(演習問題)。外部\(A^{e}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるため、その補集合\(\left( A^{e}\right)^{c}\)は閉集合です。したがってそれと一致する\(A^{a}\)もまた閉集合です。\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合の閉包は\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるということです。

命題(閉包は閉集合)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)について、その閉包\(A^{a}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合である。
証明

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\begin{equation*}
\left( A^{e}\right) ^{c}=A^{a}
\end{equation*}を得ます。外部\(A^{e}\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、その補集合\(\left( A^{e}\right)^{c}\)は閉集合です。したがってそれと一致する\(A^{a}\)もまた閉集合です。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)を任意に選んだ上で、その閉包\(A^{a}\)をとります。これまでの議論より、\(A^{a}\)は\(A\)を部分集合として持つ閉集合です。\(A\)を部分集合として閉集合は\(A^{a}\)の他にも存在する可能性はありますが、\(A^{a}\)はそのような集合の中でも最小のものです。つまり、\(A\)を部分集合として持つような\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合\(B\)を任意に選んだとき、これと\(A^{a}\)の間には\(A^{a}\subset B\)という関係が成り立つということです(演習問題)。

命題(閉集合系による閉包の特徴づけ)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)について、その閉包\(A^{a}\)は\(A\)を部分集合として持つような閉集合の中でも最小のものである。すなわち、\(\mathbb{R} ^{n}\)の閉集合系を\(\mathcal{A}\)で表すとき、\(A^{a}\in \mathcal{A}\)であるとともに、\begin{equation*}\left( \forall B\in \mathcal{A}:A\subset B\right) \Rightarrow A^{a}\subset B
\end{equation*}が成り立つ。

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\(\mathbb{R} ^{n}\)の閉集合系\(\mathcal{A}\)と部分集合\(A\)が与えられたとします。このとき、\(\mathcal{A}\)に属する\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合の中でも、\(A\)を部分集合として持つものの中で最小のものをとればそれは\(A\)の閉包\(A^{a}\)になります。したがって\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の閉包という概念は、\(\mathbb{R} ^{n}\)の閉集合系\(\mathcal{A}\)から間接的に定義することも可能です。さらに、閉集合系は開集合系から定義可能であるため、結局、閉包もまた開集合系から定義可能な概念です。

 

演習問題

問題(点の開近傍の閉包)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする閉近傍\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \)の閉包は、\begin{equation*}\left( C_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{a}=C_{\varepsilon }\left(
a\right)
\end{equation*}であることを示してください。

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問題(点の閉近傍の閉包)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする近傍\(N_{\varepsilon}\left( a\right) \)の閉包は、\begin{equation*}\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{a}=C_{\varepsilon }\left(
a\right)
\end{equation*}であることを示してください。

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問題(有理数空間の直積の閉包)
有限\(n\)個の有理数空間の直積\(\mathbb{Q} ^{n}\)の閉包は、\begin{equation*}\left( \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{a}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であることを証明してください。

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問題(無理数空間の直積の閉包)
有限\(n\)個の無理数空間の直積\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)の閉包は、\begin{equation*}\left( \left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\right) ^{a}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であることを証明してください。

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問題(ユークリッド空間の直積の閉包)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の閉包は、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) ^{a}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であることを証明してください。

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問題(包含関係と閉包)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\subset B\Rightarrow A^{a}\subset B^{a}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(和集合と閉包)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( A\cup B\right) ^{a}=A^{a}\cup B^{a}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(共通部分と閉包)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}(A\cap B)^{a}\subset A^{a}\cap B^{a}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(共通部分と閉包)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)について、\begin{equation*}A^{a}\cap B^{a}\subset (A\cap B)^{a}
\end{equation*}は成り立つとは限らないことを証明してください。

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次回はユークリッド空間の部分集合の触点を点列を用いて表現できることを示します。

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