距離空間上の点列の極限（収束する点列）
距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。
距離空間\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)とは\(X\)の無限個の点を順番に並べたもの\begin{equation*}x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},\cdots
\end{equation*}ですが、\(n\)が大きくなるにつれて項\(x_{n}\)が特定の点\(a\in X\)に限りなく近づく場合、この点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は点\(a\)に収束する（converge）と言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a
\end{equation*}で表記します。また、このような点\(a\)を点列\(\{x_{n}\}\)の極限（limit）と呼びます。ただ、点列の収束に関して厳密な議論を行うためには「限りなく近づく」という曖昧な表現を厳密に定義する必要があります。結論から言うと、数列の極限の場合と同様に、点列の収束を厳密に定義するためにはイプシロン・デルタ論法を利用します。
繰り返しになりますが、距離空間\(X\)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が点\(a\in X\)へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a
\end{equation*}が成り立つこととは、\(n\)が大きくなるにつれて項\(x_{n}\)が点\(a\)へ限りなく近づくことを意味しますが、これをどのような形で厳密に表現できるでしょうか。
まず、点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項\(x_{n}\)が点\(a\)に限りなく近いと言うためには、\(x_{n}\)と\(a\)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(x_{n}\)と\(a\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\varepsilon >0\)を導入します。このとき、\begin{equation}d\left( x_{n},a\right) <\varepsilon \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つならば、「\(x_{n}\)と\(a\)の間の距離は\(\varepsilon \)よりも小さい」と言えます。
次に問題になるのは「\(n\)が大きくなるにつれて」という表現の定式化です。\(n\)が大きくなるにつれて点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項\(x_{n}\)と点\(a\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることは、点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)のある項から先の任意の項\(x_{n}\)について、\(x_{n}\)と\(a\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることとして言い換え可能です。つまり、ある番号\(N\)が存在して、点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の第\(N\)項以降のすべての項\(x_{n}\)について\(\left( 1\right) \)が成り立つということです。これを定式化すると、\begin{equation}\exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow d\left( x_{n},a\right) <\varepsilon \right]
\quad \cdots (2)
\end{equation}となります。上の論理式が成り立つならば、「\(n\)が大きくなるにつれて点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項\(x_{n}\)と点\(a\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなる」と言えます。
最後に問題になるのは「限りなく近づく」という表現の定式化です。点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が点\(a\)に収束することとは、\(n\)が大きくなるにつれて項\(x_{n}\)が\(a\)に限りなく近づくことを意味しますが、この場合、点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項\(x_{n}\)と点\(a\)の間の距離を表す\(\varepsilon \)としてどれほど小さい値を任意に選んだ場合でも、\(n\)が大きくなるにつれて点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項\(x_{n}\)と点\(a\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなるはずです。\(\left( 2\right) \)を踏まえるとこれは、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow d\left( x_{n},a\right) <\varepsilon \right]
\quad \cdots (3)
\end{equation}と表現できます。そこで、点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と点\(a\in X\)に対して\(\left( 3\right) \)が成り立つ場合、\(\left\{x_{n}\right\} \)は\(a\)へ収束すると言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a
\end{equation*}と表現します。以上が点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が点\(a\in X\)へ収束することの厳密な定義です。
距離空間\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)が収束することとは、極限に相当する点\(a\in X\)が存在することを意味します。\(\left(3\right) \)を踏まえるとこれは、\begin{equation*}\exists a\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow d\left( x_{n},a\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}と表現できます。以上が点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束することの厳密な定義です。
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。\(\mathbb{R} \)における点列\(x:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して実数\(x_{n}\in \mathbb{R} \)を1つずつ定める写像であり、これは数列に他なりません。\(\mathbb{R} \)における点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。\(n\)が大きくなるにつれて\(\frac{1}{n}\)は限りなく小さくなるため、この点列の極限は\(0\)ではないかと予想できます。つまり、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{equation*}が成り立つという予想が立ちます。これを厳密に証明します。点列の極限の定義より、これは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow d\left( x_{n},0\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert \frac{1}{n}-0\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \frac{1}{n}<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。これを示すことが目標です。結論の式を変形すると、\begin{equation}
\frac{1}{n}<\varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{\varepsilon }<n\quad
\because n\in \mathbb{N} \text{かつ}\varepsilon >0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。\(\varepsilon >0\)を任意に選ぶと、アルキメデスの性質より、\begin{equation}N>\frac{1}{\varepsilon } \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(N\in \mathbb{N} \)が存在します。すると、\(n\geq N\)を満たす任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}n\geq N &\Rightarrow &n>\frac{1}{\varepsilon }\quad \because \left( 2\right)
\\
&\Rightarrow &\frac{1}{n}<\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}を定めます。\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(x:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して2次元ベクトル\(x_{n}=\left( x_{n}^{\left( 1\right) },x_{n}^{\left( 2\right)}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を1つずつ定める写像です。\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( x_{n}^{\left( 1\right) },x_{n}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1+\frac{1}{2n},2-\frac{1}{2n}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(n\)が大きくなるにつれて\(\frac{1}{n}\)は限りなく小さくなるため、この点列の極限は\(\left( 1,2\right) \)ではないかと予想できます。つまり、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\left( 1,2\right)
\end{equation*}が成り立つという予想が立ちます。これを厳密に証明します。点列の極限の定義より、これは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow d\left( x_{n},\left( 1,2\right) \right)
<\varepsilon \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow d\left( \left( 1+\frac{1}{2n},2-\frac{1}{2n}\right) ,\left( 1,2\right) \right) <\varepsilon \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \sqrt{\left[ \left( 1+\frac{1}{2n}\right) -1\right] ^{2}+\left[ \left( 2-\frac{1}{2n}\right) -2\right] ^{2}}<\varepsilon
