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ユークリッド空間における触点・閉包

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触点・閉包

ユークリッド空間の点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、点\(\boldsymbol{a}\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍とは、点\(\boldsymbol{a}\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点からなる集合\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\varepsilon \right\}
\\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon
\right\}
\end{eqnarray*}です。ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)の任意の近傍が\(A\)と交わるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \cap
A\not=\phi
\end{equation*}が成り立つならば、\(\boldsymbol{a}\)を\(A\)の触点(adherent point)と呼びます。つまり、点\(\boldsymbol{a}\)が集合\(A\)の触点であることとは、点\(\boldsymbol{a}\)からいくらでも近い場所に\(A\)の点が必ず存在することを意味します。

逆に、点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が集合\(A\)の触点でないこととは、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \cap
A=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、点\(\boldsymbol{a}\)が集合\(A\)の触点でないこととは、点\(\boldsymbol{a}\)から十分近い場所に\(A\)の点が存在しないことを意味します。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)のすべての触点からなる集合を\(A\)の閉包(closure)と呼び、\begin{equation*}A^{a},\quad \mathrm{cl}\left( A\right)
\end{equation*}などで表記します。任意の点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\in A^{a}\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon
}(\boldsymbol{x})\cap A\not=\phi
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が集合\(A\)の触点ではないことは、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \cap
A=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、これは、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \subset
A^{c}
\end{equation*}と必要十分です。これは\(\boldsymbol{a}\)が\(A\)の外点であることの定義に他なりません。以上より、\begin{equation*}\boldsymbol{a}\not\in A^{a}\Leftrightarrow \boldsymbol{a}\in A^{e}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。ただし、\(A^{e}\)は\(A\)の外部です。したがって、\begin{equation*}\boldsymbol{a}\in A^{a}\Leftrightarrow \boldsymbol{a}\not\in A^{e}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
A^{a}=\left( A^{e}\right) ^{c}
\end{equation*}を得ます。つまり、点\(\boldsymbol{a}\)が集合\(A\)の触点であることと\(\boldsymbol{a}\)が\(A\)の外点ではないことは必要十分であるため、\(A\)の閉包は\(A\)の外部の補集合と一致します。

さらに、点\(\boldsymbol{a}\)が集合\(A\)の外点でないことと\(\boldsymbol{a}\)が\(A\)の内点または境界点であることは必要十分であるため、すなわち、\begin{equation*}\boldsymbol{a}\not\in A^{e}\Leftrightarrow \boldsymbol{a}\in A^{i}\cup A^{f}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( A^{e}\right) ^{c}=A^{i}\cup A^{f}
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
A^{a}=A^{i}\cup A^{f}
\end{equation*}を得ます。ただし、\(A^{i}\)は\(A\)の内部であり、\(A^{f}\)は\(A\)の境界です。つまり、点\(\boldsymbol{a}\)が集合\(A\)の触点であることと\(\boldsymbol{a}\)が\(A\)の内点または境界点であることは必要十分であるため、\(A\)の閉包は\(A\)の内部と境界の和集合と一致します。

結論をまとめると以下の命題を得ます。

命題(触点の特徴づけ)

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}A^{a}=A^{i}\cup A^{f}=\left( A^{e}\right) ^{c}
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(A^{a}\)は\(A\)の閉包、\(A^{i}\)は\(A\)の内部、\(A^{f}\)は\(A\)の境界、\(A^{e}\)は\(A\)の外部である。

以上の命題より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)のすべての触点を特定するために、\(A\)のすべての内点と境界点を特定してもよいことが明らかになりました。もしくは、集合\(A\)の外点をすべて特定すれば、それ以外のすべての点が\(A\)のすべての触点になります。

例(点の開近傍の閉包)
ユークリッド空間の点\(\boldsymbol{a} \in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする開近傍と閉近傍はそれぞれ、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\varepsilon \right\}
\\
C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) \leq \varepsilon
\right\}
\end{eqnarray*}と定義されます。開近傍の閉包は、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \right)
^{a}=C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}となります(演習問題)。

例(点の閉近傍の閉包)
ユークリッド空間の点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする閉近傍は、\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) \leq \varepsilon
\right\}
\end{equation*}と定義されます。この集合の閉包は、\begin{equation*}
\left( C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \right)
^{a}=C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}となります(演習問題)。

