距離空間上の点列の極限（収束する点列）
距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。
距離空間\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)とは\(X\)の無限個の点を順番に並べたもの\begin{equation*}x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},\cdots
\end{equation*}ですが、\(n\)が大きくなるにつれて項\(x_{n}\)が特定の点\(a\in X\)に限りなく近づく場合、この点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は\(X\)上において点\(a\)に収束する（converge to \(a\) in \(X\)）と言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a
\end{equation*}で表記します。また、このような点\(a\)を点列\(\{x_{n}\}\)の極限（limit）と呼びます。ただ、点列の収束に関して厳密な議論を行うためには「限りなく近づく」という曖昧な表現を厳密に定義する必要があります。結論から言うと、数列の極限の場合と同様に、点列の収束を厳密に定義するためにはイプシロン・デルタ論法を利用します。
繰り返しになりますが、距離空間\(X\)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が点\(a\in X\)へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a
\end{equation*}が成り立つこととは、\(n\)が大きくなるにつれて項\(x_{n}\)が点\(a\)へ限りなく近づくことを意味しますが、これをどのような形で厳密に表現できるでしょうか。
まず、点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項\(x_{n}\)が点\(a\)に限りなく近いと言うためには、\(x_{n}\)と\(a\)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(x_{n}\)と\(a\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\varepsilon >0\)を導入します。このとき、\begin{equation}d\left( x_{n},a\right) <\varepsilon \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つならば、「\(x_{n}\)と\(a\)の間の距離は\(\varepsilon \)よりも小さい」と言えます。
次に問題になるのは「\(n\)が大きくなるにつれて」という表現の定式化です。\(n\)が大きくなるにつれて点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項\(x_{n}\)と点\(a\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることは、点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)のある項から先の任意の項\(x_{n}\)について、\(x_{n}\)と\(a\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることとして言い換え可能です。つまり、ある番号\(N\)が存在して、点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の第\(N\)項以降のすべての項\(x_{n}\)について\(\left( 1\right) \)が成り立つということです。これを定式化すると、\begin{equation}\exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow d\left( x_{n},a\right) <\varepsilon \right]
\quad \cdots (2)
\end{equation}となります。上の論理式が成り立つならば、「\(n\)が大きくなるにつれて点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項\(x_{n}\)と点\(a\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなる」と言えます。
最後に問題になるのは「限りなく近づく」という表現の定式化です。点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が点\(a\)に収束することとは、\(n\)が大きくなるにつれて項\(x_{n}\)が\(a\)に限りなく近づくことを意味しますが、この場合、点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項\(x_{n}\)と点\(a\)の間の距離を表す\(\varepsilon \)としてどれほど小さい値を任意に選んだ場合でも、\(n\)が大きくなるにつれて点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項\(x_{n}\)と点\(a\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなるはずです。\(\left( 2\right) \)を踏まえるとこれは、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow d\left( x_{n},a\right) <\varepsilon \right]
\quad \cdots (3)
\end{equation}と表現できます。そこで、点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と点\(a\in X\)に対して\(\left( 3\right) \)が成り立つ場合、\(\left\{x_{n}\right\} \)は\(a\)へ収束すると言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a
\end{equation*}と表現します。以上が点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が点\(a\in X\)へ収束することの厳密な定義です。
距離空間\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)が収束することとは、極限に相当する点\(a\in X\)が存在することを意味します。\(\left(3\right) \)を踏まえるとこれは、\begin{equation*}\exists a\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow d\left( x_{n},a\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}と表現できます。以上が点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束することの厳密な定義です。
\end{equation*}と定めます。\(\mathbb{R} \)における点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。\(n\)が大きくなるにつれて\(\frac{1}{n}\)は限りなく小さくなるため、この点列の極限は\(0\)ではないかと予想できます。つまり、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{equation*}が成り立つという予想が立ちます。これを厳密に証明します。点列の極限の定義より、これは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow d\left( x_{n},0\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert \frac{1}{n}-0\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \frac{1}{n}<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。これを示すことが目標です。結論の式を変形すると、\begin{equation}
\frac{1}{n}<\varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{\varepsilon }<n\quad
\because n\in \mathbb{N} \text{かつ}\varepsilon >0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。\(\varepsilon >0\)を任意に選ぶと、アルキメデスの性質より、\begin{equation}N>\frac{1}{\varepsilon } \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(N\in \mathbb{N} \)が存在します。すると、\(n\geq N\)を満たす任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}n\geq N &\Rightarrow &n>\frac{1}{\varepsilon }\quad \because \left( 2\right)
