実数の区間を順番に並べたものを区間列と呼びます。また、区間列に属する区間を任意に選んだとき、それが直前の区間を部分集合として含んでいる場合にはその区間列を増加列と呼びます。一方、区間列に属する区間を任意に選んだとき、それが直前の区間の部分集合であるならばその区間列を減少列と呼びます。
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区間列

実数空間\(\mathbb{R}\)上の区間を順番に並べたもの\begin{equation*}
I_{1},I_{2},\cdots ,I_{n},\cdots \end{equation*}を区間列(sequence of interval)と呼びます。数学では有限個の区間を並べたものを区間列として扱いません。区間列は無限に続く区間の列です。

区間について復習する

区間列をフォーマルな形で表現します。繰り返しになりますが、区間列とは無限個の区間を順番に並べたものであるため、それを総体的に表現するためには、区間列を構成する\(1\)番目の区間\(I_{1}\)、\(2\)番目の区間\(I_{2}\)、\(3\)番目の区間\(I_{3}\)、\(\cdots \)などをすべて特定する必要があります。区間列は無限個の区間の並びですが、このような作業を実際に無限回行うことは不可能です。ただ、このような作業を「それぞれの自然数\(n\in \mathbb{N}\)に対して区間\(I_{n}\)を1つずつ定めること」として一般化できます。区間は\(\mathbb{R}\)の部分集合、すなわち\(\mathbb{R}\)のベキ集合\(2^{\mathbb{R}}\)の要素であることを踏まえると、区間列を表現することとは、\(\mathbb{N}\)から\(2^{\mathbb{R}}\)への写像を与えることと実質的に同じです。そのようなこともあり、区間列を写像\begin{equation*}
I:\mathbb{N}\rightarrow 2^{\mathbb{R}}
\end{equation*}として定義することもできます。この写像\(I\)がそれぞれの自然数\(n\)に対して定める像\(I\left( n\right) \)は、区間列を構成する\(n\)番目の区間です。

通常、写像\(f:A\rightarrow B\)が定義域の値\(a\in A\)に対して定める像を\(f\left( a\right) \in B\)と表記しますが、区間列に相当する写像\(I:\mathbb{N}\rightarrow 2^{\mathbb{R}}\)が自然数\(n\in \mathbb{N}\)に対して定める像\(I\left( n\right) \in 2^{\mathbb{R}}\)に関しては、これを、\begin{equation*}
I_{n}
\end{equation*}と表記し、区間列の(term)と呼びます。区間列を\(\left\{ I_{n}\right\} _{n=1}^{\infty }\)や\(\left\{ x_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N}}\)、もしくはよりシンプルに\(\left\{ I_{n}\right\} \)と表記することもできます。

自然数を\(1\)から始まる整数と定義するのであれば、区間列を構成する前から\(n\)番目の項は\(I_{n}\)であり、これを区間列の\(n\)(\(n\)-th term)と呼びます。特に、区間列の最初の項\(I_{1}\)を初項(first term)と呼びます。

区間列の第\(n\)項\(I_{n}\)が具体的な形で与えられているならば、\(I_{n}\)中の\(n\)に具体的な自然数を代入することにより、すべての項を具体的な形で明らかにできます。つまり、\(I_{n}\)は区間列のすべての項を一般化した表現と考えられるため、これを一般項(general term)と呼ぶこともあります。区間列の一般項\(I_{n}\)の形が分かっている場合には、その区間列を「一般項が\(I_{n}\)の区間列」と呼ぶこともできます。

例(区間列)
一般項が\(I_{n}=\left( -n,n\right) \)として与えられる区間列\(\left\{ I_{n}\right\} \)の各項は、\begin{eqnarray*}
I_{1} &=&\left( -1,1\right) \\
I_{2} &=&\left( -2,2\right) \\
I_{3} &=&\left( -3,3\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。
例(区間列)
一般項が\(I_{n}=[n,+\infty )\)として与えられる区間列\(\left\{ I_{n}\right\} \)の各項は、\begin{eqnarray*}
I_{1} &=&[1,+\infty ) \\
I_{2} &=&[2,+\infty ) \\
I_{3} &=&[3,+\infty ) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。

 

単調な区間列

区間列\(\left\{ I_{n}\right\} \)の項に関して、\begin{equation*}
I_{1}\subset I_{2}\subset I_{3}\subset \cdots
\end{equation*}が成り立つ場合、この区間列を単調増加列(monotone increasing sequence)と呼びます。

区間列\(\left\{ I_{n}\right\} \)の項に関して、\begin{equation*}
I_{1}\supset I_{2}\supset I_{3}\supset \cdots
\end{equation*}が成り立つ場合には、この区間列を単調減少列(monotone decreasing sequence)と呼びます。