\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \sqrt{\frac{2}{4n^{2}}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2n}<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。これを示すことが目標です。結論の式を変形すると、\begin{equation}
\frac{\sqrt{2}}{2n}<\varepsilon \Leftrightarrow n>\frac{\sqrt{2}}{2\varepsilon }\quad \because n\in \mathbb{N} \text{かつ}\varepsilon >0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。\(\varepsilon >0\)を任意に選ぶと、アルキメデスの性質より、\begin{equation}N>\frac{\sqrt{2}}{2\varepsilon } \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(N\in \mathbb{N} \)が存在します。すると、\(n\geq N\)を満たす任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}n\geq N &\Rightarrow &n>\frac{\sqrt{2}}{2\varepsilon }\quad \because \left(
2\right) \\
&\Rightarrow &\frac{\sqrt{2}}{2n}<\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。\(X\)における点列\(x:\mathbb{N} \rightarrow X\)はそれぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して\(X\)の要素\(x_{n}\in X\)を1つずつ定める写像です。何らかの要素\(x\in X\)を適当に選んだ上で、\(X\)の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項を、\begin{equation*}x_{n}=x
\end{equation*}と定義します。この点列について、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=x
\end{equation*}が成り立つことを示します。点列の極限の定義より、これは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow d\left( x_{n},x\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。\(\left\{ x_{n}\right\} \)の定義より、これは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow d\left( x,x\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}と必要十分であり、さらに\(d\)の定義より、これは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow 0<\varepsilon \right] \end{equation*}と必要十分です。これは明らかに真であるため証明が完了しました。
発散する点列
距離空間\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)が収束しない場合には、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は発散する（diverge）と言います。点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束することとは、\begin{equation*}\exists a\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow d\left( x_{n},a\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つことを意味するため、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が発散することとは上の命題の否定である、\begin{equation*}\forall a\in X,\ \exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\wedge d\left( x_{n},a\right) \geq \varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。\(\mathbb{R} \)における点列\(x:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して実数\(x_{n}\in \mathbb{R} \)を1つずつ定める写像であり、これは数列に他なりません。\(\mathbb{R} \)における点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=n
\end{equation*}で与えられているものとします。\(n\)が大きくなるにつれて\(n\)は限りなく小さくなるため、この点列は発散することが予想されます。点列の発散の定義より、これは、\begin{equation*}\forall a\in X,\ \exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\wedge d\left( x_{n},a\right) \geq \varepsilon \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall a\in X,\ \exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\wedge \left\vert n-a\right\vert \geq \varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。これを示します。点\(a\in X\)と正の実数\(\varepsilon >0\)および自然数\(N\in \mathbb{N} \)を任意に選びます。このとき、\begin{equation*}n\geq N\wedge n>\varepsilon +a
\end{equation*}を満たす自然数\(n\in \mathbb{N} \)をとることができ、この\(n\)のもとで上の条件は満たされるため証明が完了しました。
点列の極限の一意性
距離空間\(X\)上の点列が収束するとき、その極限は必ず\(X\)上の1つの点として定まります。点列が異なる2つの点に収束することはないということです。
演習問題
t\right) \right\vert dt
\end{equation*}を定める関数\(d:C\left[ 0,1\right] \times C\left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、\(\left( C\left[ 0,1\right] ,d\right) \)は距離空間となります。この距離空間上の点列\(x:\mathbb{N} \rightarrow C\left[ 0,1\right] \)はそれぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して関数\(x_{n}\in C\left[ 0,1\right]\)を1つずつ定める写像です。\(C\left[ 0,1\right] \)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、それぞれの\(t\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}x_{n}\left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1-nt & \left( if\ 0\leq t<\frac{1}{n}\right) \\
0 & \left( if\ \frac{1}{n}\leq t\leq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める関数\(x_{n}:\left[ 0,1\right]\rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限が、それぞれの\(t\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}x\left( t\right) =0
\end{equation*}を定める定数関数\(x:\left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)であること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=x
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
t\right) \right\vert dt
\end{equation*}を定める関数\(d:C\left[ -1,1\right]\times C\left[ -1,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、\(\left( C\left[ -1,1\right] ,d\right) \)は距離空間となります。この距離空間上の点列\(x:\mathbb{N} \rightarrow C\left[ -1,1\right] \)はそれぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して関数\(x_{n}\in C\left[ -1,1\right] \)を1つずつ定める写像です。\(C\left[ -1,1\right] \)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、それぞれの\(t\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}x_{n}\left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ -1\leq t<-\frac{1}{n}\right) \\
1+nt & \left( if\ -\frac{1}{n}\leq t<0\right) \\
1-nt & \left( if\ 0\leq t<\frac{1}{n}\right) \\
0 & \left( if\ \frac{1}{n}\leq t\leq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める関数\(x_{n}:\left[ -1,1\right]\rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限が、それぞれの\(t\in \left[ -1,1\right] \)に対して、\begin{equation*}x\left( t\right) =0
\end{equation*}を定める定数関数\(x:\left[-1,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)であること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=x
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、これらの点列の第\(m\)項以降は互いに等しいということです。このとき、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束することと\(\left\{ y_{n}\right\} \)が収束することは必要十分であるとともに、さらにこのとき、両者の極限について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
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