数列の極限の直感的な定義
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)とは無限個の実数を順番に並べたもの\begin{equation*}x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},\cdots
\end{equation*}ですが、\(n\)が大きくなるにつれて項\(x_{n}\)がある有限な実数\(a\)へ限りなく近づく場合、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は実数\(a\)に収束する（converge）と言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a
\end{equation*}で表記します。また、このような実数\(a\)を数列\(\{x_{n}\}\)の極限（limit）と呼びます。
\end{equation*}であるものとします。項を具体的に列挙すると、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&\frac{1}{1}=1 \\
x_{2} &=&\frac{1}{2}=0.5 \\
x_{3} &=&\frac{1}{3}=0.333\cdots \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となりますが、それぞれの項が下図において点として描かれています。
図を観察すると分かるように、この数列\(\{x_{n}\}\)の項\(x_{n}\)は\(n\)が大きくなるにつれて減少し続けますが、最終的に\(x_{n}\)は一定の値\(0\)に限りなく近づきます。したがって、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は\(0\)に収束します。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{equation*}が成り立ちます。
数列の収束に関して厳密に議論するためには「限りなく近づく」という曖昧な表現を厳密に定義する必要があります。結論から言うと、数列の極限を厳密に定義するためにはイプシロン・エヌ論法（\(\left( \varepsilon ,N\right) \)-definition of limit）と呼ばれる考え方を採用します。
数列の極限の厳密な定義
繰り返しになりますが、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が実数\(a\)へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a
\end{equation*}が成り立つこととは、\(n\)が大きくなるにつれて項\(x_{n}\)が有限な実数\(a\)へ限りなく近づくことを意味しますが、これをどのような形で厳密に表現できるでしょうか。
まず、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項\(x_{n}\)が実数\(a\)に限りなく近いと言うためには、\(x_{n}\)と\(a\)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(x_{n}\)と\(a\)の間の距離を表す指標として正の実数\begin{equation*}\varepsilon >0
\end{equation*}を導入します。その上で、\begin{equation}
\left\vert x_{n}-a\right\vert <\varepsilon \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つならば、「\(x_{n}\)と\(a\)の間の距離は\(\varepsilon \)よりも小さい」と言えます。
次に問題になるのは「\(n\)が大きくなるにつれて」という表現の定式化です。\(n\)が大きくなるにつれて数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項\(x_{n}\)と実数\(a\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることは、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)のある項から先の任意の項\(x_{n}\)について、\(x_{n}\)と\(a\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることとして言い換え可能です。つまり、ある番号\(N\)が存在して、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の第\(N\)項以降のすべての項\(x_{n}\)について\(\left( 1\right) \)が成り立つということです。これを定式化すると、\begin{equation}\exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{n}-a\right\vert <\varepsilon \right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}となります。上の論理式が成り立つならば、「\(n\)が大きくなるにつれて数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項\(x_{n}\)と実数\(a\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなる」と言えます。
最後に問題になるのは「限りなく近づく」という表現の定式化です。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が実数\(a\)に収束することとは、\(n\)が大きくなるにつれて項\(x_{n}\)が\(a\)に限りなく近づくことを意味しますが、この場合、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項\(x_{n}\)と実数\(a\)の間の距離\(\varepsilon \)としてどれほど小さい値を任意に選んだ場合でも、\(n\)が大きくなるにつれて数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項\(x_{n}\)と実数\(a\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなるはずです。\(\left( 2\right) \)を踏まえるとこれは、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{n}-a\right\vert <\varepsilon
\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}と表現できます。そこで、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と実数\(a\)に対して\(\left( 3\right) \)が成り立つ場合、\(\left\{x_{n}\right\} \)は\(a\)へ収束すると言い、このことを、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a
\end{equation*}と表現します。さらにこのとき、\(a\)を\(\left\{x_{n}\right\} \)の極限と呼びます。以上が数列の極限の厳密な定義です。
\end{equation*}で与えられているものとします。\(n\)が大きくなるにつれて\(\frac{1}{n}\)は限りなく小さくなるため、この数列の極限は\(0\)ではないかと予想できます。つまり、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{equation*}が成り立つという予想が立ちます。これを厳密に証明します。数列の極限の定義より、これは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{n}-0\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert \frac{1}{n}-0\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert \frac{1}{n}\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。これを示すことが目標です。結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
\left\vert \frac{1}{n}\right\vert <\varepsilon &\Leftrightarrow &\frac{1}{n}<\varepsilon \quad \because n\in \mathbb{N} \\
&\Leftrightarrow &\frac{1}{\varepsilon }<n\quad \because \varepsilon >0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert \frac{1}{n}\right\vert <\varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{\varepsilon }<n \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。以上を踏まえると、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}N>\frac{1}{\varepsilon } \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(N\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\(n\geq N\)を満たす任意の\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{eqnarray*}n\geq N &\Rightarrow &n>\frac{1}{\varepsilon }\quad \because \left( 2\right)
\\
&\Rightarrow &\left\vert \frac{1}{n}\right\vert <\varepsilon \quad \because
\left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
\end{equation*}で与えられているものとします。\(n\)が大きくなるにつれて\(\frac{1}{n}\)は限りなく小さくなるため、この数列の極限は\(2\)ではないかと予想できます。つまり、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=2
\end{equation*}が成り立つという予想が立ちます。これを厳密に証明します。数列の極限の定義より、これは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{n}-2\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert \left( 2-\frac{1}{n}\right)
-2\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert -\frac{1}{n}\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。これを示すことが目標です。結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
\left\vert -\frac{1}{n}\right\vert <\varepsilon &\Leftrightarrow &\frac{1}{n}<\varepsilon \quad \because n\in \mathbb{N} \\
