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外点

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の近傍の中に\(A\)の補集合\(A^{c}\)の部分集合であるようなものが存在するならば、すなわち、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A^{c}
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の外点(exterior point)と呼びます。ただし、点の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \quad \because \text{近傍の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon
\right\} \quad \because \text{距離の定義}
\end{eqnarray*}と定義されます。したがって、点\(a\)が集合\(A\)の外点であることとは、十分小さい距離\(\varepsilon \)を選べば、\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(\mathbb{R} ^{n}\)上の任意の点が\(A^{c}\)の点であること、すなわち\(A\)の点でないことが保証されることを意味します。

一般に、集合\(X\)が集合\(Y\)の部分集合であることは\(X\)が\(Y\)の補集合\(Y^{c}\)と交わらないことと同義です。したがって、点\(a\)が集合\(A\)の外点であることを、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A=\phi
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、点\(a\)の近傍の中に\(A\)と交わらないものが存在するならば\(a\)は\(A\)の外点です。

繰り返しになりますが、集合\(A\)の外点\(a\)が与えられたとき、定義より、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A^{c}
\end{equation*}が成り立ちます。近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)はその中心\(a\)を要素として含むため、上の関係より、\(a\)は\(A^{c}\)の要素でもあります。つまり、集合\(A\)の外点はかならず\(A^{c}\)の要素であるということです。言い換えると、\(A^{c}\)の要素ではない点は\(A\)の外点になり得ないため、\(A\)の外点を探す際には\(A^{c}\)の点だけを候補としても問題はありません。

命題(集合の外点はその集合の補集合の要素)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)に対して、\(A\)の任意の外点は\(A^{c}\)の要素である。
例(点の近傍の外点)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。先の命題より、\(N_{\varepsilon }\left(a\right) \)の任意の点は\(N_{\varepsilon}\left( a\right) \)の外点になり得ません。\(d\left( x,a\right) >\varepsilon \)を満たす点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対しては、\begin{equation*}\varepsilon =d\left( x,a\right) -\varepsilon >0
\end{equation*}をとることができ、この場合には\(N_{\varepsilon }\left(x\right) \)が\(\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{c}\)の部分集合になることが示されます。また、\(d\left( x,a\right) =\varepsilon \)を満たす点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対しては、その任意の近傍は\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)と交わるため、これらの点は\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の外点ではありません。したがって、\(N_{\varepsilon}\left( a\right) \)のすべての外点からなる集合は、\begin{equation*}\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) >\varepsilon \right\}
\end{equation*}です(演習問題にします)。

例(点の閉近傍の外点)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする閉近傍は、\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。先の命題より、\(C_{\varepsilon }\left(a\right) \)の任意の点は\(C_{\varepsilon}\left( a\right) \)の外点になり得ません。\(d\left( x,a\right) >\varepsilon \)を満たす任意の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)が\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \)の外点であることが先と同様の方針により示されます。したがって、\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \)のすべての外点からなる集合は、\begin{equation*}\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) >\varepsilon \right\}
\end{equation*}です(演習問題にします)。

例(有理数空間の直積の外点)
\(n\)個の有理数空間の直積\(\mathbb{Q} ^{n}\)について考えます。\(n\in \mathbb{N} \)です。先の命題より、\(\mathbb{Q} ^{n}\)の任意の要素は\(\mathbb{Q} ^{n}\)の外点ではありません。補集合\(\mathbb{R} ^{n}\backslash \mathbb{Q} ^{n}\)は無理数空間の直積ですが、その要素、すなわち無理数を成分とする点もまた\(\mathbb{Q} ^{n}\)の外点ではありません。実際、点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \mathbb{Q} ^{n}\)を任意に選んだとき、有理数の稠密性より、任意の\(\varepsilon >0\)に対して\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)の中には有理数を成分とする点が存在することが示され、したがって\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\backslash \mathbb{Q} ^{n}\)の部分集合にならないからです(演習問題にします)。したがって、\(\mathbb{Q} ^{n}\)の外点は存在しません。
例(無理数空間の直積の外点)
\(n\)個の無理数空間の直積\(\mathbb{R} ^{n}\backslash \mathbb{Q} ^{n}\)について考えます。\(n\in \mathbb{N} \)です。先の命題より、\(\mathbb{R} ^{n}\backslash \mathbb{Q} ^{n}\)の任意の要素は\(\mathbb{R} ^{n}\backslash \mathbb{Q} ^{n}\)の外点ではありません。補集合\(\mathbb{Q} ^{n}\)は有理数空間の直積ですが、その要素、すなわち有理数を成分とする点もまた\(\mathbb{R} ^{n}\backslash \mathbb{Q} ^{n}\)の外点ではありません。実際、点\(x\in \mathbb{Q} ^{n}\)を任意に選んだとき、無理数の稠密性より、任意の\(\varepsilon >0\)に対して\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)の中には無理数を成分とする点が存在することが示され、したがって\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)は\(\mathbb{Q} ^{n}\)の部分集合にならないからです(演習問題にします)。したがって、\(\mathbb{R} ^{n}\backslash \mathbb{Q} ^{n}\)の外点は存在しません。
例(ユークリッド空間の外点)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)について考えます。先の命題より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の要素は\(\mathbb{R} ^{n}\)の外点ではありません。したがって、\(\mathbb{R} ^{n}\)の外点は存在しません。

