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距離空間上の点列

距離空間上の点列の部分列

目次

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距離空間上の点列の部分列

距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

距離空間\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)とは\(X\)の無限個の点を順番に並べたもの\begin{equation*}x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},\cdots
\end{equation*}ですが、この無限個の点の中から無限個の項を抜き出した上で、順番を保ったまま並べることで得られる新たな点列をもとの点列\(\left\{x_{n}\right\} \)の部分列(subsequence)と呼びます。点列は無限個の点の並びです。部分列も点列であるため、その項の個数は無限個でなければなりません。つまり、もとの点列から有限個の項を抜き出して並べたものは部分列とはみなされません。

例(部分列)
距離空間\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)の項を並べると、\begin{equation*}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8},x_{9},x_{10},\cdots
\end{equation*}となりますが、ここから偶数番目の項をすべて抜き出して順番を保ったまま並べると、\begin{equation*}
x_{2},x_{4},x_{6},x_{8},x_{10},\cdots
\end{equation*}という\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分列を得ます。一方、奇数番目の項をすべて抜き出して順番を保ったまま並べると、\begin{equation*}x_{1},x_{3},x_{5},x_{7},x_{9},\cdots
\end{equation*}という\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分列を得ます。
例(部分列)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。\(\mathbb{R} \)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=3^{n}
\end{equation*}で与えられているとき、この点列の各項は、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&3^{1}=3 \\
x_{2} &=&3^{2}=9 \\
x_{3} &=&3^{3}=27 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}です。ここから奇数番目の項だけを抜き出して順番を保ったまま並べると、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&3^{1}=3 \\
x_{3} &=&3^{3}=27 \\
x_{5} &=&3^{5}=243 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を得ますが、これは\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分列です。ちなみに、以下の項の並び\begin{eqnarray*}x_{3} &=&3^{3}=27 \\
x_{1} &=&3^{1}=3 \\
x_{5} &=&3^{5}=243 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}は\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分列ではありません。もとの点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)から項の相対的な順番が入れ替わってしまっているからです。
例(部分列)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\sqrt{\left( x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left(
x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}を定めます。\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( x_{n}^{\left( 1\right) },x_{n}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( n,\frac{1}{n}\right)
\end{equation*}で与えられているとき、この点列の各項は、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&\left( x_{1}^{\left( 1\right) },x_{1}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1,1\right) \\
x_{2} &=&\left( x_{2}^{\left( 1\right) },x_{2}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 2,\frac{1}{2}\right) \\
x_{3} &=&\left( x_{3}^{\left( 1\right) },x_{3}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 3,\frac{1}{3}\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。ここから\(3\)の倍数番目だけの項だけを抜き出して順番を保ったまま並べると、\begin{eqnarray*}x_{3} &=&\left( x_{3}^{\left( 1\right) },x_{3}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 3,\frac{1}{3}\right) \\
x_{6} &=&\left( x_{6}^{\left( 1\right) },x_{6}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 6,\frac{1}{6}\right) \\
x_{9} &=&\left( x_{9}^{\left( 1\right) },x_{9}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 9,\frac{1}{9}\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を得ますが、これは\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分列です。
例(部分列)
離散距離空間\(\left( X,d\right) \)は距離空間であり、離散距離\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\times X\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。何らかの2つの要素\(x,y\in X\)を適当に選んだ上で、\(X\)の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項を、\begin{equation*}x_{n}=\left\{
\begin{array}{cc}
x & \left( if\ n\text{が奇数}\right) \\
y & \left( if\ n\text{が偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定義すると、この点列の各項は、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&x \\
x_{2} &=&y \\
x_{3} &=&x \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。ここから偶数番目の項だけを抜き出して順番を保ったまま並べると、\begin{eqnarray*}
x_{2} &=&y \\
x_{4} &=&y \\
x_{6} &=&y \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を得ますが、これは\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分列です。
例(部分列)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\(\left[ a,b\right] \)上に定義された連続関数をすべて集めてできる集合を\(C\left[ a,b\right] \)で表記します。その上で、それぞれの\(\left( f,g\right) \in C\left[ a,b\right] \times C\left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}d\left( f,g\right) =\int_{a}^{b}\left\vert f\left( t\right) -g\left(
t\right) \right\vert dt
\end{equation*}を定める関数\(d:C\left[ a,b\right] \times C\left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、\(\left( C\left[ a,b\right] ,d\right) \)は距離空間となります。\(C\left[ a,b\right] \)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、それぞれの\(t\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}x_{n}\left( t\right) =t^{n}+t^{n-1}+\cdots +t+1
\end{equation*}を定める関数\(x_{n}:\left[ a,b\right]\rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。\(x_{n}\)は多項式関数であるため\(\left[ a,b\right] \)上に定義された連続関数であることに注意してください。この点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の各項は、\begin{eqnarray*}x_{1}\left( t\right) &=&t+1 \\
x_{2}\left( t\right) &=&t^{2}+t+1 \\
x_{3}\left( t\right) &=&t^{3}+t^{2}+t+1 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などの関数です。ここから奇数番目の項だけを抜き出して順番を保ったまま並べると、\begin{eqnarray*}
x_{1}\left( t\right) &=&t+1 \\
x_{3}\left( t\right) &=&t^{3}+t^{2}+t+1 \\
x_{5}\left( t\right) &=&t^{5}+t^{4}+t^{3}+t^{2}+t+1 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}という関数列を得ますが、これは\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分列です。

