実数の区間を順番に並べたものを区間列と呼びます。また、区間列に属する区間を任意に選んだとき、それが直前の区間を部分集合として含んでいる場合にはその区間列を増加列と呼びます。一方、区間列に属する区間を任意に選んだとき、それが直前の区間の部分集合であるならばその区間列を減少列と呼びます。

区間列

\(\mathbb{R}\)上の区間を順番に並べたもの\begin{equation*}
I_{1},I_{2},\cdots ,I_{n},\cdots
\end{equation*}を区間列(sequence of interval)と呼びます。

区間列を表現するためには、それを構成する1番目の区間\(I_{1}\)、2番目の区間\(I_{2}\)、\(\cdots \)、\(n\)番目の区間\(I_{n}\)、\(\cdots \)をそれぞれ特定することになります。一般化すると、それぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して区間\(I_{n}\subset \mathbb{R}\)を1つずつ特定することで1つの区間列が得られるということです。そのようなこともあり、区間列を対応\begin{equation*}
I:\mathbb{N} \twoheadrightarrow \mathbb{R}
\end{equation*}として定義することもできます。

対応について復習する

区間列を\(\{I_{n}\}_{n=1}^{\infty }\)や\(\{x_{n}\}_{n\in \mathbb{N} }\)、もしくはシンプルに\(\{I_{n}\}\)と表現することもできます。

 

単調列

区間列\(\{I_{n}\}\)を構成する区間に関して、\begin{equation*}
I_{1}\subset I_{2}\subset I_{3}\subset \cdots
\end{equation*}が成り立つ場合には、この\(\{I_{n}\}\)を単調増加列(monotone increasing sequence)と呼びます。

区間列\(\{I_{n}\}\)を構成する区間に関して、\begin{equation*}
I_{1}\supset I_{2}\supset I_{3}\supset \cdots
\end{equation*}が成り立つ場合には、この\(\{I_{n}\}\)を単調減少列(monotone decreasing sequence)と呼びます。

単調増加列と単調減少列を総称して単調列(monotone sequence)と呼びます。

次回はカントールの区間縮小定理について学びます。
次へ進む 演習問題(プレミアム会員限定)

ワイズをさらに活用するための会員サービス

ユーザー名とメールアドレスを入力して一般会員に無料登録すれば、質問やコメントを投稿できるようになります。さらに、有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)にアクセスできます。
会員サービス

ディスカッションに参加しますか?

質問やコメントを投稿するにはログインが必要です。
ログイン

アカウント
ログイン