 

外部

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)のすべての外点からなる集合を\(A\)の外部(exterior)と呼び、\begin{equation*}A^{e},\quad \mathrm{ext}\left( A\right)
\end{equation*}などで表記します。定義より、任意の\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{eqnarray*}x\in A^{e} &\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A^{c}\quad \because \text{外部の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }(x)\cap A\not=\phi
\quad \because \subset \text{の定義}
\end{eqnarray*}などの関係が成り立ちます。

例(点の近傍の外部)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}について考えます。先の議論より、この集合の外部は、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{e}=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) >\varepsilon \right\}
\end{equation*}です。

例(点の閉近傍の外部)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする閉近傍\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}について考えます。先の議論より、この集合の外部は、\begin{equation*}
\left( C_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{e}=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) >\varepsilon \right\}
\end{equation*}です。

例(有理数空間の直積の外部)
先に確認したように、有理数空間の直積\(\mathbb{Q} ^{n}\)は外点を持たないため、\begin{equation*}\left( \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{e}=\phi
\end{equation*}となります。

例(無理数空間の直積の外部)
先に確認したように、無理数空間の直積\(\mathbb{R} ^{n}\backslash \mathbb{Q} ^{n}\)は外点を持たないため、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n}\backslash \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{e}=\phi
\end{equation*}となります。

例(ユークリッド空間の外部)
先に確認したように、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)は外点を持たないため、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) ^{e}=\phi
\end{equation*}となります。

先に示したように、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の外点は\(A^{c}\)の要素であるため、\(A\)の外部は\(A^{c}\)の部分集合です。つまり、\(A^{e}\subset A^{c}\)という関係が常に成り立ちます。

命題(集合の外部はその集合の補集合の部分集合)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}A^{e}\subset A^{c}
\end{equation*}が成り立つ。

逆に、\(A^{c}\subset A^{e}\)は成り立つでしょうか。以下の例が示唆するように、この関係は成立するとは限りません。

例(補集合と外部の関係)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}について考えます。先に確認したように、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{e}=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) >\varepsilon \right\}
\end{equation*}です。\(d\left( x,a\right) =\varepsilon \)を満たす点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)はいずれも\(\left( N_{\varepsilon }\left(a\right) \right) ^{c}\)の要素である一方で、\(\left( N_{\varepsilon }\left( a\right)\right) ^{e}\)の要素ではないため、\(\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{c}\subset\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{e}\)という関係が成立していません。

 

外部と内部の関係

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、任意の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{align*}x\in A^{i}& \Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon
}(x)\subset A\quad \because \text{内部の定義}
\\
& \Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }(x)\subset
(A^{c})^{c}\quad \because A=(A^{c})^{c} \\
& \Leftrightarrow \ x\in (A^{c})^{e}\quad \because \text{外部の定義}
\end{align*}となるため\(A^{i}=\left( A^{c}\right) ^{e}\)が成り立ちます。つまり、\begin{equation*}x\text{は}A\text{の内点}\Leftrightarrow x\text{は}A^{c}\text{の外点}
\end{equation*}という関係が成り立つということです。また、\begin{align*}
x\in A^{e}& \Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon
}(x)\subset A^{c}\quad \because \text{外部の定義} \\
& \Leftrightarrow \ x\in (A^{c})^{i}\quad \because \text{内部の定義}
\end{align*}となるため\(A^{e}=\left( A^{c}\right) ^{i}\)も成り立ちます。つまり、\begin{equation*}x\text{は}A\text{の外点}\Leftrightarrow x\text{は}A^{c}\text{の内点}
\end{equation*}という関係が成り立つということです。以上の事実を命題としてまとめておきます。