例(有界開区間の直積の閉包)
それぞれの番号\(i\ \left( =1,\cdots,n\right) \)に対して、\begin{equation*}a_{i}<b_{i}
\end{equation*}を満たす実数\(a_{i},b_{i}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界開区間\begin{equation*}\left( a_{i},b_{i}\right) =\left\{ x_{i}\in \mathbb{R} \ |\ a_{i}<x_{i}<b_{i}\right\} \quad \left( i=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}をとります。さらに得られた\(n\)個の有界開区間の直積\begin{equation*}\prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right) =\left( a_{1},b_{1}\right)
\times \cdots \times \left( a_{n},b_{n}\right)
\end{equation*}をとります。この集合の閉包は、\begin{equation*}
\left( \prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right) \right)
^{a}=\prod\limits_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \end{equation*}となります(演習問題)。

例(有界閉区間の直積の閉包)
それぞれの番号\(i\ \left( =1,\cdots,n\right) \)に対して、\begin{equation*}a_{i}<b_{i}
\end{equation*}を満たす実数\(a_{i},b_{i}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界閉区間\begin{equation*}\left[ a_{i},b_{i}\right] =\left\{ x_{i}\in \mathbb{R} \ |\ a_{i}\leq x_{i}\leq b_{i}\right\} \quad \left( i=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}をとります。さらに得られた\(n\)個の有界閉区間の直積\begin{equation*}\prod\limits_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] =\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{equation*}をとります。この集合の閉包は、\begin{equation*}
\left( \prod\limits_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \right)
^{a}=\prod\limits_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \end{equation*}となります(演習問題)。

例(無限開区間の直積の閉包)
それぞれの番号\(i\ \left( =1,\cdots,n\right) \)に対して実数\(a_{i}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする無限開区間\begin{equation*}\left( a_{i},+\infty \right) =\left\{ x_{i}\in \mathbb{R} \ |\ a_{i}<x_{i}<+\infty \right\} \quad \left( i=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}をとります。さらに得られた\(n\)個の無限開区間の直積\begin{equation*}\prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},+\infty \right) =\left( a_{1},+\infty
\right) \times \cdots \times \left( a_{n},+\infty \right)
\end{equation*}をとります。この集合の閉包は、\begin{equation*}
\left( \prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},+\infty \right) \right)
^{a}=\prod\limits_{i=1}^{n}\left[ a_{i},+\infty \right)
\end{equation*}となります(演習問題)。

例(整数空間の直積の閉包)
整数集合の直積\(\mathbb{R} ^{n}\)の閉包は、\begin{equation*}\left( \mathbb{Z} ^{n}\right) ^{a}=\mathbb{Z} ^{n}
\end{equation*}となります(演習問題)。

例(有理数空間の直積の閉包)
有理数集合の直積\(\mathbb{Q} ^{n}\)の閉包は、\begin{equation*}\left( \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{a}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}となります(演習問題)。

例(無理数空間の直積の閉包)
無理数集合の直積\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)の閉包は、\begin{equation*}\left( \left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\right) ^{a}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}となります(演習問題)。

例(ユークリッド空間の閉包)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の閉包は、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) ^{a}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}となります(演習問題)。

例(空集合の閉包)
空集合は任意の集合の部分集合であるため\(\phi \subset \mathbb{R} ^{n}\)であり、したがって\(\phi \)の閉包も定義可能ですが、\begin{equation*}\phi ^{a}=\phi
\end{equation*}となります(演習問題)。

 

点列を用いた触点の定義

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が\(A\)の触点であることを判定する方法としては、触点の定義に照らし合わせて確認する方法や、\(\boldsymbol{a}\)が\(A\)の外点でないことを示す方法、もしくは\(\boldsymbol{a}\)が\(A\)の内点または外点であることを示す方法などがあります。ただ、触点は点列の極限を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用した方が触点であることを容易に判定できることがあります。順を追って説明します。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)と点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選びます。一般に、\(A\)の点を項とするとともに点\(\boldsymbol{a}\)に収束する点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は存在するとは限りません。つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\boldsymbol{x}_{v}\in A \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }\boldsymbol{x}_{v}=\boldsymbol{a}
\end{eqnarray*}をともに満たす点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は存在するとは限らないということです。しかし、\(\boldsymbol{a}\)が\(A\)の触点である場合には、上の性質を満たす点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が必ず存在します。

