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ユークリッド空間における孤立点

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孤立点

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が\(A\)の集積点であることとは、点\(a\)の任意の近傍が\(a\)とは異なる\(A\)の点を要素として持つこと、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \left(
A\backslash \left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。定義より、\(A\)の集積点は必ずしも\(A\)の要素であるとは限りません。一方、点\(a\)が\(A\)の要素であるとともに、\(A\)の集積点でない場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in A \\
&&\left( b\right) \ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\cap \left( A\backslash \left\{ a\right\} \right) =\phi
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、この点\(a\)を\(A\)の孤立点(isolated point)と呼びます。繰り返しになりますが、集積点とは異なり、\(A\)の孤立点は\(A\)の点でなければなりません。\(A\)の点の中でも\(A\)の集積点でないものを\(A\)の孤立点と呼ぶということです。したがって、\(A\)の孤立点からなる集合は、\begin{equation*}A\backslash A^{d}
\end{equation*}となります。ただし、\(A^{d}\)は\(A\)の集積点からなる集合、すなわち導集合です。

例(孤立点)
\(\mathbb{R} \)の部分集合として、\begin{equation*}A=\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}について考えます。この集合の導集合は、\begin{equation*}
A^{d}=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}であるため、\(A\)の孤立点からなる集合は、\begin{equation*}A\backslash A^{d}=A
\end{equation*}となります。つまり、\(A\)のすべての点が\(A\)の孤立点です。この集合\(A\)のように、孤立点だけからなる集合を離散集合(discrete set)と呼びます。
例(孤立点)
\(\mathbb{R} \)の部分集合として、\begin{equation*}A=\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \cup \{0\}
\end{equation*}について考えます。この集合の導集合は、\begin{equation*}
A^{d}=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}であるため、\(A\)の孤立点からなる集合は、\begin{equation*}A\backslash A^{d}=\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}となります。つまり、\(0\)以外の\(A\)のすべての点が\(A\)の孤立点です。\(A\)は孤立点ではない点\(0\)を要素として持つため、\(A\)は離散集合ではありません。
例(点の近傍の孤立点)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。この集合の導集合は、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{d}=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}であるため、\(N_{\varepsilon }\left(a\right) \)の孤立点からなる集合は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) \backslash \left( N_{\varepsilon }\left(
a\right) \right) ^{d}=\phi
\end{equation*}となります。つまり、\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は孤立点を持ちません。
例(点の閉近傍の孤立点)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする閉近傍は、\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。この集合の導集合は、\begin{equation*}
\left( C_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{d}=C_{\varepsilon }\left(
a\right)
\end{equation*}であるため、\(C_{\varepsilon }\left(a\right) \)の孤立点からなる集合は、\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) \backslash \left( C_{\varepsilon }\left(
a\right) \right) ^{d}=\phi
\end{equation*}となります。つまり、\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \)は孤立点を持ちません。
例(有理数空間の直積の孤立点)
有限\(n\)個の有理数空間の直積\(\mathbb{Q} ^{n}\)の導集合は、\begin{equation*}\left( \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{d}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であるため、\(\mathbb{Q} ^{n}\)の孤立点からなる集合は、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{n}\backslash \left( \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{d}=\phi \end{equation*}となります。つまり、\(\mathbb{Q} ^{n}\)は孤立点を持ちません。
例(無理数空間の直積の孤立点)
有限\(n\)個の無理数空間の直積\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)の導集合は、\begin{equation*}\left( \left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\right) ^{d}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であるため、\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)の孤立点からなる集合は、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\backslash \left( \left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\right) ^{d}=\phi
\end{equation*}となります。つまり、\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)は孤立点を持ちません。
例(ユークリッド空間の孤立点)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の導集合は、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) ^{d}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)の孤立点からなる集合は、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{n}\backslash \left( \mathbb{R} ^{n}\right) ^{d}=\phi \end{equation*}となります。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)は孤立点を持ちません。
例(1点集合の孤立点)
点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上でこれだけを要素として持つ集合\(\left\{ a\right\} \)について考えます。この集合の導集合は、\begin{equation*}\left\{ a\right\} ^{d}=\phi
\end{equation*}であるため、この集合の孤立点からなる集合は、\begin{eqnarray*}
\left\{ a\right\} \backslash \left\{ a\right\} ^{d} &=&\left\{ a\right\}
\backslash \phi \\
&=&\left\{ a\right\}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\left\{ a\right\} \)の孤立点は\(a\)です。つまり、この集合\(\left\{ a\right\} \)もまた離散集合です。

 

孤立点であるための必要十分条件

繰り返しになりますが、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が\(A\)の孤立点であることとは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in A \\
&&\left( b\right) \ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\cap \left( A\backslash \left\{ a\right\} \right) =\phi
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。つまり、点\(a\)以外の\(A\)の点を要素として持たない\(a\)の近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)が存在するということです。さらに、\(a\in N_{\varepsilon }\left( a\right) \)かつ\(a\in A\)であることを踏まえると、上の条件は、\(N_{\varepsilon}\left( a\right) \)と\(A\)が共有する点が\(a\)だけであること、すなわち、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A=\left\{
a\right\}
\end{equation*}と必要十分です。つまり、点\(a\)が\(A\)の孤立点であることとは、十分小さな半径\(\varepsilon >0\)のもとでは近傍\(N_{\varepsilon}\left( a\right) \)の中に\(a\)以外の\(A\)の点が存在しないことを意味します。孤立点という名の由来はここにあります。

命題(孤立点の言い換え)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A=\left\{
a\right\}
\end{equation*}が成り立つことは、点\(a\)が\(A\)の孤立点であるための必要十分条件である。

 

触点・集積点・孤立点の関係

復習になりますが、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\begin{equation*}A^{a}=A\cup A^{d}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、\(A^{a}\)は\(A\)の閉包、\(A^{d}\)は\(A\)の導集合です。また、\(A\)の孤立点からなる集合は\(A\backslash A^{d}\)です。このとき、\begin{eqnarray*}A^{a} &=&A\cup A^{d} \\
&=&\left( \left( A\backslash A^{d}\right) \cup A^{d}\right) \cup A^{d} \\
&=&\left( A\backslash A^{d}\right) \cup A^{d}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A^{a}=\left( A\backslash A^{d}\right) \cup A^{d}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(A\)の閉包は\(A\)の孤立点からなる集合と\(A\)の導集合に分割されるということです。言い換えると、\(A\)の孤立点と集積点をすべて集めれば\(A\)のすべての触点が得られると言うことです。

命題(触点・集積点・孤立点の関係)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A^{a}=\left( A\backslash A^{d}\right) \cup A^{d}
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(A^{a}\)は\(A\)の閉包、\(A\backslash A^{d}\)は\(A\)の孤立点からなる集合、\(A^{d}\)は\(A\)の導集合である。

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