区間列と実数の連続性

実数の連続性についての復習

公理主義的実数論の立場のもと、実数空間\(\mathbb{R} \)上に加法\(+\)および乗法\(\cdot \)と呼ばれる二項演算と、大小関係\(\leq \)と呼ばれる二項関係を定義した上で、これらが完備な全順序体としての性質\begin{eqnarray*}&&\left( R_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right) \\
&&\left( R_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x+0=x \\
&&\left( R_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ,\ \exists -x\in \mathbb{R} :x+\left( -x\right) =0 \\
&&\left( R_{4}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x+y=y+x \\
&&\left( R_{5}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\cdot y\right) \cdot z=x\cdot \left( y\cdot z\right) \\
&&\left( R_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x\cdot 1=x \\
&&\left( R_{7}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists x^{-1}\in \mathbb{R} :x\cdot x^{-1}=1 \\
&&\left( R_{8}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x\cdot y=y\cdot x \\
&&\left( R_{9}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z \\
&&\left( R_{10}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :x\leq x \\
&&\left( R_{11}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :[(x\leq y\wedge y\leq x)\Rightarrow x=y] \\
&&\left( R_{12}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left[ \left( x\leq y\wedge y\leq z\right) \Rightarrow x\leq z\right] \\
&&\left( R_{13}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\vee y\leq x\right) \\
&&\left( R_{14}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\Rightarrow x+z\leq y+z\right) \\
&&\left( R_{15}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left[ \left( 0\leq x\wedge 0\leq y\right) \Rightarrow 0\leq x\cdot y\right] \\
&&\left( R_{16}\right) \ \text{連続性}
\end{eqnarray*}を満たすことを公理として定めました。ただし、連続性とは、\(\mathbb{R} \)の切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)を任意に選んだとき、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \max A\text{は存在するが}\min B\text{は存在しない} \\
&&\left( b\right) \ \max A\text{は存在しないが}\min B\text{は存在する}
\end{eqnarray*}のどちらか一方が必ず成り立つことを意味します。

\(\left( R_{1}\right) \)から\(\left( R_{15}\right) \)までは\(\mathbb{R} \)が全順序体であることを規定する公理であるため、これらを全順序体の公理と呼ぶこととします。一方、\(\left( R_{16}\right) \)はデデキントの公理と呼ばれますが、これは\(\mathbb{R} \)の連続性を規定する公理です。

加えて、\(\mathbb{R} \)の全順序体としての公理を認める場合、デデキントの公理は以下の様々な命題と必要十分であることを示しました。

つまり、\(\mathbb{R} \)の連続性を規定する公理として以上の5つの命題の中のどれを採用しても問題ないこということです。以下では、カントールの縮小区間定理を用いて実数の連続性を表現することもできることを解説します。

有界単調数列の収束定理と実数の連続性

実数の連続性を公理として認める場合、そこからカントールの縮小区間定理が成り立つことを示しました。結果だけを復習します。

実は、上の命題とは逆に、カントールの縮小区間定理を公理として認めた場合、そこから実数の連続性の公理（上限性質）を導くこともできます。ただし、その証明にはアルキメデスの性質もまた必要です。アルキメデスの性質は実数の連続性から導かれる性質であるため、結局、カントールの縮小区間定理とアルキメデスの性質がともに成り立つことが実数の連続性と必要十分であるということになります。

実数の連続性

先の命題より、実数の連続性は以下のような様々な形で表現可能であることが明らかになりました。

つまり、\(\mathbb{R} \)の連続性を規定する公理として上の6つの命題の中のどれを採用しても問題ないということです。

カントールの縮小区間定理とアルキメデスの性質によって\(\mathbb{R} \)の連続性が表現できるのであれば、連続性を満たさない有理数空間\(\mathbb{Q} \)はカントールの縮小区間定理またはアルキメデスの性質の少なくとも一方を満たさないはずです。\(\mathbb{Q} \)がカントールの縮小区間定理を満たさないとは、\(\mathbb{Q} \)上に定義された入れ子構造の閉区間列の共通部分が1点集合になるとは限らないこと、すなわちその共通部分が有理数を要素として持つ1点集合になるとは限らないことを意味します。実際、これは正しい主張です。

演習問題