数列の極限

数列の項が先に進むにつれてある実数に限りなく近づく場合には、その数列は収束すると言い、その実数を数列の極限と呼びます。ただし、「限りなく近づく」という表現は曖昧ですので、イプシロン・デルタ論法を用いて収束列の概念を厳密に定義します。
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数列の収束の直感的な定義

復習になりますが、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)とは無限個の実数を順番に並べたもの\begin{equation*}
x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},\cdots
\end{equation*}ですが、\(n\)が大きくなるにつれて項\(x_{n}\)が特定の実数\(a \)に限りなく近づく場合、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は実数\(a \)に収束する(converge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a
\end{equation*}で表します。また、このような実数\(a \)を数列\(\{x_{n}\}\)の極限(limit)と呼びます。

例(数列の収束)
一般項が\(x_{n}=2-\frac{1}{n}\)として与えられる数列\(\{x_{n}\}\)の項は、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&2-\frac{1}{1}=1 \\
x_{2} &=&2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \\
x_{3} &=&2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}であり、それぞれの項が下図において点として描かれています。
図:収束する数列
図:収束する数列

図を観察すると分かるように、この数列\(\{x_{n}\}\)の項\(x_{n}\)は\(n\)が大きくなるにつれて増大し続けますが、最終的に\(x_{n}\)は一定の値\(2\)(図中のグレーの線)に限りなく近づきます。したがって、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は\(2\)に収束します。つまり、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=2
\end{equation*}が成り立ちます。

数列の収束に関して厳密な議論を行うためには「限りなく近づく」という曖昧な表現を厳密に定義する必要があります。結論から言うと、数列の収束を厳密に定義するためにはイプシロン・デルタ論法(\(\left( \varepsilon ,\delta \right) \)-definition of limit)と呼ばれる考え方を採用します。

 

数列の収束の厳密な定義

繰り返しになりますが、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が実数\(a \)へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a
\end{equation*}が成り立つこととは、\(n\)が大きくなるにつれて項\(x_{n}\)が\(a \)に限りなく近づくことを意味しますが、これはどのような形で厳密に表現できるでしょうか。

まず、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項\(x_{n}\)が実数\(a \)に限りなく近いと言うためには、\(x_{n}\)と\(a \)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(x_{n}\)と\(a \)の間の距離を表す指標として正の実数\(\varepsilon >0\)を導入した上で、\(a \)を中心とする開区間\(\left( a -\varepsilon ,a +\varepsilon \right) \)をとります。つまり、\begin{eqnarray*}
\left( a -\varepsilon ,a +\varepsilon \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a -\varepsilon <x<a +\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a \right\vert <\varepsilon \right\}
\end{eqnarray*}です。\(x_{n}\)がこの開区間の点であるならば、すなわち、\begin{equation}
\left\vert x_{n}-a \right\vert <\varepsilon \quad\cdots (1)
\end{equation}が成り立つならば、「\(x_{n}\)と\(a \)の間の距離は\(\varepsilon \)よりも小さい」と言えます。

次に問題になるのは「\(n\)が大きくなるにつれて」という表現の定式化です。\(n\)が大きくなるにつれて数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項\(x_{n}\)と実数\(a \)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることとは、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)のある項から先の任意の項\(x_{n}\)について、\(x_{n}\)と\(a \)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることとして言い換え可能です。つまり、ある番号\(N\)が存在して、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の第\(N\)項以降のすべての項\(x_{n}\)について\(\left( 1\right) \)が成り立つということです。これを定式化すると、\begin{equation}
\exists N\in \mathbb{N},\ \forall n\in \mathbb{N}:\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{n}-a \right\vert <\varepsilon
\right) \quad\cdots (2)
\end{equation}となります。上の論理式が成り立つならば、「\(n\)が大きくなるにつれて数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項\(x_{n}\)と実数\(a \)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなる」と言えます。

最後に問題になるのは「限りなく近づく」という表現の定式化です。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が実数\(a \)に収束することとは、\(n\)が大きくなるにつれて項\(x_{n}\)が\(a \)に限りなく近づくことを意味しますが、この場合、限りなく小さい実数\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ場合においても、\(n\)が大きくなるにつれて数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項\(x_{n}\)と実数\(a \)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなるはずです。\(\left( 2\right) \)を踏まえるとこれは、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N},\ \forall n\in \mathbb{N}:\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{n}-a \right\vert <\varepsilon
\right) \quad\cdots (3)
\end{equation}と表現できます。そこで、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と実数\(a \)に対して\(\left( 3\right) \)が成り立つ場合、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は\(a \)へ収束すると言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a
\end{equation*}と表現します。以上が数列が収束することの厳密な定義です。