単調増加列と単調減少列を総称して単調列(monotone sequence)と呼びます。

例(単調な区間列)
一般項が\(I_{n}=\left( -n,n\right) \)として与えられる区間列\(\left\{ I_{n}\right\} \)に関しては、任意の番号\(n\in \mathbb{N}\)について、\begin{equation*}
I_{n}=\left( -n,n\right) \subset \left( -n-1,n+1\right) =I_{n+1}
\end{equation*}が成り立つため、この区間列は単調減少列です。
例(単調な区間列)
一般項が\(I_{n}=[n,+\infty )\)として与えられる区間列\(\left\{ I_{n}\right\} \)に関しては、任意の番号\(n\in \mathbb{N}\)について、\begin{equation*}
I_{n}=[n,+\infty )\supset \lbrack n+1,+\infty )=I_{n+1}
\end{equation*}が成り立つため、この区間列は単調減少列です。
例(単調な区間列)
一般項が\(I_{n}=\left[ 0,\frac{1}{n}\right] \)として与えられる区間列\(\left\{ I_{n}\right\} \)に関しては、任意の番号\(n\in \mathbb{N}\)について、\begin{equation*}
I_{n}=\left[ 0,\frac{1}{n}\right] \supset \left[ 0,\frac{1}{n+1}\right] =I_{n+1}
\end{equation*}が成り立つため、この区間列は単調減少列です。

 

区間列の共通部分と和集合

区間列\(\left\{ I_{n}\right\} \)は可算個の\(\mathbb{R}\)の部分集合を順番に並べたものですが、これを可算個の\(\mathbb{R}\)の部分集合からなる集合族とみなすことにより、区間列の共通部分や和集合などを考えることができます。

具体的には、区間列\(\left\{ I_{n}\right\} \)の共通部分とは、\(\left\{ I_{n}\right\} \)を構成するすべての区間の要素であるような実数からなる集合であり、これを、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{n=1}^{\infty }I_{n}=\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ \forall n\in \mathbb{N}:x\in I_{n}\right\}
\end{equation*}で表記します。また、区間列\(\left\{ I_{n}\right\} \)の和集合とは、\(\left\{ I_{n}\right\} \)を構成する少なくとも1つの区間の要素であるような実数からなる集合であり、これを、\begin{equation*}
\bigcup\limits_{n=1}^{\infty }I_{n}=\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ \exists n\in \mathbb{N}:x\in I_{n}\right\}
\end{equation*}で表記します。

例(区間列の共通部分と和集合)
一般項が\(I_{n}=\left[ 0,\frac{1}{n}\right] \)として与えられる区間列\(\left\{ I_{n}\right\} \)について、その共通部分が、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{n=1}^{\infty }I_{n}=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}であることを示します。まず、任意の番号\(n\in \mathbb{N}\)について\(0\in \left[ 0,\frac{1}{n}\right] \)であるため、\(0\)は区間列\(\left\{ I_{n}\right\} \)の共通部分の要素です。また、\(x<0\)を満たす実数\(x\)を任意に選んだとき、任意の番号\(n\)について\(x\not\in \left[ 0,\frac{1}{n}\right] \)であるため、このような\(x\)は\(\left\{ I_{n}\right\} \)の共通部分の要素ではありません。さらに、\(x>0\)を満たす実数\(x\)を任意に選んだとき、アルキメデスの性質より、\(\frac{1}{n}<x\)を満たす番号\(n\)が存在しますが、これは\(x\not\in \left[ 0,\frac{1}{n}\right] \)であることを意味するため、このような\(x\)は\(\left\{ I_{n}\right\} \)の共通部分の要素ではありません。したがって、\(\left\{ I_{n}\right\} \)の共通部分の要素は\(0\)だけです。
例(区間列の共通部分と和集合)
一般項が\(I_{n}=[n,+\infty )\)として与えられる区間\(\left\{ I_{n}\right\} \)について、その共通部分が、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{n=1}^{\infty }I_{n}=\phi
\end{equation*}であることを示します。区間列\(\left\{ I_{n}\right\} \)の共通部分が空集合でないものと仮定して矛盾を導きます。つまり、ある実数\(x\in \mathbb{R}\)が存在して、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N}:x\in \lbrack n,+\infty )
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N}:n\leq x<+\infty
\end{equation*}が成り立つことを仮定するということです。これは上の実数\(x\)が自然数空間\(\mathbb{N}\)の上界であることを意味します。一方、アルキメデスの性質より、任意の実数よりも大きい自然数が存在するため(\(\mathbb{N}\)は上に有界ではない)矛盾です。したがって、背理法より、\(\left\{ I_{n}\right\} \)の共通部分が空集合であることが示されました。

次回はカントールの区間縮小定理について学びます。

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