孤立点
ユークリッド空間の点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、点\(\boldsymbol{a}\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍とは、点\(\boldsymbol{a}\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点からなる集合\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\varepsilon \right\}
\\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon
\right\}
\end{eqnarray*}です。\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が\(A\)の集積点であることとは、点\(\boldsymbol{a}\)の任意の近傍が\(\boldsymbol{a}\)とは異なる\(A\)の点を要素として持つこと、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \cap
\left( A\backslash \left\{ \boldsymbol{a}\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。定義より、\(A\)の集積点は必ずしも\(A\)の要素であるとは限りません。一方、点\(\boldsymbol{a}\)が\(A\)の要素であるとともに、\(A\)の集積点でない場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \boldsymbol{a}\in A \\
&&\left( b\right) \ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left(
\boldsymbol{a}\right) \cap \left( A\backslash \left\{ \boldsymbol{a}\right\}
\right) =\phi
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、この点\(\boldsymbol{a}\)を\(A\)の孤立点（isolated point）と呼びます。
集積点とは異なり、\(A\)の孤立点は\(A\)の点でなければなりません。\(A\)の点の中でも\(A\)の集積点でないものを\(A\)の孤立点と呼ぶということです。したがって、\(A\)の孤立点からなる集合は、\begin{equation*}A\backslash A^{d}
\end{equation*}となります。ただし、\(A^{d}\)は\(A\)の集積点からなる集合、すなわち導集合です。
以上の事実は、\(A\)上の点は\(A\)の集積点または孤立点のどちらか一方であることも意味します。
\end{equation*}である。ただし、\(A^{d}\)は\(A\)の導集合である。
\end{equation*}と定義されます。この集合の導集合は、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \right)
^{d}=C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}です。ただし、\(C_{\varepsilon}\left( \boldsymbol{a}\right) \)は点\(\boldsymbol{a}\)が中心で半径\(\varepsilon \)の閉近傍であり、\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) \leq \varepsilon
\right\}
\end{equation*}と定義されます。したがって、\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)の孤立点からなる集合は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \backslash \left(
N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \right) ^{d} &=&N_{\varepsilon
}\left( \boldsymbol{a}\right) \backslash C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \\
&=&\phi
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)は孤立点を持ちません。
^{d}=C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}です。したがって、\(C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)の孤立点からなる集合は、\begin{eqnarray*}C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \backslash \left(
C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \right) ^{d} &=&C_{\varepsilon
}\left( \boldsymbol{a}\right) \backslash C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \\
&=&\phi
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)は孤立点を持ちません。
&=&\prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right) \\
&=&\left( a_{1},b_{1}\right) \times \cdots \times \left( a_{n},b_{n}\right)
\end{eqnarray*}の導集合は、\begin{equation*}
\left( \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right) ^{d}=\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] \end{equation*}です。したがって、\(\left( \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right) \)の孤立点からなる集合は、\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right) \backslash \left( \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right) ^{d} &=&\left( \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right)
\backslash \left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] \\
&=&\phi
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\left( \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right) \)は孤立点を持ちません。
a_{i},b_{i}\right] \\
&=&\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{eqnarray*}の導集合は、\begin{equation*}
\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] ^{d}=\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] \end{equation*}です。したがって、\(\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] \)の孤立点からなる集合は、\begin{eqnarray*}\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] \backslash \left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] ^{d} &=&\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] \backslash \left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] \\
&=&\phi
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] \)は孤立点を持ちません。
a_{i},+\infty \right) \\
&=&\left( a_{1},+\infty \right) \times \cdots \times \left( a_{n},+\infty
\right)
\end{eqnarray*}の導集合は、\begin{equation*}
\left( \boldsymbol{a},+\infty \right) ^{d}=[\boldsymbol{a},+\infty )
\end{equation*}です。したがって、\(\left( \boldsymbol{a},+\infty \right) \)の孤立点からなる集合は、\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{a},+\infty \right) \backslash \left( \boldsymbol{a},+\infty \right) ^{d} &=&\left( \boldsymbol{a},+\infty \right) \backslash
\lbrack \boldsymbol{a},+\infty ) \\
&=&\phi
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\left( \boldsymbol{a},+\infty \right) \)は孤立点を持ちません。
\\
&=&[a_{1},+\infty )\times \cdots \times \lbrack a_{n},+\infty )
\end{eqnarray*}の導集合は、\begin{equation*}
\lbrack \boldsymbol{a},+\infty )^{d}=[\boldsymbol{a},+\infty )
\end{equation*}です。したがって、\([\boldsymbol{a},+\infty )\)の孤立点からなる集合は、\begin{eqnarray*}\lbrack \boldsymbol{a},+\infty )\backslash \lbrack \boldsymbol{a},+\infty
)^{d} &=&[\boldsymbol{a},+\infty )\backslash \lbrack \boldsymbol{a},+\infty )
