外点
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の近傍の中に\(A\)の補集合\(A^{c}\)の部分集合であるようなものが存在するならば、すなわち、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A^{c}
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の外点（exterior point）と呼びます。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の外点であることとは、十分小さい距離\(\varepsilon \)を選べば、\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある任意の点が\(A^{c}\)の点であること、すなわち\(A\)の点でないことが保証されることを意味します。
逆に、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)の外点でないこととは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A\not=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の外点でないこととは、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(A\)の点が存在することを意味します。
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)のすべての外点からなる集合を\(A\)の外部（exterior）と呼び、\begin{equation*}A^{e},\quad \mathrm{ext}\left( A\right)
\end{equation*}などで表記します。定義より、任意の\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{eqnarray*}x\in A^{e} &\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A^{c}\quad \because \text{外部の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }(x)\cap A=\phi
\quad \because \text{包含関係の定義}
\end{eqnarray*}などの関係が成り立ちます。
繰り返しになりますが、集合\(A\)の外点\(a\in A^{e}\)が与えられたとき、定義より、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A^{c}
\end{equation*}が成り立ちます。近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)はその中心\(a\)を要素として持つため、すなわち\(a\in N_{\varepsilon}\left( a\right) \)が成り立つため、このとき、\begin{equation*}a\in A^{c}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、集合\(A\)の外点は必ず\(A^{c}\)の要素であり、\(A\)の要素ではないということです。つまり、\(A\)の外部は\(A^{c}\)の部分集合です。\(A^{c}\)の要素ではない点は\(A\)の外点になり得ないため、\(A\)の外点を探す際には\(A^{c}\)の点、すなわち\(A\)に属さない点だけを候補としても問題はありません。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}と定義されます。\(n=1\)の場合、これは有界な開区間\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left( a-x,a+x\right)
\end{equation*}と一致し、\(n=2\)の場合、これは点\(a\)を中心とする円盤（境界を除く）\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}}<\varepsilon \right\}
\end{equation*}と一致します。いずれにせよ、この集合の外部は、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{e}=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) >\varepsilon \right\}
\end{equation*}となります（演習問題）。ちなみに、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{c}=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \geq \varepsilon \right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{e}\subset \left(
N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{c}
\end{equation*}という関係が成立しており、先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}と定義されます。\(n=1\)の場合、これは有界な閉区間\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left[ a-x,a+x\right] \end{equation*}と一致し、\(n=2\)の場合、これは点\(a\)を中心とする円盤（境界を含む）\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}}\leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と一致します。いずれにせよ、この集合の外部は、\begin{equation*}
\left( C_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{e}=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) >\varepsilon \right\}
\end{equation*}となります（演習問題）。ちなみに、\begin{equation*}
\left( C_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{c}=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) >\varepsilon \right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( C_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{e}\subset \left(
C_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{c}
\end{equation*}という関係が成立しており、先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}となります。空集合は任意の集合の部分集合であるため、\begin{equation*}
\left( \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{e}\subset \left( \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{c}
\end{equation*}という関係が成り立ちますが、これは先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}となります。空集合は任意の集合の部分集合であるため、\begin{equation*}
\left( \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{e}\subset \left( \left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\right) ^{c}
\end{equation*}という関係が成り立ちますが、これは先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}となります。空集合は任意の集合の部分集合であるため、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} ^{n}\right) ^{e}\subset \left( \mathbb{R} ^{n}\right) ^{c}
\end{equation*}という関係が成り立ちますが、これは先の命題の主張と整合的です。
逆に、\(A^{c}\subset A^{e}\)は成り立つでしょうか。以下の例が示唆するように、この関係は成立するとは限りません。
\end{equation*}について考えます。先に確認したように、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{e}=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) >\varepsilon \right\}
\end{equation*}です。\(d\left( x,a\right) =\varepsilon \)を満たす点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)はいずれも\(\left( N_{\varepsilon }\left(a\right) \right) ^{c}\)の要素である一方で、\(\left( N_{\varepsilon }\left( a\right)\right) ^{e}\)の要素ではないため、\(\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{c}\subset\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{e}\)という関係が成立していません。
