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SEQUENCE OF REAL NUMBERS

数列

OVERVIEW

本節で学ぶ内容

実数を順番に並べたものを数列や実数列と呼びます。数列の項が先に進むにつれてある実数に限りなく近づく場合には、その数列は収束すると言い、その実数を数列の極限と呼びます。数列の極限はそれ自体で重要な概念ですが、加えて、実数の連続性や数直線上の位相に関する諸概念、実数の連続性および連続性などはいずれも数列を用いて表現することができます。
TABLE OF CONTENTS

目次

SECTION 1

数列の極限

数列と呼ばれる概念を定義した上で、数列が収束することの意味を定義します。

数列

実数を順番に並べたものを数列や実数列と呼びます。数列はすべての自然数からなる集合を定義域とし、すべての実数からなる集合を終集合とする写像として定式化することもできます。

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数列の極限

数列の項が先に進むにつれてある実数に限りなく近づく場合には、その数列は収束すると言い、その実数を数列の極限と呼びます。ただし、「限りなく近づく」という表現は曖昧ですので、イプシロン・デルタ論法を用いて収束列の概念を厳密に定義します。

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数列の無限極限

数列の項が先に進むにつれて限りなく大きくなる場合には、その数列は正の無限大に発散すると言います。また、数列の項が先に進むにつれて限りなく小さくなる場合には、その数列は正の無限大に発散すると言います。正ないし負の無限大に発散する数列は収束しません。また、収束列ではなく、正ないし負の無限大に発散しない数列を振動列と呼びます。

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SECTION 2

数列の極限の性質

数列の極限に関する基本的な性質について解説します。

収束する数列と有界性

数列のすべての項からなる集合が上に有界ならば、その数列は上に有界であると言います。また、数列のすべての項からなる集合が下に有界ならば、その数列は下に有界であると言います。上に有界かつ下に有界な数列を有界な数列と呼びます。収束列は有界ですが、有界な数列は収束するとは限りません。

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数列の定数倍の極限

数列が収束するとき、その数列の一般項の定数倍を一般項とする数列もまた収束します。また、正の無限大や負の無限大に発散する数列と、その数列の定数倍の極限の間にも同様の関係が成り立ちます。

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数列の和の極限

2つの数列が収束するとき、それらの一般項の和を一般項とする数列もまた収束します。また、ともに正の無限大に発散する2つの数列や、ともに負の無限大に発散する2つの数列の間にも同様の関係が成り立ちます。

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数列の差の極限

2つの数列が収束するとき、それらの一般項の差を一般項とする数列もまた収束します。また、正の無限大に発散する数列と負の無限大に発散する数列の間にも同様の関係が成り立ちます。

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数列の積の極限

2つの数列が収束するとき、それらの一般項の積を一般項とする数列もまた収束します。また、正の無限大や負の無限大に発散する数列の間にも同様の関係が成り立ちます。

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数列の商の極限

2つの数列が収束するとき、それらの一般項の商を一般項とする数列もまた収束します。また、2つの数列のどちらか一方が正の無限大や負の無限大に発散し、他方が収束する場合にも、それらの商の間に同様の関係が成り立ちます。

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数列の極限と不定形

数列の極限が不定形である場合、その数列の一般項を上手く変形してから極限をとることにより不定形を解消できることがあります。今回は不定形を解消するための方法を解説します。

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SECTION 3

単調数列

単調数列と呼ばれるクラスの数列について解説します。

単調数列・狭義単調数列

数列の項が先に行くにつれて大きくなることはあっても小さくなることがない場合、その数列を単調増加数列と呼びます。逆に、項が先に行くにつれて小さくなることはあっても大きくなることがない場合、その数列を単調減少数列と呼びます。

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有界単調数列の収束定理

実数の連続性を特徴づける上限性質や下限性質を公理として認めると、そこから上に有界な単調増加数列や下に有界な単調減少数列が収束することを示すことができます。

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SECTION 4

区間列

区間を順番に並べたものを区間列と呼びます。

区間列

実数の区間を順番に並べたものを区間列と呼びます。また、区間列に属する区間を任意に選んだとき、それが直前の区間を部分集合として含んでいる場合にはその区間列を増加列と呼びます。一方、区間列に属する区間を任意に選んだとき、それが直前の区間の部分集合であるならばその区間列を減少列と呼びます。

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カントールの縮小区間定理

実数の連続性を公理として認めるとき、そこから区間列に関するカントールの縮小区間定理という命題を示すことができます。これは、有界閉区間からなる単調減少列について、その区間の長さが 0 に収束する場合には、その区間列に属するすべての区間に属する実数は1つだけであるという主張です。

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区間列と実数の連続性

実数空間が全順序体としての公理を満たすことを認める場合、実数の連続性の公理と、カントールの縮小区間定理およびアルキメデスの性質が成り立つことは必要十分になります。

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SECTION 5

部分列

部分列と呼ばれるクラスの数列について解説します。

部分列

数列から無限個の項を抜き出して順番を保ったまま並べてできる数列をもとの数列の部分列と呼びます。

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ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理

収束列の任意の部分列はもとの収束列と同じ極限に収束します。また、有界な数列に関しては、たとえそれが収束しない場合でも、必ず収束する部分列を持ちます。後者の性質をボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理と呼びます。

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部分列と実数の連続性

ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理はカントールの縮小区間定理と必要十分です。したがって、ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理とアルキメデスの性質が成り立つことは実数の連続性と必要十分です。

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SECTION 6

コーシー列

コーシー列と呼ばれるクラスの数列について解説します。

コーシー列

項が先に進むにつれて項の変化がどこまでも小さくなっていく数列をコーシー列と呼びます。コーシー列の概念を厳密に定義した上で、コーシー列と収束列の関係を議論します。また、数列がコーシー列であるための判定条件について解説します。

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RELATED KNOWLEDGE

関連知識

REQUIRED KNOWLEDGE

必須知識

以下の分野の知識があると本セクションの内容を円滑に理解できます。

集合

集合論は数学の土台です。あらゆる数学的概念は集合を用いて記述できます。ここでは集合を定義した上で、集合演算とその性質について学び、さらには集合族や直積集合、関係などについて学びます。

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ADVANCED KNOWLEDGE

発展知識

本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での土台になります。

関数の定義

実数空間もしくはその部分集合を定義域とし、実数空間を終集合とする写像を関数と呼びます。言い換えると、関数とはそれぞれの実数に対して実数を1つずつ定める規則です。

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数列

数列に関するテキストと演習問題です。数列という概念を定義した上で、さらに収束列、単調数列、区間列、部分列などについて学び、これらの概念を使って実数の連続性を表現できることを確認します。

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数直線の位相

実数空間すなわち数直線の位相に関するテキストと演習問題です。実数空間上の開集合や閉集合など、位相を規定する概念について解説します。

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