命題(外部と内部の関係)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A^{i}=\left( A^{c}\right) ^{e} \\
&&\left( b\right) \ A^{e}=\left( A^{c}\right) ^{i}
\end{eqnarray*}が成り立つ。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の内部という概念は\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)から定義可能であることを以前に指摘しました。さらに内部が定義されれば、上の命題より、外部という概念を間接的に定義することもできます。つまり\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の外部を、その補集合\(A^{c}\)の内部として定義できるということです。したがって、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の外部という概念もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)から定義可能です。

 

開集合系による外部の特徴づけ

以前に示したように、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であることと\(A=A^{i}\)が成り立つことは必要十分です。また、先に示したように、内部と外部の間には\(A^{i}=\left( A^{c}\right) ^{e}\)が成り立つため、\(A\)が開集合であることと\(A=\left(A^{c}\right) ^{e}\)が成り立つこともまた必要十分です。

命題(外部による開集合の特徴づけ)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)について、\(A=\left( A^{c}\right) ^{e}\)が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるための必要十分条件である。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、先に示した内部と外部の関係より\(A^{e}=\left( A^{c}\right) ^{i}\)が成り立ちます。\(\left( A^{c}\right) ^{i}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合である\(A^{c}\)の内部ですが、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の内部は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるため\(\left( A^{c}\right) ^{i}\)もまた開集合です。したがって、それと等しい\(A^{e}\)もまた開集合です。\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の外部は開集合であるということです。

命題(外部は開集合)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)について、その外部\(A^{e}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合である。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)を任意に選んだ上で、その外部\(A^{e}\)をとります。これまでの議論より、\(A^{e}\)は\(A^{c}\)の部分集合であり、なおかつ\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合です。\(A^{c}\)の部分集合であるような\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合は\(A^{e}\)の他にも存在する可能性はありますが、\(A^{e}\)はそのような集合の中でも最大のものです。つまり、\(A^{c}\)の部分集合であるような\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合\(B\)を任意に選んだとき、これと\(A^{e}\)の間には\(B\subset A^{e}\)という関係が成り立つということです(演習問題にします)。

命題(開集合系による外部の特徴づけ)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)について、その外部\(A^{e}\)は\(A^{c}\)の部分集合であるような開集合の中でも最大のものである。すなわち、\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系を\(\mathcal{O}\)で表すとき、\(A^{e}\in \mathcal{O}\)であるとともに、\begin{equation*}\left( \forall B\in \mathcal{O}:B\subset A^{c}\right) \Rightarrow B\subset
A^{e}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)と部分集合\(A\)が与えられたとしましょう。このとき、\(\mathcal{O}\)に属する\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合の中でも、\(A^{c}\)の部分集合でありなおかつその中で最大のものをとればそれは\(A\)の外部\(A^{e}\)になります。したがって\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の外部という概念は、\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義することも可能です。

 

外部と集合演算

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選びます。\(A\subset B\)が成り立つ場合、それらの外部については包含関係が逆転した\(B^{e}\subset A^{e}\)が成り立ちます。

命題(包含関係と外部)

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\subset B\Rightarrow B^{e}\subset A^{e}
\end{equation*}が成り立つ。

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ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選びます。このとき、\begin{equation*}\left( A\cup B\right) ^{e}=A^{e}\cap B^{e}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、2つの集合について、それらの和集合の外部は、個々の集合の外部の共通部分と一致するということです。

命題(外部と集合演算)

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( A\cup B\right) ^{e}=A^{e}\cap B^{e}
\end{equation*}が成り立つ。

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演習問題

問題(点の近傍の外部)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の外部を理由とともに明らかにしてください。
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問題(点の閉近傍の外部)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする閉近傍は、\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \)の外部を理由とともに明らかにしてください。
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問題(有理数空間の直積の外点)
\(n\)個の有理数空間の直積\(\mathbb{Q} ^{n}\)について、\begin{equation*}\left( \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{e}=\phi
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(無理数空間の直積の外点)
\(n\)個の無理数空間の直積\(\mathbb{R} ^{n}\backslash \mathbb{Q} ^{n}\)について、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n}\backslash \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{e}=\phi
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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次回はユークリッド空間における境界点や境界について学びます。

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外点・外部
実数集合の外点・外部

実数空間 R の部分集合 A が与えられたとき、点 a∈R の近傍の中に A の補集合の部分集合であるようなものが存在するならば、a を A の外点と呼びます。また、A のすべての外点からなる集合を A の外部と呼びます。