命題(触点と収束点列)

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)と点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(\boldsymbol{a}\)が\(A\)の触点であるならば、\(A\)の点を項とするとともに\(\boldsymbol{a}\)へ収束する点列が存在する。

証明

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上の命題の逆もまた成立します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)と点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(A\)の点を項とするとともに点\(\boldsymbol{a}\)へ収束する点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が存在する場合には、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\boldsymbol{x}_{v}\in A \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }\boldsymbol{x}_{v}=\boldsymbol{a}
\end{eqnarray*}をともに満たす点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が存在する場合、この点\(\boldsymbol{a}\)は\(A\)の触点になることが保証されます。

命題(触点と収束点列)

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)と点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(A\)の点を項とするとともに\(\boldsymbol{a}\)へ収束する点列が存在するならば、\(\boldsymbol{a}\)は\(A\)の触点である。

証明

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以上の2つの命題より、触点という概念は点列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

命題(点列を用いた触点の定義)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)と点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(A\)の要素を項とするとともに\(\boldsymbol{a}\)へ収束する点列が存在することと、\(\boldsymbol{a}\)が\(A\)の触点であるための必要十分条件である。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の要素を項とし点\(\boldsymbol{a}\)へ収束する点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が存在する場合、極限に相当する点\(\boldsymbol{a}\)のいくらでも近い場所に\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の点が無数に存在します。したがって、\(\boldsymbol{a}\)が\(A\)の触点であることは、\(A\)上の点をたどりながら点\(\boldsymbol{a}\)に限りなく近づくことが必ず可能であることを意味します。

 

点列を用いて触点であることを判定する

先の命題より、触点に関する議論を点列の収束に関する議論に置き換えて考えることができます。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が\(A\)の触点であることを示すためには、\(A\)の点を項とするとともに\(\boldsymbol{a}\)へ収束する点列が存在することを示せばよいことになります。

例(点列を用いて触点であることを判定する)
2次元ユークリッド空間の部分集合\begin{equation*}
A=\left( 0,1\right) \times \left( 0,1\right)
\end{equation*}が与えられたとき、\(A\)の任意の点が\(A\)の触点であることを示します。そこで、点\(\left(a_{1},a_{2}\right) \in A\)を任意に選んだ上で、一般項が、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}=\left( a_{1}+\frac{1-a_{1}}{v},a_{2}+\frac{1-a_{2}}{v}\right)
\end{equation*}であるような点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)を定義します。明らかに、\begin{equation*}\forall v\in \mathbb{N} :\boldsymbol{x}_{v}\in A
\end{equation*}が成り立ちます。さらに、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\boldsymbol{x}_{v} &=&\lim_{v\rightarrow \infty
}\left( a_{1}+\frac{1-a_{1}}{v},a_{2}+\frac{1-a_{2}}{v}\right) \quad
\because \boldsymbol{x}_{v}\text{の定義} \\
&=&\left( \lim_{v\rightarrow \infty }\left( a_{1}+\frac{1-a_{1}}{v}\right)
,\lim_{v\rightarrow \infty }\left( a_{2}+\frac{1-a_{2}}{v}\right) \right) \\
&=&\left( a_{1}+0,a_{2}+0\right) \\
&=&\left( a_{1},a_{2}\right) \\
&\in &A
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって先の命題より、点\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)は\(A\)の触点であることが明らかになりました。

 

点列を用いて触点ではないことを判定する

繰り返しになりますが、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)と点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\(\boldsymbol{a}\)が\(A\)の触点であることと、\(A\)の要素を項とするとともに\(\boldsymbol{a}\)へ収束する点列が存在することは必要十分です。したがって、\(A\)の要素を項とするとともに\(\boldsymbol{a}\)へ収束する点列が存在しないことを示せば、\(\boldsymbol{a}\)は\(A\)の触点ではないことを示したことになります。もしくは、\(A\)の要素を項とするとともに\(\boldsymbol{a}\)へ収束する点列が存在するものと仮定して矛盾を導けば、背理法より、\(\boldsymbol{a}\)は\(A\)の触点ではないことになります。

