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SEQUENCE OF NUMBERS

数列の極限

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数列の収束の直感的な定義

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)とは無限個の実数を順番に並べたもの\begin{equation*}x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},\cdots
\end{equation*}ですが、\(n\)が大きくなるにつれて項\(x_{n}\)がある有限な実数\(a\)へ限りなく近づく場合、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は実数\(a\)に収束する(converge)と言い、このことを、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a
\end{equation*}で表します。また、このような実数\(a\)を数列\(\{x_{n}\}\)の極限(limit)と呼びます。

例(数列の収束)
一般項が\(x_{n}=2-\frac{1}{n}\)として与えられる数列\(\{x_{n}\}\)の項は、\begin{eqnarray*}x_{1} &=&2-\frac{1}{1}=1 \\
x_{2} &=&2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \\
x_{3} &=&2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}であり、それぞれの項が下図において点として描かれています。
図:収束する数列
図:収束する数列

図を観察すると分かるように、この数列\(\{x_{n}\}\)の項\(x_{n}\)は\(n\)が大きくなるにつれて増大し続けますが、最終的に\(x_{n}\)は一定の値\(2\)(図中のグレーの線)に限りなく近づきます。したがって、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は\(2\)に収束します。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=2
\end{equation*}が成り立ちます。

数列の収束に関して厳密な議論を行うためには「限りなく近づく」という曖昧な表現を厳密に定義する必要があります。結論から言うと、数列の収束を厳密に定義するためにはイプシロン・デルタ論法(\(\left( \varepsilon ,\delta \right) \)-definition of limit)と呼ばれる考え方を採用します。

 

数列の収束の厳密な定義

繰り返しになりますが、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が実数\(a\)へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a
\end{equation*}が成り立つこととは、\(n\)が大きくなるにつれて項\(x_{n}\)が\(a\)に限りなく近づくことを意味しますが、これはどのような形で厳密に表現できるでしょうか。

まず、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項\(x_{n}\)が実数\(a\)に限りなく近いと言うためには、\(x_{n}\)と\(a\)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(x_{n}\)と\(a\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\varepsilon >0\)を導入します。このとき、\begin{equation}\left\vert x_{n}-a\right\vert <\varepsilon \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つならば、「\(x_{n}\)と\(a\)の間の距離は\(\varepsilon \)よりも小さい」と言えます。

次に問題になるのは「\(n\)が大きくなるにつれて」という表現の定式化です。\(n\)が大きくなるにつれて数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項\(x_{n}\)と実数\(a\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることは、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)のある項から先の任意の項\(x_{n}\)について、\(x_{n}\)と\(a\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることとして言い換え可能です。つまり、ある番号\(N\)が存在して、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の第\(N\)項以降のすべての項\(x_{n}\)について\(\left( 1\right) \)が成り立つということです。これを定式化すると、\begin{equation}\exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{n}-a\right\vert <\varepsilon
\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。上の論理式が成り立つならば、「\(n\)が大きくなるにつれて数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項\(x_{n}\)と実数\(a\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなる」と言えます。

最後に問題になるのは「限りなく近づく」という表現の定式化です。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が実数\(a\)に収束することとは、\(n\)が大きくなるにつれて項\(x_{n}\)が\(a\)に限りなく近づくことを意味しますが、この場合、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項\(x_{n}\)と実数\(a\)の間の距離を表す\(\varepsilon \)としてどれほど小さい値を任意に選んだ場合でも、\(n\)が大きくなるにつれて数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項\(x_{n}\)と実数\(a\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなるはずです。\(\left( 2\right) \)を踏まえるとこれは、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{n}-a\right\vert <\varepsilon
\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}と表現できます。そこで、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と実数\(a\)に対して\(\left( 3\right) \)が成り立つ場合、\(\left\{x_{n}\right\} \)は\(a\)へ収束すると言い、このことを、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a
\end{equation*}と表現します。以上が数列が収束することの厳密な定義です。

例(数列の収束)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=2-\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。\(n\)が大きくなるにつれて\(\frac{1}{n}\)は限りなく小さくなるため、この数列の極限は\(2\)ではないかと予想できます。つまり、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=2
\end{equation*}が成り立つという予想が立ちます。これを厳密に証明します。数列の極限の定義より、これは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{n}-2\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert \left( 2-\frac{1}{n}\right)
-2\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert -\frac{1}{n}\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。これを示すことが目標です。結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
\left\vert -\frac{1}{n}\right\vert <\varepsilon &\Leftrightarrow &\frac{1}{n}<\varepsilon \quad \because n\in \mathbb{N} \\
&\Leftrightarrow &\frac{1}{\varepsilon }<n\quad \because \varepsilon >0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert -\frac{1}{n}\right\vert <\varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{\varepsilon }<n \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。以上を踏まえると、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}N>\frac{1}{\varepsilon } \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(N\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\(n\geq N\)を満たす任意の\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{eqnarray*}n\geq N &\Rightarrow &n>\frac{1}{\varepsilon }\quad \because \left( 2\right)
\\
&\Rightarrow &\left\vert -\frac{1}{n}\right\vert <\varepsilon \quad \because
\left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
例(数列の収束)
数列\(\{x_{n}\}\)一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{n+1}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。一般項を変形すると、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{n+1}{n}=\frac{n+1}{\left( n+1\right) -1}=\frac{1}{\frac{\left(
n+1\right) -1}{n+1}}=\frac{1}{1-\frac{1}{n+1}}
\end{equation*}となりますが、\(n\)が大きくなるにつれて\(\frac{1}{n+1}\)は限りなく小さくなるため、この数列の極限は\(1\)ではないかと予想できます。つまり、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=1
\end{equation*}が成り立つという予想が立ちます。これを厳密に証明します。数列の極限の定義より、これは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{n}-1\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\ \Rightarrow \ \left\vert \frac{n+1}{n}-1\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\ \Rightarrow \ \left\vert \frac{1}{n}\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。これを示すことが目標です。結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
\left\vert \frac{1}{n}\right\vert <\varepsilon &\Leftrightarrow &\frac{1}{n}<\varepsilon \quad \because n\in \mathbb{N} \\
&\Leftrightarrow &\frac{1}{\varepsilon }<n\quad \because \varepsilon >0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert \frac{1}{n}\right\vert <\varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{\varepsilon }<n \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。以上を踏まえると、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}N>\frac{1}{\varepsilon } \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(N\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\(n\geq N\)を満たす任意の\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{eqnarray*}n\geq N &\Rightarrow &n>\frac{1}{\varepsilon }\quad \because \left( 2\right)
\\
&\Rightarrow &\left\vert \frac{1}{n}\right\vert <\varepsilon \quad \because
\left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

 

数列の極限の一意性

数列が収束するとき、その極限は一意的です。

命題(収束数列の極限の一意性)
数列が収束するとき、その極限は一意的である。
証明

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演習問題

問題
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}として与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)について、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{equation*}が成り立つことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
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問題
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{n^{2}}{2n^{2}+1}
\end{equation*}として与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)について、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\frac{1}{2}
\end{equation*}が成り立つことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
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問題
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が極限\(\alpha \in \mathbb{R}\)へ収束することと、数列\(\left\{ x_{n}-\alpha \right\} \)が極限\(0\)へ収束することは必要十分であることを証明してください。
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次回は発散列という概念について解説します。

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