\\
&\Rightarrow &\frac{1}{n}<\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定めます。\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{n}=\left( x_{n}^{\left( 1\right) },x_{n}^{\left( 2\right)
}\right) =\left( 1+\frac{1}{2n},2-\frac{1}{2n}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(n\)が大きくなるにつれて\(\frac{1}{n}\)は限りなく小さくなるため、この点列の極限は\(\left( 1,2\right) \)ではないかと予想できます。つまり、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\boldsymbol{x}_{n}=\left( 1,2\right)
\end{equation*}が成り立つという予想が立ちます。これを厳密に証明します。点列の極限の定義より、これは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow d\left( \boldsymbol{x}_{n},\left( 1,2\right)
\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow d\left( \left( 1+\frac{1}{2n},2-\frac{1}{2n}\right) ,\left( 1,2\right) \right) <\varepsilon \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \sqrt{\left[ \left( 1+\frac{1}{2n}\right) -1\right] ^{2}+\left[ \left( 2-\frac{1}{2n}\right) -2\right] ^{2}}<\varepsilon
\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \sqrt{\frac{2}{4n^{2}}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2n}<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。これを示すことが目標です。結論の式を変形すると、\begin{equation}
\frac{\sqrt{2}}{2n}<\varepsilon \Leftrightarrow n>\frac{\sqrt{2}}{2\varepsilon }\quad \because n\in \mathbb{N} \text{かつ}\varepsilon >0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。\(\varepsilon >0\)を任意に選ぶと、アルキメデスの性質より、\begin{equation}N>\frac{\sqrt{2}}{2\varepsilon } \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(N\in \mathbb{N} \)が存在します。すると、\(n\geq N\)を満たす任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}n\geq N &\Rightarrow &n>\frac{\sqrt{2}}{2\varepsilon }\quad \because \left(
2\right) \\
&\Rightarrow &\frac{\sqrt{2}}{2n}<\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。何らかの要素\(x\in X\)を適当に選んだ上で、\(X\)の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)の一般項を、\begin{equation*}x_{n}=x
\end{equation*}と定義します。この点列について、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=x
\end{equation*}が成り立つことを示します。点列の極限の定義より、これは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow d\left( x_{n},x\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。\(\left\{ x_{n}\right\} \)の定義より、これは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow d\left( x,x\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}と必要十分であり、さらに\(d\)の定義より、これは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow 0<\varepsilon \right] \end{equation*}と必要十分です。これは明らかに真であるため証明が完了しました。
点列は収束するとは限らない（発散する点列）
距離空間\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)と点\(a\in X\)が与えられたとき、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が\(a\)へ収束することを、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow d\left( x_{n},a\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つこととして定義しました。したがって、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が\(a\)へ収束しないこととは、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\wedge d\left( x_{n},a\right) \geq \varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。
距離空間\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)が収束することとは、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が何らかの点\(a\in X\)へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists a\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow d\left( x_{n},a\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。逆に、点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束しないこととは、\(\left\{ x_{n}\right\} \)がいかなる点\(a\in X\)へも収束しないこと、すなわち、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\forall a\in X,\ \exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\wedge d\left( x_{n},a\right) \geq \varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。このとき、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は\(X\)上において発散する（diverge in \(X\)）と言います。
距離空間上の点列は収束するとは限りません。つまり、発散する点列が存在します。以下の例より明らかです。
\end{equation*}と定めます。\(\mathbb{R} \)における点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=n