 

部分列の一般項を特定する方法

部分列の概念をどのように定式化できるでしょうか。距離空間\(X\)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項を順番に並べると、\begin{equation*}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\cdots
\end{equation*}となります。この点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分列を任意に選んだ上で、その一般項、すなわち第\(n\)項を、\begin{equation*}x_{l\left( n\right) }
\end{equation*}で表記します。ただし上の表記は、「部分列の第\(n\)項は、もとの点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の第\(l\left(n\right) \)項と一致する」ことを表すものとします。以上の表記のもとで、部分列そのものは\begin{equation*}\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\}
\end{equation*}と表記されます。この部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)の項を順番に並べると、\begin{equation*}x_{l\left( 1\right) },x_{l\left( 2\right) },x_{l\left( 3\right) },x_{l\left(
4\right) },\cdots
\end{equation*}となりますが、これは、部分列の初項\(x_{l\left(1\right) }\)はもとの点列の第\(l\left( 1\right) \)項と一致し、部分列の第\(2\)項\(x_{l\left( 2\right) }\)はもとの点列の第\(l\left( 2\right) \)項と一致し、\(\cdots \)であることを意味します。部分列の定義より、もとの点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項の中から無限個の項を抜き出した上で順番を保って並べたものが部分列\(\left\{ x_{l\left(n\right) }\right\} \)であるため、その項の添字\(l\left( 1\right) ,l\left( 2\right),l\left( 3\right) ,\cdots \)は、\begin{equation*}l\left( 1\right) <l\left( 2\right) <l\left( 3\right) <\cdots
\end{equation*}を満たす自然数からなる狭義の単調増加数列です。そこで、点列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)の項の添字\(l\left( 1\right) ,l\left( 2\right) ,l\left(3\right) ,\cdots \)が上の条件を満たすとき、この点列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)をもとの点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分列と呼びます。

同じことを写像を用いて表現しましょう。距離空間\(X\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)とは、それぞれの番号\(n\in \mathbb{N} \)に対して、その点列の第\(n\)項に相当する\(X\)上の点\(x_{n}\)を定める写像\begin{equation*}x:\mathbb{N} \rightarrow X
\end{equation*}として定義されます。点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)もまた点列であるため、部分列もまた何らかの写像として定式化されるはずです。では、部分列はどのような写像として定式化できるでしょうか。以下の表を見ながら説明します。

$$\begin{array}{cccccc}\hline
v & 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots \\ \hline
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ \hline
l(v) & l\left( 1\right) & l\left( 2\right) & l\left( 3\right) & l\left( 4\right) & \cdots \\ \hline
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ \hline
x_{l\left( v\right) } & x_{l\left( 1\right) } & x_{l\left( 2\right) } & x_{l\left( 3\right) } & x_{l\left( 4\right) } & \cdots \\ \hline
\end{array}$$

