外点・外部

外点

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の近傍の中に\(A\)の補集合\(A^{c}\)の部分集合であるようなものが存在するならば、すなわち、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A^{c}
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の外点（exterior point）と呼びます。ただし、点の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \quad \because \text{近傍の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon
\right\} \quad \because \text{距離の定義}
\end{eqnarray*}と定義されます。したがって、点\(a\)が集合\(A\)の外点であることとは、十分小さい距離\(\varepsilon \)を選べば、\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(\mathbb{R} ^{n}\)上の任意の点が\(A^{c}\)の点であること、すなわち\(A\)の点でないことが保証されることを意味します。

一般に、集合\(X\)が集合\(Y\)の部分集合であることは\(X\)が\(Y\)の補集合\(Y^{c}\)と交わらないことと同義です。したがって、点\(a\)が集合\(A\)の外点であることを、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A=\phi
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、点\(a\)の近傍の中に\(A\)と交わらないものが存在するならば\(a\)は\(A\)の外点です。

繰り返しになりますが、集合\(A\)の外点\(a\)が与えられたとき、定義より、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A^{c}
\end{equation*}が成り立ちます。近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)はその中心\(a\)を要素として含むため、上の関係より、\(a\)は\(A^{c}\)の要素でもあります。つまり、集合\(A\)の外点はかならず\(A^{c}\)の要素であるということです。言い換えると、\(A^{c}\)の要素ではない点は\(A\)の外点になり得ないため、\(A\)の外点を探す際には\(A^{c}\)の点だけを候補としても問題はありません。

外部

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)のすべての外点からなる集合を\(A\)の外部（exterior）と呼び、\begin{equation*}A^{e},\quad \mathrm{ext}\left( A\right)
\end{equation*}などで表記します。定義より、任意の\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{eqnarray*}x\in A^{e} &\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A^{c}\quad \because \text{外部の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }(x)\cap A\not=\phi
\quad \because \subset \text{の定義}
\end{eqnarray*}などの関係が成り立ちます。

先に示したように、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の外点は\(A^{c}\)の要素であるため、\(A\)の外部は\(A^{c}\)の部分集合です。つまり、\(A^{e}\subset A^{c}\)という関係が常に成り立ちます。

逆に、\(A^{c}\subset A^{e}\)は成り立つでしょうか。以下の例が示唆するように、この関係は成立するとは限りません。

外部と内部の関係

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、任意の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{align*}x\in A^{i}& \Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon
}(x)\subset A\quad \because \text{内部の定義}
\\
& \Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }(x)\subset
(A^{c})^{c}\quad \because A=(A^{c})^{c} \\
& \Leftrightarrow \ x\in (A^{c})^{e}\quad \because \text{外部の定義}
\end{align*}となるため\(A^{i}=\left( A^{c}\right) ^{e}\)が成り立ちます。つまり、\begin{equation*}x\text{は}A\text{の内点}\Leftrightarrow x\text{は}A^{c}\text{の外点}
\end{equation*}という関係が成り立つということです。また、\begin{align*}
x\in A^{e}& \Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon
}(x)\subset A^{c}\quad \because \text{外部の定義} \\
& \Leftrightarrow \ x\in (A^{c})^{i}\quad \because \text{内部の定義}
\end{align*}となるため\(A^{e}=\left( A^{c}\right) ^{i}\)も成り立ちます。つまり、\begin{equation*}x\text{は}A\text{の外点}\Leftrightarrow x\text{は}A^{c}\text{の内点}
\end{equation*}という関係が成り立つということです。以上の事実を命題としてまとめておきます。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の内部という概念は\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)から定義可能であることを以前に指摘しました。さらに内部が定義されれば、上の命題より、外部という概念を間接的に定義することもできます。つまり\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の外部を、その補集合\(A^{c}\)の内部として定義できるということです。したがって、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の外部という概念もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)から定義可能です。

開集合系による外部の特徴づけ

以前に示したように、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であることと\(A=A^{i}\)が成り立つことは必要十分です。また、先に示したように、内部と外部の間には\(A^{i}=\left( A^{c}\right) ^{e}\)が成り立つため、\(A\)が開集合であることと\(A=\left(A^{c}\right) ^{e}\)が成り立つこともまた必要十分です。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、先に示した内部と外部の関係より\(A^{e}=\left( A^{c}\right) ^{i}\)が成り立ちます。\(\left( A^{c}\right) ^{i}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合である\(A^{c}\)の内部ですが、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の内部は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるため\(\left( A^{c}\right) ^{i}\)もまた開集合です。したがって、それと等しい\(A^{e}\)もまた開集合です。\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の外部は開集合であるということです。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)を任意に選んだ上で、その外部\(A^{e}\)をとります。これまでの議論より、\(A^{e}\)は\(A^{c}\)の部分集合であり、なおかつ\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合です。\(A^{c}\)の部分集合であるような\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合は\(A^{e}\)の他にも存在する可能性はありますが、\(A^{e}\)はそのような集合の中でも最大のものです。つまり、\(A^{c}\)の部分集合であるような\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合\(B\)を任意に選んだとき、これと\(A^{e}\)の間には\(B\subset A^{e}\)という関係が成り立つということです（演習問題にします）。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)と部分集合\(A\)が与えられたとしましょう。このとき、\(\mathcal{O}\)に属する\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合の中でも、\(A^{c}\)の部分集合でありなおかつその中で最大のものをとればそれは\(A\)の外部\(A^{e}\)になります。したがって\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の外部という概念は、\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義することも可能です。

外部と集合演算

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選びます。\(A\subset B\)が成り立つ場合、それらの外部については包含関係が逆転した\(B^{e}\subset A^{e}\)が成り立ちます。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選びます。このとき、\begin{equation*}\left( A\cup B\right) ^{e}=A^{e}\cap B^{e}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、2つの集合について、それらの和集合の外部は、個々の集合の外部の共通部分と一致するということです。

演習問題

次回はユークリッド空間における境界点や境界について学びます。