例(点列を用いて触点ではないことを判定する)
2次元ユークリッド空間の部分集合\begin{equation*}
A=\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}が与えられたとき、\(A\)の補集合の任意の点が\(A\)の触点でないことを示します。そこで、点\(\left( a_{1},a_{2}\right) \in A^{c}\)が\(A\)の触点であるものと仮定します。このとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\boldsymbol{x}_{v}\in A \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }\boldsymbol{x}_{v}=\left(
a_{1},a_{2}\right)
\end{eqnarray*}をともに満たす点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が存在することになります。\(\left(a\right) \)および\(A\)の定義より、\begin{equation*}\forall v\in \mathbb{N} :\left( 0\leq x_{v}^{\left( 1\right) }\leq 1\wedge 0\leq x_{v}^{\left(
2\right) }\leq 1\right)
\end{equation*}が成り立つため、点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の極限についても、\begin{equation*}0\leq \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( 1\right) }\leq 1\wedge 0\leq
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( 2\right) }\leq 1
\end{equation*}が成り立ちますが、これと\(\left( b\right) \)より、\begin{equation*}0\leq a_{1}\leq 1\wedge 0\leq a_{2}\leq 1
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( a_{1},a_{2}\right) \in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( a_{1},a_{2}\right) \in A
\end{equation*}を得ますが、これは\(\left( a_{1},a_{2}\right) \in A^{c}\)と矛盾です。したがって背理法より、\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)は\(A\)の触点でないことが明らかになりました。

 

閉包を用いた閉集合の定義

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が任意に与えられたとき、\(A\)の閉包は\(A\)を部分集合として持ちます。つまり、\begin{equation*}A\subset A^{a}
\end{equation*}が常に成り立ちます。\(A\)の任意の点は\(A\)の触点であるということです。言い換えると、\(A\)の任意の点は\(A\)の内点または境界点であるということです。

命題(集合は自身の閉包の部分集合)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}A\subset A^{a}
\end{equation*}が成り立つ。

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では逆に、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)について、以下の関係\begin{equation*}A^{a}\subset A
\end{equation*}もまた常に成り立つのでしょうか。以下の例が示唆するように、この関係は成立するとは限りません。

例(集合と閉包の関係)
ユークリッド空間の点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする開近傍と閉近傍はそれぞれ、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\varepsilon \right\}
\\
C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) \leq \varepsilon
\right\}
\end{eqnarray*}と定義されます。開近傍の閉包は、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \right)
^{a}=C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}となります。したがって、以下の条件\begin{equation*}
d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) =\varepsilon
\end{equation*}を満たす任意の点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)は\(C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)すなわち\(\left( N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \right)^{a}\)の要素である一方で\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)の要素ではないため、以下の関係\begin{equation*}\left( N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \right) ^{a}\subset
N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}は成り立ちません。

では、どのような条件のもとで\(A^{a}\subset A\)が成立するのでしょうか。実は、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合である場合、そしてその場合にのみ\(A^{a}\subset A\)という関係もまた成立します。

命題(閉包による閉集合の定義)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A^{a}\subset A
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であるための必要十分条件である。ただし、\(A^{a}\)は\(A\)の閉包である。
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\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)について\(A\subset A^{a}\)が常に成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}A^{a}\subset A &\Leftrightarrow &A^{a}\subset A\wedge A\subset A^{a}\quad
\because A\subset A^{a}\text{は恒真式} \\
&\Leftrightarrow &A^{a}=A
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A^{a}\subset A\Leftrightarrow A^{a}=A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、上の命題を以下のように言い換えることもできます。

命題(閉包による閉集合の定義)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A^{a}=A
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であるための必要十分条件である。ただし、\(A^{a}\)は\(A\)の閉包である。

以上の命題は、閉集合という概念が閉包という概念から定義可能であることを示唆します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)に対して、その閉包\(A^{a}\)が定義されていれば、以下の関係\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の閉集合}\Leftrightarrow
A^{a}\subset A
\end{equation*}を満たすものとして開集合の概念を間接的に定義できるということです。