\\
&=&\phi
\end{eqnarray*}となります。つまり、\([\boldsymbol{a},+\infty )\)は孤立点を持ちません。
\end{equation*}です。したがって、\(\mathbb{Q} ^{n}\)の孤立点からなる集合は、\begin{eqnarray*}\mathbb{Q} ^{n}\backslash \left( \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{d} &=&\mathbb{Q} ^{n}\backslash \mathbb{R} ^{n} \\&=&\phi
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\mathbb{Q} ^{n}\)は孤立点を持ちません。
\end{equation*}です。したがって、\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)の孤立点からなる集合は、\begin{eqnarray*}\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\backslash \left( \left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\right) ^{d} &=&\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\backslash \mathbb{R} ^{n} \\
&=&\phi
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)は孤立点を持ちません。
\end{equation*}です。したがって、\(\mathbb{R} ^{n}\)の孤立点からなる集合は、\begin{eqnarray*}\mathbb{R} ^{n}\backslash \left( \mathbb{R} ^{n}\right) ^{d} &=&\mathbb{R} ^{n}\backslash \mathbb{R} ^{n} \\&=&\phi
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)は孤立点を持ちません。
\end{equation*}です。したがって、\(\phi \)の孤立点からなる集合は、\begin{eqnarray*}\phi \backslash \phi ^{d} &=&\phi \backslash \phi \\
&=&\phi
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\phi \)は孤立点を持ちません。
&=&\left\{ -1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\cdots ,\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているとき、導集合は、\begin{equation*}
A^{d}=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}です。したがって、\(A\)の孤立点からなる集合は、\begin{eqnarray*}A\backslash A^{d} &=&A\backslash \left\{ 0\right\} \\
&=&A
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(A\)のすべての要素が\(A\)の孤立点です。この集合\(A\)のように、孤立点だけからなる集合を離散集合（discrete set）と呼びます。
&=&\left\{ -1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\cdots ,0,\cdots ,\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているとき、導集合は、\begin{equation*}
A^{d}=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}です。したがって、\(A\)の孤立点からなる集合は、\begin{eqnarray*}A\backslash A^{d} &=&A\backslash \left\{ 0\right\} \\
&=&\left\{ -1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\cdots ,\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right\}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(0\)以外の\(A\)のすべての要素が\(A\)の孤立点です。\(A\)は孤立点ではない点\(0\)を要素として持つため、\(A\)は離散集合ではありません。
\end{equation*}であるため、この集合の孤立点からなる集合は、\begin{eqnarray*}
\left\{ \boldsymbol{a}\right\} \backslash \left\{ \boldsymbol{a}\right\}
^{d} &=&\left\{ \boldsymbol{a}\right\} \backslash \phi \\
&=&\left\{ \boldsymbol{a}\right\}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\left\{ \boldsymbol{a}\right\} \)の孤立点は\(\boldsymbol{a}\)です。つまり、この集合\(\left\{ \boldsymbol{a}\right\} \)もまた離散集合です。
孤立点であるための必要十分条件
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が\(A\)の孤立点であることとは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \boldsymbol{a}\in A \\
&&\left( b\right) \ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left(
\boldsymbol{a}\right) \cap \left( A\backslash \left\{ \boldsymbol{a}\right\}
\right) =\phi
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。つまり、点\(\boldsymbol{a}\)以外の\(A\)の点を要素として持たない\(\boldsymbol{a}\)の近傍\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)が存在するということです。さらに、\(\boldsymbol{a}\in N_{\varepsilon}\left( \boldsymbol{a}\right) \)かつ\(\boldsymbol{a}\in A\)であることを踏まえると、上の条件は、\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)と\(A\)が共有する点が\(\boldsymbol{a}\)だけであること、すなわち、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \cap
A=\left\{ \boldsymbol{a}\right\}
\end{equation*}と必要十分です。つまり、点\(\boldsymbol{a}\)が\(A\)の孤立点であることとは、十分小さな半径\(\varepsilon>0\)のもとでは近傍\(N_{\varepsilon}\left( \boldsymbol{a}\right) \)の中に\(\boldsymbol{a}\)以外の\(A\)の点が存在しないことを意味します。孤立点という名称の由来はここにあります。
A=\left\{ \boldsymbol{a}\right\}
\end{equation*}が成り立つことは、点\(\boldsymbol{a}\)が\(A\)の孤立点であるための必要十分条件である。
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
N_{\frac{1}{2}}\left( \boldsymbol{m}\right) \cap \mathbb{N} ^{n}=\left\{ \boldsymbol{m}\right\}
\end{equation*}を得ます。したがって先の命題より\(\boldsymbol{m}\)は\(\mathbb{N} ^{n}\)の孤立点です。\(\mathbb{N} ^{n}\)上の任意の点について同様の議論が成り立つため、\(\mathbb{N} ^{n}\)の点はいずれも\(\mathbb{N} ^{n}\)の孤立点です。
触点・集積点・孤立点の関係
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation}A^{a}=A\cup A^{d} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、\(A^{a}\)は\(A\)の閉包、\(A^{d}\)は\(A\)の導集合です。また、\(A\)の孤立点からなる集合は\(A\backslash A^{d}\)です。このとき、\begin{eqnarray*}A^{a} &=&A\cup A^{d}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left( \left( A\backslash A^{d}\right) \cup \left( A\cap A^{d}\right)
\right) \cup A^{d}\quad \because A=\left( A\backslash B\right) \cup \left(
A\cap B\right) \\
&=&\left( A\backslash A^{d}\right) \cup \left( A\cap A^{d}\right) \cup
A^{d}\quad \because \text{結合律} \\
&=&\left( A\backslash A^{d}\right) \cup A^{d}\quad \because A\cap
A^{d}\subset A^{d}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A^{a}=\left( A\backslash A^{d}\right) \cup A^{d}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(A\)の閉包は\(A\)の孤立点からなる集合と\(A\)の導集合に分割されるということです。言い換えると、\(A\)の孤立点と集積点をすべて集めれば\(A\)のすべての触点が得られると言うことです。
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(A^{a}\)は\(A\)の閉包、\(A\backslash A^{d}\)は\(A\)の孤立点からなる集合、\(A^{d}\)は\(A\)の導集合である。
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