数列の定数倍の極限

数列が収束するとき、その数列の一般項の定数倍を一般項とする数列もまた収束します。また、正の無限大や負の無限大に発散する数列と、その数列の定数倍の極限の間にも同様の関係が成り立ちます。
数列 定数倍
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収束する数列の定数倍の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と実数\(c\)がそれぞれ任意に与えられたとき、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項\(x_{n}\)を\(c\)倍して得られる\(c\cdot x_{n}\)を一般項とする新たな数列\(\left\{ c\cdot x_{n}\right\} \)を構成できます。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束する場合には数列\(\left\{ c\cdot x_{n}\right\} \)もまた収束し、両者の極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( c\cdot x_{n}\right) =c\cdot
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

証明は以下の通りです。\(c=0\)の場合、数列\(\left\{ c\cdot x_{n}\right\} \)は極限\(0\)へと収束することから、上の関係が成り立つことは自明です(確認してください)。では、\(c\not=0\)の場合はどうでしょうか。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束するものとし、その極限を\(\alpha \in \mathbb{R} \)で表します。つまり、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{n}-\alpha \right\vert <\varepsilon
\right) \tag{1}
\end{equation}が成り立つということです。\(c\not=0\)を満たす実数\(c\)を任意に選んだ上で、数列\(\left\{ c\cdot x_{n}\right\} \)を構成します。\(\mathbb{R} \)は除法について閉じていることと\(c\not=0\)を踏まえると、\(\varepsilon ^{\prime }>0\)を任意に選んだとき、それに対して\(\varepsilon =\frac{\varepsilon ^{\prime }}{\left\vert c\right\vert }\)を満たす実数\(\varepsilon \)が存在します。\(\varepsilon ^{\prime }>0\)かつ\(c\not=0\)より\(\varepsilon >0\)です。この\(\varepsilon \)についても\(\left( 1\right) \)が成り立つため、ある番号\(N\)が存在して、\(n\geq N\)を満たす任意の\(n\)について、\begin{eqnarray*}
\left\vert c\cdot x_{n}-c\cdot \alpha \right\vert &=&\left\vert c\cdot
\left( x_{n}-\alpha \right) \right\vert \\
&=&\left\vert c\right\vert \cdot \left\vert x_{n}-\alpha \right\vert \quad
\because \text{絶対値の乗法性} \\
&<&\left\vert c\right\vert \cdot \varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\\
&=&\left\vert c\right\vert \cdot \frac{\varepsilon ^{\prime }}{\left\vert
c\right\vert }\quad \because \varepsilon =\frac{\varepsilon ^{\prime }}{\left\vert c\right\vert } \\
&=&\varepsilon ^{\prime }
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上で、\begin{equation*}
\forall \varepsilon ^{\prime }>0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert c\cdot x_{n}-c\cdot \alpha \right\vert
<\varepsilon ^{\prime }\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されたため、数列\(\left\{ c\cdot x_{n}\right\} \)は極限\(c\cdot \alpha \)すなわち\(c\cdot \lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}\)へと収束することが明らかになりました。

命題(収束する数列の定数倍の極限)
収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、数列\(\left\{ c\cdot x_{n}\right\} \)もまた収束し、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( c\cdot x_{n}\right) =c\cdot
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}
\end{equation*}となる。
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上の命題より、数列\(\{x_{n}\}\)が収束することが分かっている場合には、数列\(\{c\cdot x_{n}\}\)が収束することを収束数列の定義にもとづいてわざわざ証明する必要はありません。しかも、数列\(\{c\cdot x_{n}\}\)の極限を得るためには\(\{x_{n}\}\)の極限を\(c\)倍すればよいということになります。

例(収束する数列の定数倍の極限)
収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられたとき、上の命題より、数列\(\left\{ -x_{n}\right\} \)もまた収束し、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -x_{n}\right) =-\lim_{n\rightarrow \infty
}x_{n}
\end{equation*}を満たします。
例(収束する数列の定数倍の極限)
一般項が\(x_{n}=2-\frac{1}{n}\)として与えられる数列\(\{x_{n}\}\)は収束し、その極限は、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=2 \tag{1}
\end{equation}となります(確認してください)。一般項が\(\frac{1}{2}x_{n}\)で与えられる数列\(\{\frac{1}{2}x_{n}\}\)を構成すると、先の命題より\(\{\frac{1}{2}x_{n}\}\)も収束し、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{2}x_{n}\right) &=&\frac{1}{2}\left( \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\right) \quad \because \text{収束数列の定数倍の極限} \\
&=&\frac{1}{2}\cdot 2\quad \because \left( 1\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。

 