 

閉包を用いた閉集合であることの判定

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の閉集合}\Leftrightarrow A^{a}=A
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合が\(A\)の閉集合であることを示すためには、\(A\)の閉包\(A^{a}\)を特定した上で、それが\(A\)と一致することを示してもよいということになります。

例(点の閉近傍の閉包は閉集合)
ユークリッド空間の点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする閉近傍は、\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) \leq \varepsilon
\right\}
\end{equation*}と定義されます。この集合の閉包は、\begin{equation*}
\left( C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \right)
^{a}=C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}を満たすため、\(C_{\varepsilon}\left( \boldsymbol{a}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合です。
例(有界閉区間の直積は閉集合)
それぞれの番号\(i\ \left( =1,\cdots,n\right) \)に対して、\begin{equation*}a_{i}<b_{i}
\end{equation*}を満たす実数\(a_{i},b_{i}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界閉区間\begin{equation*}\left[ a_{i},b_{i}\right] =\left\{ x_{i}\in \mathbb{R} \ |\ a_{i}\leq x_{i}\leq b_{i}\right\} \quad \left( i=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}をとります。さらに得られた\(n\)個の有界閉区間の直積\begin{equation*}\prod\limits_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] =\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{equation*}をとります。この集合の閉包は、\begin{equation*}
\left( \prod\limits_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \right)
^{a}=\prod\limits_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \end{equation*}を満たすため、\(\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合です。
例(整数空間の直積は閉集合)
整数集合の直積\(\mathbb{Z} ^{n}\)の閉包は、\begin{equation*}\left( \mathbb{Z} ^{n}\right) ^{a}=\mathbb{Z} ^{n}
\end{equation*}を満たすため、\(\mathbb{Z} ^{n}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合です。
例(ユークリッド空間は閉集合)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の閉包は、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) ^{a}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を満たすため、\(\mathbb{R} ^{n}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合です。
例(空集合は閉集合)
空集合\(\phi \subset \mathbb{R} ^{n}\)の閉包は、\begin{equation*}\phi ^{a}=\phi
\end{equation*}を満たすため、\(\phi \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合です。

 

閉包を用いた閉集合ではないことの判定

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の閉集合}\Leftrightarrow A^{a}=A
\end{equation*}が成り立つのであれば、以下の関係\begin{equation*}
A\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の閉集合ではない}\Leftrightarrow A^{a}\not=A
\end{equation*}もまた成立します。したがって、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合が\(A\)の閉集合ではないことを示すためには、\(A\)の閉包\(A^{a}\)を特定した上で、それが\(A\)と一致しないことを示してもよいということになります。

ちなみに、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が閉集合ではないことは\(A\)が開集合であることを必ずしも意味しないため、\(A^{a}\not=A\)を示した場合、\(A\)が開集合であることを示したことにはなりません。