外部と内部の関係
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、以下の関係\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A^{i}=\left( A^{c}\right) ^{e} \\
&&\left( b\right) \ A^{e}=\left( A^{c}\right) ^{i}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、\(A\)の内部は\(A\)の補集合の外部であり、\(A\)の外部は\(A\)の補集合の内部です。言い換えると、点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x\text{は}A\text{の内点}\Leftrightarrow x\text{は}A^{c}\text{の外点} \\
&&\left( b\right) \ x\text{は}A\text{の外点}\Leftrightarrow x\text{は}A^{c}\text{の内点}
\end{eqnarray*}という関係が成り立つということです。
&&\left( b\right) \ A^{e}=\left( A^{c}\right) ^{i}
\end{eqnarray*}という関係が成り立つ。
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の内部という概念は\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)から定義可能であることを以前に指摘しました。さらに内部が定義されれば、上の命題より、外部という概念を間接的に定義することもできます。つまり\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の外部を、その補集合\(A^{c}\)の内部として定義できるということです。したがって、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の外部という概念もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)から定義可能です。
外部を用いた開集合および閉集合の定義
繰り返しになりますが、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\begin{equation*}A^{e}\subset A^{c}
\end{equation*}という関係が常に成立します。では逆に、\begin{equation*}
A^{c}\subset A^{e}
\end{equation*}という関係もまた常に成り立つのでしょうか。以下の例が示唆するように、この関係は成立するとは限りません。
\end{equation*}と定義されます。先に確認したように、この集合の外部は、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{e}=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) >\varepsilon \right\}
\end{equation*}であるため、\(d\left( x,a\right)=\varepsilon \)を満たす点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)は\(\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{c}\)の要素である一方で\(\left(N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{e}\)の要素ではありません。したがって、\begin{equation*}\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{c}\subset \left(
N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{e}
\end{equation*}は成立しません。
では、どのような条件のもとで\(A^{c}\subset A^{e}\)が成立するのでしょうか。実は、\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合である場合、そしてその場合にのみ\(A^{c}\subset A^{e}\)という関係もまた成立します。
\end{equation*}が成り立つことは、\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるための必要十分条件である。
以上の命題は、開集合という概念が外部という概念から定義可能であることを意味します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}A^{c}\subset A^{e}
\end{equation*}が成り立つこととして、つまり\(A\)の補集合の任意の点が\(A\)の外点であることとして、\(A\)が開集合であることの意味を定義できるということです。さらに、\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)について\(A^{e}\subset A^{c}\)が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}A^{c}\subset A^{e} &\Leftrightarrow &A^{c}\subset A^{e}\wedge A^{e}\subset
A^{c}\quad \because A^{e}\subset A^{c}\text{は恒真式}
\\
&\Leftrightarrow &A^{c}=A^{e}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A^{c}\subset A^{e}=A^{c}=A^{e}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、上の命題を以下のように言い換えることもできます。
\end{equation*}が成り立つことは、\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるための必要十分条件である。
閉集合は開集合の補集合として定義されます。したがって、上の命題を以下のように言い換えることもできます。
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であるための必要十分条件である。
開集合を用いた外部の定義
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、その外部に関して、\begin{equation*}A^{e}=\left( A^{c}\right) ^{i}
\end{equation*}という関係が成り立つことを先に示しました。一般に、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の内部は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合である\(A^{c}\)の内部である\(\left( A^{c}\right) ^{i}\)は開集合であり、したがってそれと等しい\(A^{e}\)もまた開集合です。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合の外部は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるということです。
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)を任意に選んだ上で、その外部\(A^{e}\)をとります。これまでの議論より、\(A^{e}\)は\(A^{c}\)の部分集合であり、なおかつ\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合です。\(A^{c}\)の部分集合であるような\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合は\(A^{e}\)の他にも存在する可能性はありますが、\(A^{e}\)はそのような集合の中でも最大のものです。つまり、\(A^{c}\)の部分集合であるような\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合\(B\)を任意に選んだとき、これと\(A^{e}\)の間には\(B\subset A^{e}\)という関係が成り立つということです（演習問題）。
A^{e}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)と部分集合\(A\)が与えられたとします。このとき、\(\mathcal{O}\)に属する\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合の中でも、\(A^{c}\)の部分集合でありなおかつその中で最大のものをとればそれは\(A\)の外部\(A^{e}\)になります。したがって\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の外部という概念は\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義することも可能です。
演習問題
\end{equation*}と定義されます。このとき、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{e}=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) >\varepsilon \right\}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}このとき、\begin{equation*}
\left( C_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{e}=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) >\varepsilon \right\}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】