点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)を特定するためには、それぞれの番号\(n\in \mathbb{N} \)に対して、部分列\(\left\{x_{l\left( n\right) }\right\} \)の第\(n\)項がもとの点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の第\(l\left( n\right) \)項と一致することを指定する写像\begin{equation*}l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \end{equation*}が必要です。ただし、もとの点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項の中から無限個の項を抜き出した上で順番を保って並べたものが部分列\(\left\{ x_{l\left(n\right) }\right\} \)であるため、この写像\(l\)は狭義の単調増加関数でなければなりません。つまり、写像\(l\)は以下の条件\begin{equation*}\forall k,h\in \mathbb{N} :\left[ k<h\Rightarrow l(k)<l(h)\right] \end{equation*}を満たす必要があるということです。その上で、合成写像\begin{equation*}
x\circ l:\mathbb{N} \rightarrow X
\end{equation*}を定義すると、これはそれぞれの番号\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}\left( x\circ l\right) \left( n\right) =x\left( l\left( n\right) \right)
\end{equation*}を定めますが、これはもとの点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の第\(l\left( n\right) \)項であり、したがって部分列\(\left\{x_{l\left( n\right) }\right\} \)の第\(n\)項、すなわち一般項\(x_{l\left( n\right) }\)に他なりません。つまり、以上のような合成写像\(x\circ l\)が与えられれば部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right)}\right\} \)のすべての項を具体的に特定できるため、この合成写像を部分列と同一視できます。ただ、繰り返しになりますが、写像\(l\)は狭義単調増加でなければなりません。

例(部分列の一般項)
距離空間\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)の項を並べると、\begin{equation*}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8},x_{9},x_{10},\cdots
\end{equation*}となりますが、ここから偶数番目の項をすべて抜き出して順番を保ったまま並べると、\begin{equation*}
x_{2},x_{4},x_{6},x_{8},x_{10},\cdots
\end{equation*}という\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分列を得ます。この部分列をどのような写像として表現できるでしょうか。もとの点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は写像\(x:\mathbb{N} \rightarrow X\)として表現されます。この点列の偶数番目の項だけを抜き出したいため、それぞれの\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation}l\left( n\right) =2n \quad \cdots (1)
\end{equation}を定める狭義の単調増加関数\(l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)を利用します。以上の2つの写像の合成関数\(x\circ l:\mathbb{N} \rightarrow X\)として定義される点列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}x_{l\left( n\right) } &=&\left( x\circ l\right) \left( n\right) \\
&=&x\left( l\left( n\right) \right) \quad \because \text{合成写像の定義} \\
&=&x\left( 2n\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&x_{2n}
\end{eqnarray*}となります。これが先の部分列の一般項です。実際、点列\(\left\{x_{l\left( n\right) }\right\} =\left\{ x_{2n}\right\} \)の項を並べると、\begin{eqnarray*}x_{l\left( 1\right) } &=&x_{2\cdot 1}=x_{2} \\
x_{l\left( 2\right) } &=&x_{2\cdot 2}=x_{4} \\
x_{l\left( 3\right) } &=&x_{2\cdot 3}=x_{6} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となりますが、これは先の部分列と一致しています。
例(合成写像としての部分列)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。\(\mathbb{R} \)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=3^{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列の奇数番目の項だけを抜き出して順番を保ったまま並べると、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&3^{1}=3 \\
x_{3} &=&3^{3}=27 \\
x_{5} &=&3^{5}=243 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を得ますが、これは\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分列です。この部分列をどのような写像として表現できるでしょうか。もとの点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は写像\(x:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} \)として表現されます。この点列の奇数番目の項だけを抜き出したいため、それぞれの\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation}l\left( n\right) =2n-1 \quad \cdots (1)
\end{equation}を定める狭義の単調増加関数\(l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)を利用します。以上の2つの写像の合成関数\(x\circ l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} \)として定義される点列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}x_{l\left( n\right) } &=&\left( x\circ l\right) \left( n\right) \\
&=&x\left( l\left( n\right) \right) \quad \because \text{合成写像の定義} \\
&=&x\left( 2n-1\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&x_{2n-1} \\
&=&3^{2n-1}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。これが先の部分列の一般項です。実際、点列\(\left\{x_{l\left( n\right) }\right\} =\left\{ 3^{2n-1}\right\} \)の項を並べると、\begin{eqnarray*}x_{l\left( 1\right) } &=&3^{2\cdot 1-1}=3 \\
x_{l\left( 2\right) } &=&3^{2\cdot 2-1}=3^{3}=27 \\
x_{l\left( 3\right) } &=&3^{2\cdot 3-1}=3^{5}=243 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となりますが、これは先の部分列と一致しています。