例(点の開近傍は閉集合ではない)
ユークリッド空間の点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする開近傍と閉近傍はそれぞれ、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\varepsilon \right\}
\\
C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) \leq \varepsilon
\right\}
\end{eqnarray*}と定義されます。開近傍の閉包は、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \right)
^{a}=C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}です。つまり、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \right)
^{a}\not=N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}となるため、\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合ではありません。
例(有界開区間の直積は閉集合ではない)
それぞれの番号\(i\ \left( =1,\cdots,n\right) \)に対して、\begin{equation*}a_{i}<b_{i}
\end{equation*}を満たす実数\(a_{i},b_{i}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界開区間\begin{equation*}\left( a_{i},b_{i}\right) =\left\{ x_{i}\in \mathbb{R} \ |\ a_{i}<x_{i}<b_{i}\right\} \quad \left( i=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}をとります。さらに得られた\(n\)個の有界開区間の直積\begin{equation*}\prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right) =\left( a_{1},b_{1}\right)
\times \cdots \times \left( a_{n},b_{n}\right)
\end{equation*}をとります。この集合の閉包は、\begin{equation*}
\left( \prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right) \right)
^{a}=\prod\limits_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \end{equation*}です。つまり、\begin{equation*}
\left( \prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right) \right)
^{a}\not=\prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right)
\end{equation*}であるため、\(\prod_{i=1}^{n}\left(a_{i},b_{i}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合ではありません。
例(無限開区間の直積は閉集合ではない)
それぞれの番号\(i\ \left( =1,\cdots,n\right) \)に対して実数\(a_{i}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする無限開区間\begin{equation*}\left( a_{i},+\infty \right) =\left\{ x_{i}\in \mathbb{R} \ |\ a_{i}<x_{i}<+\infty \right\} \quad \left( i=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}をとります。さらに得られた\(n\)個の無限開区間の直積\begin{equation*}\prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},+\infty \right) =\left( a_{1},+\infty
\right) \times \cdots \times \left( a_{n},+\infty \right)
\end{equation*}をとります。この集合の閉包は、\begin{equation*}
\left( \prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},+\infty \right) \right)
^{a}=\prod\limits_{i=1}^{n}\left[ a_{i},+\infty \right)
\end{equation*}です。つまり、\begin{equation*}
\left( \prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},+\infty \right) \right)
^{a}\not=\prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},+\infty \right)
\end{equation*}であるため、\(\prod_{i=1}^{n}\left(a_{i},+\infty \right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合ではありません。
例(有理数空間の直積は閉集合ではない)
有理数集合の直積\(\mathbb{Q} ^{n}\)の閉包は、\begin{equation*}\left( \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{a}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}です。つまり、\begin{equation*}
\left( \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{a}\not=\mathbb{Q} ^{n}
\end{equation*}であるため、\(\mathbb{Q} ^{n}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合ではありません。
例(無理数空間の直積は閉集合ではない)
無理数集合の直積\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)の閉包は、\begin{equation*}\left( \left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\right) ^{a}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}です。つまり、\begin{equation*}
\left( \left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\right) ^{a}\not=\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}
\end{equation*}であるため、\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合ではありません。

 

閉集合を用いた閉包の定義

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A^{a}=\left( A^{e}\right) ^{c}
\end{equation*}が成り立つことを先に示しました。外部\(A^{e}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるため、その補集合\(\left( A^{e}\right)^{c}\)は閉集合です。したがってそれと一致する\(A^{a}\)もまた閉集合です。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合の閉包は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であるということです。

命題(閉包は閉集合)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)について、その閉包\(A^{a}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合である。
証明

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\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)を任意に選んだ上で、その閉包\(A^{a}\)をとります。これまでの議論より、\(A^{a}\)は\(A\)を部分集合として持つ閉集合です。\(A\)を部分集合として閉集合は\(A^{a}\)の他にも存在する可能性はありますが、\(A^{a}\)はそのような集合の中でも最小のものです。つまり、\(A\)を部分集合として持つような\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合\(B\)を任意に選んだとき、これと\(A^{a}\)の間には\(A^{a}\subset B\)という関係が成り立つということです(演習問題)。

命題(閉集合系による閉包の特徴づけ)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)について、その閉包\(A^{a}\)は\(A\)を部分集合として持つような閉集合の中でも最小のものである。すなわち、\(\mathbb{R} ^{n}\)の閉集合系を\(\mathcal{A}\)で表すとき、\(A^{a}\in \mathcal{A}\)であるとともに、\begin{equation*}\left( \forall B\in \mathcal{A}:A\subset B\right) \Rightarrow A^{a}\subset B
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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\(\mathbb{R} ^{n}\)の閉集合系\(\mathcal{A}\)と部分集合\(A\)が与えられたとします。このとき、\(\mathcal{A}\)に属する\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合の中でも、\(A\)を部分集合として持つものの中で最小のものをとればそれは\(A\)の閉包\(A^{a}\)になります。したがって\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の閉包という概念は、\(\mathbb{R} ^{n}\)の閉集合系\(\mathcal{A}\)から間接的に定義することも可能です。さらに、閉集合系は開集合系から定義可能であるため、結局、閉包もまた開集合系から定義可能な概念です。

 

演習問題

問題(点の閉近傍の閉包)
ユークリッド空間の点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする近傍\(N_{\varepsilon}\left( \boldsymbol{a}\right) \)の閉包が、\begin{equation*}\left( N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \right)
^{a}=C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}であることを示してください。