&\Leftrightarrow &\frac{1}{\varepsilon }<n\quad \because \varepsilon >0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert -\frac{1}{n}\right\vert <\varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{\varepsilon }<n \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。以上を踏まえると、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}N>\frac{1}{\varepsilon } \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(N\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\(n\geq N\)を満たす任意の\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{eqnarray*}n\geq N &\Rightarrow &n>\frac{1}{\varepsilon }\quad \because \left( 2\right)
\\
&\Rightarrow &\left\vert -\frac{1}{n}\right\vert <\varepsilon \quad \because
\left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
\end{equation*}で与えられているものとします。一般項を変形すると、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{n+1}{n}=\frac{n+1}{\left( n+1\right) -1}=\frac{1}{\frac{\left(
n+1\right) -1}{n+1}}=\frac{1}{1-\frac{1}{n+1}}
\end{equation*}となりますが、\(n\)が大きくなるにつれて\(\frac{1}{n+1}\)は限りなく小さくなるため、この数列の極限は\(1\)ではないかと予想できます。つまり、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=1
\end{equation*}が成り立つという予想が立ちます。これを厳密に証明します。数列の極限の定義より、これは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{n}-1\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\ \Rightarrow \ \left\vert \frac{n+1}{n}-1\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\ \Rightarrow \ \left\vert \frac{1}{n}\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。これを示すことが目標です。結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
\left\vert \frac{1}{n}\right\vert <\varepsilon &\Leftrightarrow &\frac{1}{n}<\varepsilon \quad \because n\in \mathbb{N} \\
&\Leftrightarrow &\frac{1}{\varepsilon }<n\quad \because \varepsilon >0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert \frac{1}{n}\right\vert <\varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{\varepsilon }<n \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。以上を踏まえると、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}N>\frac{1}{\varepsilon } \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(N\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\(n\geq N\)を満たす任意の\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{eqnarray*}n\geq N &\Rightarrow &n>\frac{1}{\varepsilon }\quad \because \left( 2\right)
\\
&\Rightarrow &\left\vert \frac{1}{n}\right\vert <\varepsilon \quad \because
\left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
数列は有限な実数へ収束するとは限らない
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と有限な実数\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が\(a\)へ収束することを、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{n}-a\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義しました。したがって、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が\(a\)へ収束しないこととは、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\wedge \left\vert x_{n}-a\right\vert \geq \varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束することとは、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が何らかの有限な実数\(a\in \mathbb{R} \)へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{n}-a\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。逆に、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束しないこととは、\(\left\{ x_{n}\right\} \)がいかなる有限な実数\(a\in \mathbb{R} \)へも収束しないこと、すなわち、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\forall a\in \mathbb{R} ,\ \exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\wedge \left\vert x_{n}-a\right\vert \geq \varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
数列は収束するとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列が有限な実数へ収束しないことを示します。つまり、\begin{equation*}
\forall a\in \mathbb{R} ,\ \exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\wedge \left\vert x_{n}-a\right\vert \geq \varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを示すことが目標になります。実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。その上で、\begin{equation*}\varepsilon =1
\end{equation*}に注目します。番号\(N\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、以下の条件\begin{equation*}n\geq N\wedge n>a+1
\end{equation*}を満たすほど十分大きい\(n\in \mathbb{N} \)に注目します。このとき、\begin{eqnarray*}n>a+1 &\Leftrightarrow &x_{n}>a+1\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &x_{n}-a>1 \\
&\Rightarrow &\left\vert x_{n}-a\right\vert >1
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
数列の極限の一意性
数列が有限な実数へ収束する場合、その極限は必ず1つの実数として定まります。つまり、数列が異なる複数の極限へ収束する事態は起こり得ません。
演習問題
x_{n}=\frac{1}{n^{2}}
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{x_{n}\right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{equation*}が成り立つことをイプシロン・エヌ論法を用いて証明してください。
x_{n}=\frac{n^{2}}{2n^{2}+1}
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{x_{n}\right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\frac{1}{2}
\end{equation*}が成り立つことをイプシロン・エヌ論法を用いて証明してください。
x_{n}=\frac{2}{n!}
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{x_{n}\right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{equation*}が成り立つことをイプシロン・エヌ論法を用いて証明してください。
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列が有限な実数へ収束しないことを示してください。
+\infty }\left( x_{n}-a\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
+\infty }\left\vert x_{n}-a\right\vert =0
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、これは以下の条件\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n>N\Rightarrow \left\vert x_{n}-a\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}と必要十分であることを示してください（\(n\geq N\)を\(n>N\)に置き換えてもよい）。
\end{equation*}が成り立つということです。このとき、以下の数列\begin{equation*}
\left\{ z_{n}\right\} =\left\{ x_{1},y_{1},x_{2},y_{2},x_{3},y_{3},\cdots
\right\}
\end{equation*}を定義します。この数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)もまた極限\(a\)へ収束することを示してください。
x_{n}=\frac{1}{3^{n}}
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{x_{n}\right\} \)について考えます。以下の問いに答えてください。
- 以下の命題\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :n\leq 3^{n}
\end{equation*}が成り立つことを\(n\)に関する数学的帰納法を用いて証明してください。 - 以上の結果を踏まえた上で、先の数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0\end{equation*}が成り立つことを示してください。
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