例(数列の収束)
一般項が\(x_{n}=2-\frac{1}{n}\)として与えられる数列\(\{x_{n}\}\)が収束することを示します。\(n\)が大きくなるにつれて\(\frac{1}{n}\)は限りなく小さくなるため、この数列の極限は\(2\)ではないかと予想できます。そこで、\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=2\)が成り立つこと、すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N},\ \forall n\in \mathbb{N}:\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert \left( 2-\dfrac{1}{n}\right)
-2\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを証明します。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。以下の不等式\begin{align*}
\left\vert \left( 2-\dfrac{1}{n}\right) -2\right\vert & =\left\vert -\dfrac{1}{n}\right\vert \\
& =\dfrac{1}{n}\quad \because n>0 \\
& <\varepsilon
\end{align*}を解くと\(n>\frac{1}{\varepsilon }\)を得ます。したがって、\(N>\frac{1}{\varepsilon }\)を満たす\(N\in \mathbb{N}\)を適当に選べば、\(n\geq N\)を満たすような任意の\(n\)について\(\left\vert \left( 2-\frac{1}{n}\right) -2\right\vert <\varepsilon \)が成り立つため、\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=2\)が成り立つことが示されました。
例(数列の収束)
一般項が\(x_{n}=\frac{n+1}{n}\)として与えられる数列\(\{x_{n}\}\)が収束することを示します。一般項を変形すると、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{n+1}{n}=\frac{n+1}{\left( n+1\right) -1}=\frac{1}{\frac{\left(
n+1\right) -1}{n+1}}=\frac{1}{1-\frac{1}{n+1}}
\end{equation*}となりますが、\(n\)が大きくなるにつれて\(\frac{1}{n+1}\)は限りなく小さくなるため、この数列の極限は\(1\)ではないかと予想できます。そこで、\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=1\)が成り立つこと、すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N},\ \forall n\in \mathbb{N}:\left( n\geq N\ \Rightarrow \ \left\vert \frac{n+1}{n}-1\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを証明します。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。以下の不等式\begin{eqnarray*}
\left\vert \frac{n+1}{n}-1\right\vert &=&\left\vert \frac{n+1}{n}-\frac{n}{n}\right\vert \\
&=&\left\vert \frac{1}{n}\right\vert \\
&=&\frac{1}{n}\quad \because n\geq 1 \\
&<&\varepsilon
\end{eqnarray*}を解くと\(n>\frac{1}{\varepsilon }\)を得ます。したがって、\(N>\frac{1}{\varepsilon }\)を満たす\(N\in \mathbb{N}\)を適当に選べば、\(n\geq N\)を満たすような任意の\(n\)について\(\left\vert \frac{n+1}{n}-1\right\vert <\varepsilon \)が成り立つため、\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=1\)が成り立つことが示されました。

 

数列の極限の一意性

数列が収束するとき、その極限は一意的です。そのことを示すために、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が異なる2つの実数\(a ,b \)に収束するものと仮定します。\(a >b \)としても一般性は失われません。収束の定義より、このとき、\begin{align*}
\forall \varepsilon & >0,\ \exists N_{1}\in \mathbb{N},\ \forall n\in \mathbb{N}:(n\geq N_{1}\ \Rightarrow \ |x_{n}-a |<\varepsilon ) \\
\forall \varepsilon & >0,\ \exists N_{2}\in \mathbb{N},\ \forall n\in \mathbb{N}:(n\geq N_{2}\ \Rightarrow \ |x_{n}-b |<\varepsilon )
\end{align*}がともに成り立ちます。そこで、\begin{equation*}
N=\max \{N_{1},N_{2}\}
\end{equation*}とおくと、\(n\geq N\)を満たす任意の\(n\in \mathbb{N}\)について、\begin{equation*}
|a -b |<a -b
\end{equation*}が成り立つことが導かれますが(演習問題にします)、これは\(a >b \)と矛盾です。

命題(収束数列の極限の一意性)
数列が収束するとき、その極限は一意的である。
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次回は発散列という概念について解説します。

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