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問題(点の開近傍の閉包)
ユークリッド空間の点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする閉近傍\(C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)の閉包が、\begin{equation*}\left( C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \right)
^{a}=C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}であることを示してください。

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問題(有界開区間の直積の閉包)
それぞれの番号\(i\ \left( =1,\cdots,n\right) \)に対して、\begin{equation*}a_{i}<b_{i}
\end{equation*}を満たす実数\(a_{i},b_{i}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界開区間\begin{equation*}\left( a_{i},b_{i}\right) =\left\{ x_{i}\in \mathbb{R} \ |\ a_{i}<x_{i}<b_{i}\right\} \quad \left( i=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}をとります。さらに得られた\(n\)個の有界開区間の直積\begin{equation*}\prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right) =\left( a_{1},b_{1}\right)
\times \cdots \times \left( a_{n},b_{n}\right)
\end{equation*}をとります。この集合の閉包が、\begin{equation*}
\left( \prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right) \right)
^{a}=\prod\limits_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \end{equation*}であることを示してください。

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問題(有界閉区間の直積の閉包)
それぞれの番号\(i\ \left( =1,\cdots,n\right) \)に対して、\begin{equation*}a_{i}<b_{i}
\end{equation*}を満たす実数\(a_{i},b_{i}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界閉区間\begin{equation*}\left[ a_{i},b_{i}\right] =\left\{ x_{i}\in \mathbb{R} \ |\ a_{i}\leq x_{i}\leq b_{i}\right\} \quad \left( i=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}をとります。さらに得られた\(n\)個の有界開区間の直積\begin{equation*}\prod\limits_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] =\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{equation*}をとります。この集合の閉包が、\begin{equation*}
\left( \prod\limits_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \right)
^{a}=\prod\limits_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \end{equation*}であることを示してください。

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問題(無限開区間の直積の閉包)
それぞれの番号\(i\ \left( =1,\cdots,n\right) \)に対して実数\(a_{i}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする無限開区間\begin{equation*}\left( a_{i},+\infty \right) =\left\{ x_{i}\in \mathbb{R} \ |\ a_{i}<x_{i}<+\infty \right\} \quad \left( i=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}をとります。さらに得られた\(n\)個の無限開区間の直積\begin{equation*}\prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},+\infty \right) =\left( a_{1},+\infty
\right) \times \cdots \times \left( a_{n},+\infty \right)
\end{equation*}をとります。この集合の閉包が、\begin{equation*}
\left( \prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},+\infty \right) \right)
^{a}=\prod\limits_{i=1}^{n}\left[ a_{i},+\infty \right)
\end{equation*}であることを示してください。

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問題(整数空間の直積の閉包)
整数集合の直積\(\mathbb{Z} ^{n}\)の閉包が、\begin{equation*}\left( \mathbb{Z} ^{n}\right) ^{a}=\mathbb{Z} ^{n}
\end{equation*}であることを示してください。

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問題(有理数空間の直積の閉包)
有理数集合の直積\(\mathbb{Q} ^{n}\)の閉包が、\begin{equation*}\left( \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{a}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であることを示してください。

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問題(無理数空間の直積の閉包)
無理数集合の直積\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)の閉包が、\begin{equation*}\left( \left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\right) ^{a}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であることを示してください。

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問題(ユークリッド空間の閉包)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の閉包が、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) ^{a}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であることを示してください。

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問題(空集合の閉包)
空集合\(\phi \subset \mathbb{R} ^{n}\)の閉包が、\begin{equation*}\phi ^{a}=\phi
\end{equation*}であることを示してください。

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問題(包含関係と閉包)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\subset B\Rightarrow A^{a}\subset B^{a}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(和集合と閉包)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( A\cup B\right) ^{a}=A^{a}\cup B^{a}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(共通部分と閉包)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}(A\cap B)^{a}\subset A^{a}\cap B^{a}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(共通部分と閉包)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)について、\begin{equation*}A^{a}\cap B^{a}\subset (A\cap B)^{a}
\end{equation*}は成り立つとは限らないことを証明してください。

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ユークリッド空間の位相