\end{equation*}で与えられているものとします。\(n\)が大きくなるにつれて\(n\)は限りなく小さくなるため、この点列は発散することが予想されます。点列の発散の定義より、これは、\begin{equation*}\forall a\in \mathbb{R} ,\ \exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\wedge d\left( x_{n},a\right) \geq \varepsilon \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall a\in \mathbb{R} ,\ \exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\wedge \left\vert n-a\right\vert \geq \varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。これを示します。点\(a\in \mathbb{R} \)と正の実数\(\varepsilon >0\)および自然数\(N\in \mathbb{N} \)を任意に選びます。このとき、\begin{equation*}n\geq N\wedge n>\varepsilon +a
\end{equation*}を満たす自然数\(n\in \mathbb{N} \)をとることができ、この\(n\)のもとで上の条件は満たされるため証明が完了しました。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。\(\mathbb{R} \)における点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ x_{n}\right\} \)は発散します（演習問題）。
点列の極限の一意性
距離空間\(X\)上の点列が収束するとき、その極限は必ず\(X\)上の1つの点として定まります。点列が異なる2つの点に収束することはないということです。
点列の収束可能性は距離空間に依存する
異なる2つの距離空間\(\left( X_{1},d_{1}\right) ,\left( X_{2},d_{2}\right) \)が与えられた状況を想定します。点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が\(X_{1}\)上の点列かつ\(X_{2}\)上の点列であるものとします。この場合、\(X_{1}\)上において\(\left\{x_{n}\right\} \)が収束する一方で\(X_{2}\)上において\(\left\{x_{n}\right\} \)が収束しない事態は起こり得ます。同一の点列でも、議論の舞台となる距離空間が変われば収束可能であるかどうかが変わり得るということです。以下の例より明らかです。
\end{equation*}と定めます。一方、離散空間\(\left( \mathbb{R} ,d_{2}\right) \)は距離空間であり、離散距離\(d_{2}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{2}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。その上で、一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられる\(\mathbb{R} \)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に注目します。先に示したように、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d_{1}\right) \)において\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=0
\end{equation*}が成り立つ一方で、離散空間\(\left( \mathbb{R} ,d_{2}\right) \)において\(\left\{ x_{n}\right\} \)は発散します。
演習問題
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。\(\mathbb{R} \)における点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ x_{n}\right\} \)が発散することを示してください。
\end{equation*}で表記します。その上で、それぞれの\(\left(f,g\right) \in C\left[ 0,1\right] \times C\left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}d\left( f,g\right) =\int_{0}^{1}\left\vert f\left( t\right) -g\left(
t\right) \right\vert dt
\end{equation*}を定める関数\(d:C\left[ 0,1\right] \times C\left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、\(\left( C\left[ 0,1\right] ,d\right) \)は距離空間となります。\(C\left[ 0,1\right] \)上の点列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項が、それぞれの\(t\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1-nt & \left( if\ 0\leq t<\frac{1}{n}\right) \\
0 & \left( if\ \frac{1}{n}\leq t\leq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\left[ 0,1\right]\rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この点列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の極限が、それぞれの\(t\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( t\right) =0
\end{equation*}を定める定数関数\(f:\left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)であること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}=f
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\end{equation*}でで表記します。その上で、それぞれの\(\left( f,g\right) \in C\left[ -1,1\right] \times C\left[ -1,1\right] \)に対して、\begin{equation*}d\left( f,g\right) =\int_{-1}^{1}\left\vert f\left( t\right) -g\left(
t\right) \right\vert dt
\end{equation*}を定める関数\(d:C\left[ -1,1\right]\times C\left[ -1,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、\(\left( C\left[ -1,1\right] ,d\right) \)は距離空間となります。\(\left[ -1,1\right] \)上の点列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項が、それぞれの\(t\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ -1\leq t<-\frac{1}{n}\right) \\
1+nt & \left( if\ -\frac{1}{n}\leq t<0\right) \\
1-nt & \left( if\ 0\leq t<\frac{1}{n}\right) \\
0 & \left( if\ \frac{1}{n}\leq t\leq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\left[ -1,1\right]\rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この点列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の極限が、それぞれの\(t\in \left[ -1,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( t\right) =0
\end{equation*}を定める定数関数\(f:\left[-1,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)であること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}=f
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、これらの点列の第\(m\)項以降は互いに等しいということです。このとき、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束することと\(\left\{ y_{n}\right\} \)が収束することは必要十分であるとともに、両者の極限について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
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