例(合成写像としての部分列)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\sqrt{\left( x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left(
x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}を定めます。\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( x_{n}^{\left( 1\right) },x_{n}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( n,\frac{1}{n}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列の\(3\)の倍数番目の項だけを抜き出して順番を保ったまま並べると、\begin{eqnarray*}x_{3} &=&\left( x_{3}^{\left( 1\right) },x_{3}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 3,\frac{1}{3}\right) \\
x_{6} &=&\left( x_{6}^{\left( 1\right) },x_{6}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 6,\frac{1}{6}\right) \\
x_{9} &=&\left( x_{9}^{\left( 1\right) },x_{9}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 9,\frac{1}{9}\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を得ますが、これは\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分列です。この部分列をどのような写像として表現できるでしょうか。もとの点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は写像\(x:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)として表現されます。この点列の\(3\)の倍数番目の項だけを抜き出したいため、それぞれの\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation}l\left( n\right) =3n \quad \cdots (1)
\end{equation}を定める狭義の単調増加関数\(l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)を利用します。以上の2つの写像の合成関数\(x\circ l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)として定義される点列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}x_{l\left( n\right) } &=&\left( x\circ l\right) \left( n\right) \\
&=&\left( \left( x^{\left( 1\right) },x^{\left( 2\right) }\right) \circ
l\right) \left( n\right) \\
&=&\left( x^{\left( 1\right) }\left( l\left( n\right) \right) ,x^{\left(
2\right) }\left( l\left( n\right) \right) \right) \quad \because \text{合成写像の定義} \\
&=&\left( x^{\left( 1\right) }\left( 3n\right) ,x^{\left( 2\right) }\left(
3n\right) \right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left( 3n,\frac{1}{3n}\right) \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。これが先の部分列の一般項です。実際、点列\(\left\{x_{l\left( n\right) }\right\} =\left\{ \left( 3n,\frac{1}{3n}\right) \right\} \)の項を並べると、\begin{eqnarray*}x_{l\left( 1\right) } &=&\left( 3\cdot 1,\frac{1}{3\cdot 1}\right) =\left( 3,\frac{1}{3}\right) \\
x_{l\left( 2\right) } &=&\left( 3\cdot 2,\frac{1}{3\cdot 2}\right) =\left( 6,\frac{1}{6}\right) \\
x_{l\left( 3\right) } &=&\left( 3\cdot 3,\frac{1}{3\cdot 3}\right) =\left( 9,\frac{1}{9}\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となりますが、これは先の部分列と一致しています。

例(合成写像としての部分列)
離散距離空間\(\left( X,d\right) \)は距離空間であり、離散距離\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X \times X\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。何らかの2つの要素\(x,y\in X\)を適当に選んだ上で、\(X\)の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項を、\begin{equation*}x_{n}=\left\{
\begin{array}{cc}
x & \left( if\ n\text{が奇数}\right) \\
y & \left( if\ n\text{が偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列の偶数番目の項だけを抜き出して順番を保ったまま並べると、\begin{eqnarray*}
x_{2} &=&y \\
x_{4} &=&y \\
x_{6} &=&y \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を得ますが、これは\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分列です。この部分列をどのような写像として表現できるでしょうか。もとの点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は写像\(x:\mathbb{N} \rightarrow X\)として表現されます。この点列の偶数番目の項だけを抜き出したいため、それぞれの\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation}l\left( n\right) =2n \quad \cdots (1)
\end{equation}を定める狭義の単調増加関数\(l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)を利用します。以上の2つの写像の合成関数\(x\circ l:\mathbb{N} \rightarrow X\)として定義される点列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}x_{l\left( n\right) } &=&\left( x\circ l\right) \left( n\right) \\
&=&x\left( l\left( n\right) \right) \quad \because \text{合成写像の定義} \\
&=&x\left( 2n\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&y\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。これが先の部分列の一般項です。実際、点列\(\left\{x_{l\left( n\right) }\right\} =\left\{ y\right\} \)の項を並べると、\begin{eqnarray*}x_{l\left( 1\right) } &=&y \\
x_{l\left( 2\right) } &=&y \\
x_{l\left( 3\right) } &=&y \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となりますが、これは先の部分列と一致しています。