発散する数列の定数倍の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が正の無限大\(+\infty \)へ発散する場合にも、数列\(\left\{ c\cdot x_{n}\right\} \)の極限に関して、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( c\cdot x_{n}\right) =c\cdot
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、上の表記では、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)が定義する以下の関係\begin{equation*}
c\cdot \left( +\infty \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
+\infty & \left( if\ c>0\right) \\
0 & \left( if\ c=0\right) \\
-\infty & \left( if\ c<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が前提になっています。

証明は以下の通りです。\(c\)の符号によって場合を分けて考えます。まずは\(c>0\)の場合です。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が正の無限大\(+\infty \)へ発散することとは、\begin{equation}
\forall M\in
\mathbb{R} ,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow x_{n}>M\right) \tag{2}
\end{equation}が成り立つことを意味します。\(\mathbb{R} \)は除法について閉じていることと\(c>0\)を踏まえると、実数\(M^{\prime }\)を任意に選んだとき、それに対して\(M=\frac{M^{\prime }}{c}\)を満たす実数\(M\)が存在します。この\(M\)についても\(\left( 2\right) \)が成り立つため、ある番号\(N\)が存在して、\(n\geq N\)を満たす任意の\(n\)について、\begin{eqnarray*}
c\cdot x_{n} &>&c\cdot M\quad \because c>0\text{と}\left( 2\right) \\
&=&c\cdot \frac{M^{\prime }}{c}\quad \because M=\frac{M^{\prime }}{c} \\
&=&M^{\prime }
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上で、\begin{equation*}
\forall M^{\prime }\in
\mathbb{R} ,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow c\cdot x_{n}>M^{\prime }\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されたため、数列\(\left\{ c\cdot x_{n}\right\} \)は正の無限大\(+\infty \)へ収束すること、すなわち、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( c\cdot x_{n}\right) =+\infty \tag{3}
\end{equation}であることが示されました。一方、\(c>0\)であるとき、\begin{eqnarray*}
c\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&c\cdot +\infty \quad \because
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=+\infty \\
&=&+\infty \quad \because c>0\text{と拡大実数系}\mathbb{R} ^{\ast }\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
c\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=+\infty \tag{4}
\end{equation}が成り立ちます。\(\left( 3\right) ,\left( 4\right) \)より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( c\cdot x_{n}\right) =c\cdot
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}
\end{equation*}が成り立つことが示されました。\(c=0\)の場合と\(c<0\)の場合の証明は演習問題にします。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合にも同様に、数列\(\left\{ c\cdot x_{n}\right\} \)の極限に関して、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( c\cdot x_{n}\right) =c\cdot
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、上の表記では、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)が定義する以下の関係\begin{equation*}
c\cdot -\infty =\left\{
\begin{array}{cc}
-\infty & \left( if\ c>0\right) \\
0 & \left( if\ c=0\right) \\
+\infty & \left( if\ c<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が前提になっています。証明は演習問題にします。

命題(発散する数列の定数倍の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)に発散するならば、数列\(\left\{ c\cdot x_{n}\right\} \)の極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( c\cdot x_{n}\right) =c\cdot
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}
\end{equation*}を満たす。
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例(発散する数列の定数倍の極限)
一般項が\(x_{n}=-\left( 2^{n}\right) \)として与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に関しては、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=-\infty \tag{1}
\end{equation}が成り立ちます(確認してください)。一般項が\(\frac{1}{2}x_{n}\)で与えられる数列\(\left\{ \frac{1}{2}x_{n}\right\} \)を構成すると、先の命題より、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{2}x_{n}\right) &=&\frac{1}{2}\left( \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\right) \quad \because \text{発散数列の定数倍の極限} \\
&=&\frac{1}{2}\cdot -\infty \quad \because \left( 1\right) \\
&=&-\infty \quad \because \text{拡大実数系}\mathbb{R} ^{\ast }\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。また、一般項が\(-3x_{n}\)で与えられる数列\(\left\{ -3x_{n}\right\} \)を構成すると、先の命題より、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -3x_{n}\right) &=&\left( -3\right) \left(
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\right) \quad \because \text{発散数列の定数倍の極限} \\
&=&\left( -3\right) \cdot -\infty \quad \because \left( 1\right) \\
&=&+\infty \quad \because \text{拡大実数系}\mathbb{R} ^{\ast }\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。

 

数列の定数倍の極限

本節では数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)から得られる数列\(\left\{ c\cdot x_{n}\right\} \)の極限について考えました。その上で、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束する場合、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が正の無限大に発散する場合、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が負の無限大に発散する場合のいずれにおいても、数列\(\left\{ c\cdot x_{n}\right\} \)の極限に関して、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( c\cdot x_{n}\right) =c\cdot
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。ただし、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が正または負の無限大に発散する場合については、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)の定義が前提になっています。

次回は数列の和の極限について解説します。

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