例(合成写像としての部分列)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\(\left[ a,b\right] \)上に定義された連続関数をすべて集めてできる集合を\(C\left[ a,b\right] \)で表記します。その上で、それぞれの\(\left( f,g\right) \in C\left[ a,b\right] \times C\left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}d\left( f,g\right) =\int_{a}^{b}\left\vert f\left( t\right) -g\left(
t\right) \right\vert dt
\end{equation*}を定める関数\(d:C\left[ a,b\right] \times C\left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、\(\left( C\left[ a,b\right] ,d\right) \)は距離空間となります。\(C\left[ a,b\right] \)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、それぞれの\(t\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}x_{n}\left( t\right) =t^{n}+t^{n-1}+\cdots +t+1
\end{equation*}を定める関数\(x_{n}:\left[ a,b\right]\rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この点列の奇数番目の項だけを抜き出して順番を保ったまま並べると、\begin{eqnarray*}x_{1}\left( t\right) &=&t+1 \\
x_{3}\left( t\right) &=&t^{3}+t^{2}+t+1 \\
x_{5}\left( t\right) &=&t^{5}+t^{4}+t^{3}+t^{2}+t+1 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を得ますが、これは\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分列です。この部分列をどのような写像として表現できるでしょうか。もとの点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は写像\(x:\mathbb{N} \rightarrow X\)として表現されます。この点列の奇数番目の項だけを抜き出したいため、それぞれの\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation}l\left( n\right) =2n-1 \quad \cdots (1)
\end{equation}を定める狭義の単調増加関数\(l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)を利用します。以上の2つの写像の合成関数\(x\circ l:\mathbb{N} \rightarrow X\)として定義される点列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)の一般項は、それぞれの\(t\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{eqnarray*}x_{l\left( n\right) }\left( t\right) &=&\left( x\circ l\right) \left(
n\right) \left( t\right) \\
&=&x\left( l\left( n\right) \right) \left( t\right) \quad \because \text{合成写像の定義} \\
&=&x\left( 2n-1\right) \left( t\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&t^{2n-1}+t^{2n-2}+\cdots +t^{2n-\left( 2n-1\right) }+t^{2n-2n}\quad
\because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}を定める関数\(x_{l\left( n\right) }\left(t\right) :\left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)です。これが先の部分列の一般項です。実際、点列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\left(t\right) \right\} =\left\{ t^{2n-1}+t^{2n-2}+\cdots +t+1\right\} \)の項を並べると、\begin{eqnarray*}x_{l\left( 1\right) }\left( t\right) &=&t^{2-1}+t^{2-2}=t+1 \\
x_{l\left( 2\right) }\left( t\right)
&=&t^{4-1}+t^{4-2}+t^{4-3}+t^{4-4}=t^{3}+t^{2}+t+1 \\
x_{l\left( 3\right) }\left( t\right)
&=&t^{6-1}+t^{6-2}+t^{6-3}+t^{6-4}+t^{6-5}+t^{6-6}=t^{5}+t^{4}+t^{3}+t^{2}+t+1
\\
&&\vdots
\end{eqnarray*}という関数列を得ますが、これは先の部分列と一致しています。

 

有界な点列の部分列は有界

距離空間\(X\)上の点列が有界である場合、その任意の点列もまた有界であることが保証されます。

命題(有界な点列の部分列は有界)
距離空間\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)が有界ならば、その任意の部分列もまた有界である。
証明

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演習問題

問題(部分列の一般項)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{3}\)は距離空間です。\(\mathbb{R} ^{3}\)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( n,n^{2},n^{3}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の奇数番目の項からなる部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)の一般項を求めてください。
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問題(部分列の一般項)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)は距離空間です。\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( \frac{1+n}{n^{2}},\frac{1-n}{n^{2}}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列の\(3\)の倍数番目の項からなる部分列\(\left\{ x_{l\left(n\right) }\right\} \)の一般項を求めてください。
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問題(部分列の一般項)
有界閉区間\(\left[ 0,1\right] \)上に定義された連続関数をすべて集めてできる集合を\(C\left[ 0,1\right] \)で表記します。その上で、それぞれの\(\left( f,g\right) \in C\left[ 0,1\right] \times C\left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}d\left( f,g\right) =\int_{0}^{1}\left\vert f\left( t\right) -g\left(
t\right) \right\vert dt
\end{equation*}を定める関数\(d:C\left[ 0,1\right] \times C\left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、\(\left( C\left[ 0,1\right] ,d\right) \)は距離空間となります。\(C\left[ 0,1\right] \)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、それぞれの\(t\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}x_{n}\left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
n & \left( if\ 0\leq t<\frac{1}{n^{2}}\right) \\
\frac{1}{\sqrt{t}} & \left( if\ \frac{1}{n^{2}}\leq t\leq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める関数\(x_{n}:\left[ 0,1\right]\rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の偶数番目の項からなる部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)の一般項を求めてください。
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